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1 下列关于角平分线的说法正确的是 （
A.角的平分线是一条线段
B.角的平分线是平分这个角的直线
C.在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线
D.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线
D
）A.角的平分线是一条线段
B.角的平分线是平分这个角的直线
C.在角的内部，以角的顶点为端点的一条直线
D.在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线
答案
1. D
解析
【分析】
本题为概念辨析题，解题时先回忆核心定义：角平分线是从角的顶点出发，在角的内部将角分成两个相等的角的射线；再结合直线、射线、线段的特征（直线无端点、射线1个端点、线段2个端点），逐一排查选项，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
首先明确角平分线的定义：在角的内部，以角的顶点为端点，把角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线。
对各选项逐一分析：
A. 角的平分线是射线，线段有两个端点，不符合角平分线的特征，该选项错误；
B. 角的平分线是射线，直线没有端点且可向两端无限延伸，会超出角的范围，无法仅平分角，该选项错误；
C. 直线没有端点，不存在“以角的顶点为端点的直线”的说法，该选项错误；
D. 表述完全符合角平分线的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；直线、射线、线段的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确记忆角平分线的定义，注意区分易混淆的线的概念，细心审题即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题为概念辨析题，解题时先回忆核心定义：角平分线是从角的顶点出发，在角的内部将角分成两个相等的角的射线；再结合直线、射线、线段的特征（直线无端点、射线1个端点、线段2个端点），逐一排查选项，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
首先明确角平分线的定义：在角的内部，以角的顶点为端点，把角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线。
对各选项逐一分析：
A. 角的平分线是射线，线段有两个端点，不符合角平分线的特征，该选项错误；
B. 角的平分线是射线，直线没有端点且可向两端无限延伸，会超出角的范围，无法仅平分角，该选项错误；
C. 直线没有端点，不存在“以角的顶点为端点的直线”的说法，该选项错误；
D. 表述完全符合角平分线的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；直线、射线、线段的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确记忆角平分线的定义，注意区分易混淆的线的概念，细心审题即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2 如图,点 O 在直线 AB 上,OD 平分$∠ AOC$.若$∠ 1=52°$,则$∠ 2$的度数为 （
A.$76°$
B.$74°$
C.$64°$
D.$52°$
A
）A.$76°$
B.$74°$
C.$64°$
D.$52°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，即∠AOC+∠2=180°；②OD平分∠AOC，根据角平分线的定义可知∠AOC=2∠1。因此解题步骤为：先利用角平分线性质求出∠AOC的度数，再结合平角的和为180°，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠1=52°
∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°
又
∵点O在直线AB上，∠AOB为平角
∴∠AOC + ∠2 = 180°
∴∠2=180° - ∠AOC=180° - 104°=76°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和平角的特征，通过逐步推导即可算出对应角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：①点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，即∠AOC+∠2=180°；②OD平分∠AOC，根据角平分线的定义可知∠AOC=2∠1。因此解题步骤为：先利用角平分线性质求出∠AOC的度数，再结合平角的和为180°，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOC，∠1=52°
∴∠AOC=2∠1=2×52°=104°
又
∵点O在直线AB上，∠AOB为平角
∴∠AOC + ∠2 = 180°
∴∠2=180° - ∠AOC=180° - 104°=76°
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和平角的特征，通过逐步推导即可算出对应角的度数。
【难度系数】
0.8
3 如图，BD是∠ABC的平分线，BE是∠CBD的平分线。如果∠CBE=16°，那么∠ABE=
48°
。答案
3. $48°$
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角。我们可以从已知条件逐步推导：第一步，根据BE是∠CBD的平分线，结合已知∠CBE=16°，先求出∠DBE和∠CBD的度数；第二步，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠ABD的度数；最后观察图形可知∠ABE由∠ABD和∠DBE组成，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵BE是∠CBD的平分线，∠CBE=16°，
∴∠DBE=∠CBE=16°，∠CBD=2∠CBE=2×16°=32°。
又
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=32°。
∴∠ABE=∠ABD + ∠DBE=32°+16°=48°。
【答案】
$48°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题侧重考查角平分线定义的应用，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，属于基础类题型，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线将一个角分成两个相等的角。我们可以从已知条件逐步推导：第一步，根据BE是∠CBD的平分线，结合已知∠CBE=16°，先求出∠DBE和∠CBD的度数；第二步，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠ABD的度数；最后观察图形可知∠ABE由∠ABD和∠DBE组成，将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵BE是∠CBD的平分线，∠CBE=16°，
∴∠DBE=∠CBE=16°，∠CBD=2∠CBE=2×16°=32°。
又
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=32°。
∴∠ABE=∠ABD + ∠DBE=32°+16°=48°。
【答案】
$48°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题侧重考查角平分线定义的应用，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，属于基础类题型，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4 如图,点A,O,B在同一条直线上,∠COE=20°12′,OD,OE分别是∠COA,∠COB的平分线.
（1）请分别计算出∠COB与∠COA的度数；
（2）求∠DOE的度数.
（1）请分别计算出∠COB与∠COA的度数；
（2）求∠DOE的度数.
答案
4.（1）因为 OE 是$∠COB$ 的平分线，$∠COE=20°12'$，所以$∠COB=2∠COE=40°24'$. 所以$∠COA=180°-∠COB=139°36'$
（2）因为OD,OE 分别是$∠COA,∠COB$的平分线，所以$∠COD=\frac{1}{2}∠COA$，$∠COE=\frac{1}{2}∠COB$. 因为$∠COA+∠COB=180°$，所以$∠COD+∠COE=\frac{1}{2}∠COA+\frac{1}{2}∠COB=\frac{1}{2}(∠COA+∠COB)=90°$，即$∠DOE=90°$
（2）因为OD,OE 分别是$∠COA,∠COB$的平分线，所以$∠COD=\frac{1}{2}∠COA$，$∠COE=\frac{1}{2}∠COB$. 因为$∠COA+∠COB=180°$，所以$∠COD+∠COE=\frac{1}{2}∠COA+\frac{1}{2}∠COB=\frac{1}{2}(∠COA+∠COB)=90°$，即$∠DOE=90°$
解析
【分析】
先解决第（1）问：首先根据角平分线的定义，角平分线把一个角分成两个相等的小角，已知OE平分∠COB且给出了∠COE的度数，因此∠COB是∠COE的2倍，直接计算即可得到∠COB的度数；再结合A、O、B共线，∠AOB是平角为180°，用平角度数减去∠COB的度数就能求出∠COA的度数。
再解决第（2）问：已知OD、OE分别是∠COA、∠COB的平分线，根据角平分线定义可得∠COD是∠COA的一半，∠COE是∠COB的一半，将∠DOE拆分为∠COD与∠COE的和，整理后可知∠DOE是∠COA与∠COB和的一半，而∠COA与∠COB的和为平角180°，代入即可算出结果。计算度分的时候要注意进制为60进制。
【解析】
（1）
∵OE是∠COB的平分线，∠COE=20°12′
∴$∠ COB=2∠ COE=2×20°12'=40°24'$
∵点A、O、B在同一条直线上，$∠ AOB=180°$
∴$∠ COA=180°-∠ COB=180°-40°24'=139°36'$
（2）
∵OD平分$∠ COA$，OE平分$∠ COB$
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COA$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COB$
∴$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ COA+\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}(∠ COA+∠ COB)$
又
∵$∠ COA+∠ COB=∠ AOB=180°$
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
（1）$∠ COB=40°24'$，$∠ COA=139°36'$；（2）$∠ DOE=90°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角运算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和平角的特征，计算度分秒相关内容时要注意遵循60进制，另外本题第二问“邻补角的角平分线互相垂直”的结论可作为常用结论记忆，能提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
先解决第（1）问：首先根据角平分线的定义，角平分线把一个角分成两个相等的小角，已知OE平分∠COB且给出了∠COE的度数，因此∠COB是∠COE的2倍，直接计算即可得到∠COB的度数；再结合A、O、B共线，∠AOB是平角为180°，用平角度数减去∠COB的度数就能求出∠COA的度数。
再解决第（2）问：已知OD、OE分别是∠COA、∠COB的平分线，根据角平分线定义可得∠COD是∠COA的一半，∠COE是∠COB的一半，将∠DOE拆分为∠COD与∠COE的和，整理后可知∠DOE是∠COA与∠COB和的一半，而∠COA与∠COB的和为平角180°，代入即可算出结果。计算度分的时候要注意进制为60进制。
【解析】
（1）
∵OE是∠COB的平分线，∠COE=20°12′
∴$∠ COB=2∠ COE=2×20°12'=40°24'$
∵点A、O、B在同一条直线上，$∠ AOB=180°$
∴$∠ COA=180°-∠ COB=180°-40°24'=139°36'$
（2）
∵OD平分$∠ COA$，OE平分$∠ COB$
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ COA$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COB$
∴$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ COA+\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}(∠ COA+∠ COB)$
又
∵$∠ COA+∠ COB=∠ AOB=180°$
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
（1）$∠ COB=40°24'$，$∠ COA=139°36'$；（2）$∠ DOE=90°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是角运算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和平角的特征，计算度分秒相关内容时要注意遵循60进制，另外本题第二问“邻补角的角平分线互相垂直”的结论可作为常用结论记忆，能提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
5 如图，OB，OC是$∠ AOD$的两条三等分线，则下列等式不正确的是（
A.$∠ AOD=3∠ BOC$
B.$∠ AOD=2∠ AOC$
C.$∠ AOB=∠ BOC$
D.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$
B
）A.$∠ AOD=3∠ BOC$
B.$∠ AOD=2∠ AOC$
C.$∠ AOB=∠ BOC$
D.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$
答案
5. B
解析
【分析】
首先明确角的三等分线的定义：两条射线将一个角分成三个大小相等的角，则这两条射线是该角的三等分线。本题中OB、OC是∠AOD的三等分线，因此可得∠AOB=∠BOC=∠COD，我们可以设这三个相等的角均为α，再用含α的式子表示出各个选项中的角，逐一验证等式是否成立即可。
【解析】
∵ OB、OC是∠AOD的两条三等分线
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD，设这三个角的度数均为α
则∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 3α，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 2α
逐一分析选项：
A选项：∠AOD=3α，∠BOC=α，故∠AOD=3∠BOC，等式成立，不符合题意；
B选项：∠AOD=3α，2∠AOC=2×2α=4α，3α≠4α，故∠AOD=2∠AOC不成立，符合题意；
C选项：由三等分线性质可知∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：∠COD=α，∠AOC=2α，故∠COD=½∠AOC，等式成立，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题的关键是理解角的三等分线的性质，结合角的和差关系即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
首先明确角的三等分线的定义：两条射线将一个角分成三个大小相等的角，则这两条射线是该角的三等分线。本题中OB、OC是∠AOD的三等分线，因此可得∠AOB=∠BOC=∠COD，我们可以设这三个相等的角均为α，再用含α的式子表示出各个选项中的角，逐一验证等式是否成立即可。
【解析】
∵ OB、OC是∠AOD的两条三等分线
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD，设这三个角的度数均为α
则∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 3α，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 2α
逐一分析选项：
A选项：∠AOD=3α，∠BOC=α，故∠AOD=3∠BOC，等式成立，不符合题意；
B选项：∠AOD=3α，2∠AOC=2×2α=4α，3α≠4α，故∠AOD=2∠AOC不成立，符合题意；
C选项：由三等分线性质可知∠AOB=∠BOC，等式成立，不符合题意；
D选项：∠COD=α，∠AOC=2α，故∠COD=½∠AOC，等式成立，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
角的三等分线；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算基础题，解题的关键是理解角的三等分线的性质，结合角的和差关系即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
6 如图，$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$,根据图形，解答下列问题.
（1）是$∠2$的3倍的角为
（2）是$∠ AOD$的$\frac{1}{2}$的角共有
（3）射线OC是哪个角的3等分线？又是哪个角的4等分线？
（1）是$∠2$的3倍的角为
$∠AOE,∠BOC$
（用字母表示）；（2）是$∠ AOD$的$\frac{1}{2}$的角共有
4
个；（3）射线OC是哪个角的3等分线？又是哪个角的4等分线？
答案
6.（1）$∠AOE,∠BOC$
（2）4
（3）OC 是$∠AOE$ 的 3 等分线，OC 是$∠AOB$ 的 4 等分线
（2）4
（3）OC 是$∠AOE$ 的 3 等分线，OC 是$∠AOB$ 的 4 等分线
解析
【分析】
解题前先明确已知条件：$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$，先通过角的和差运算算出各组合角的度数，再对应每小问的要求求解：
（1）先算出$∠2$的3倍的度数，再找图中与该度数相等的角即可；
（2）先算出$∠AOD$的度数，再求它的$\frac{1}{2}$的度数，数出等于该度数的角的数量即可；
（3）根据角的等分线定义，分别找包含3个、4个单位小角（24°）的大角，对应就是OC作为3等分线、4等分线的角。
【解析】
已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$：
（1）$∠2$的3倍为$24°×3=72°$，
计算组合角：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=24°×3=72°$，$∠BOC=∠2+∠3+∠4=24°×3=72°$，故符合要求的角为$∠AOE$和$∠BOC$。
（2）先算$∠AOD=∠1+∠2=24°×2=48°$，则$\frac{1}{2}∠AOD=48°×\frac{1}{2}=24°$，
图中度数为24°的角有$∠1、∠2、∠3、∠4$，共4个。
（3）计算大角度数：
$∠AOE=∠1+∠2+∠3=72°$，$∠AOC=24°=\frac{1}{3}∠AOE$，故OC是$∠AOE$的3等分线；
$∠AOB=∠1+∠2+∠3+∠4=96°$，$∠AOC=24°=\frac{1}{4}∠AOB$，故OC是$∠AOB$的4等分线。
【答案】
（1）$∠AOE,∠BOC$
（2）4
（3）OC 是$∠AOE$ 的 3 等分线，OC 是$∠AOB$ 的 4 等分线
【知识点】
角的和差运算；角的等分线；角的倍数计算
【点评】
本题围绕角的运算和等分线概念出题，难度较低，解题核心是先确定单位小角的度数，再根据题目要求计算对应角的度数逐一匹配即可，需要注意数角时不要漏数、多数。
【难度系数】
0.75
解题前先明确已知条件：$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$，先通过角的和差运算算出各组合角的度数，再对应每小问的要求求解：
（1）先算出$∠2$的3倍的度数，再找图中与该度数相等的角即可；
（2）先算出$∠AOD$的度数，再求它的$\frac{1}{2}$的度数，数出等于该度数的角的数量即可；
（3）根据角的等分线定义，分别找包含3个、4个单位小角（24°）的大角，对应就是OC作为3等分线、4等分线的角。
【解析】
已知$∠1=∠2=∠3=∠4=24°$：
（1）$∠2$的3倍为$24°×3=72°$，
计算组合角：$∠AOE=∠1+∠2+∠3=24°×3=72°$，$∠BOC=∠2+∠3+∠4=24°×3=72°$，故符合要求的角为$∠AOE$和$∠BOC$。
（2）先算$∠AOD=∠1+∠2=24°×2=48°$，则$\frac{1}{2}∠AOD=48°×\frac{1}{2}=24°$，
图中度数为24°的角有$∠1、∠2、∠3、∠4$，共4个。
（3）计算大角度数：
$∠AOE=∠1+∠2+∠3=72°$，$∠AOC=24°=\frac{1}{3}∠AOE$，故OC是$∠AOE$的3等分线；
$∠AOB=∠1+∠2+∠3+∠4=96°$，$∠AOC=24°=\frac{1}{4}∠AOB$，故OC是$∠AOB$的4等分线。
【答案】
（1）$∠AOE,∠BOC$
（2）4
（3）OC 是$∠AOE$ 的 3 等分线，OC 是$∠AOB$ 的 4 等分线
【知识点】
角的和差运算；角的等分线；角的倍数计算
【点评】
本题围绕角的运算和等分线概念出题，难度较低，解题核心是先确定单位小角的度数，再根据题目要求计算对应角的度数逐一匹配即可，需要注意数角时不要漏数、多数。
【难度系数】
0.75
7 教材 P176 练习 T3 变式 计算：
(1) $15° 20' 35'' × 6$；
(2) $120° 48' 35'' ÷ 5$。
(1) $15° 20' 35'' × 6$；
(2) $120° 48' 35'' ÷ 5$。
答案
7.（1）$92°3'30''$
（2）$24°9'43''$
（2）$24°9'43''$
解析
【分析】
度分秒的运算采用六十进制，即1°=60'，1'=60''。做乘法运算时从最低单位（秒）开始依次乘因数，每一级计算结果满60就向上一级进1；做除法运算时从最高单位（度）开始依次除以除数，每一级的余数要转化为下一级单位，和原有下一级单位的数值相加后再继续除，按这个规则就能算出最终结果。
【解析】
(1) 计算$15° 20' 35'' × 6$：
① 先计算秒级：$35''×6=210''$，因为$210''=3×60''+30''$，所以秒位保留$30''$，向分位进$3'$；
② 再计算分级：$20'×6+3'=123'$，因为$123'=2×60'+3'$，所以分位保留$3'$，向度位进$2°$；
③ 最后计算度级：$15°×6+2°=92°$；
因此结果为$92°3'30''$。
(2) 计算$120° 48' 35'' ÷ 5$：
① 先计算度级：$120°÷5=24°$，无余数；
② 再计算分级：$48'÷5$，商为$9'$，余数为$48'-9×5'=3'$，将余数$3'$换算为$3×60''=180''$，与原有秒数相加得$180''+35''=215''$；
③ 最后计算秒级：$215''÷5=43''$；
因此结果为$24°9'43''$。
【答案】
(1) $92°3'30''$；(2) $24°9'43''$
【知识点】
度分秒的换算、角的乘法运算、角的除法运算
【点评】
本题核心考查度分秒的运算规则，解题的关键是熟练掌握度分秒的六十进制换算方法，明确乘法从低位算起、除法从高位算起的运算顺序，注意处理好进位和余数的单位转换即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
度分秒的运算采用六十进制，即1°=60'，1'=60''。做乘法运算时从最低单位（秒）开始依次乘因数，每一级计算结果满60就向上一级进1；做除法运算时从最高单位（度）开始依次除以除数，每一级的余数要转化为下一级单位，和原有下一级单位的数值相加后再继续除，按这个规则就能算出最终结果。
【解析】
(1) 计算$15° 20' 35'' × 6$：
① 先计算秒级：$35''×6=210''$，因为$210''=3×60''+30''$，所以秒位保留$30''$，向分位进$3'$；
② 再计算分级：$20'×6+3'=123'$，因为$123'=2×60'+3'$，所以分位保留$3'$，向度位进$2°$；
③ 最后计算度级：$15°×6+2°=92°$；
因此结果为$92°3'30''$。
(2) 计算$120° 48' 35'' ÷ 5$：
① 先计算度级：$120°÷5=24°$，无余数；
② 再计算分级：$48'÷5$，商为$9'$，余数为$48'-9×5'=3'$，将余数$3'$换算为$3×60''=180''$，与原有秒数相加得$180''+35''=215''$；
③ 最后计算秒级：$215''÷5=43''$；
因此结果为$24°9'43''$。
【答案】
(1) $92°3'30''$；(2) $24°9'43''$
【知识点】
度分秒的换算、角的乘法运算、角的除法运算
【点评】
本题核心考查度分秒的运算规则，解题的关键是熟练掌握度分秒的六十进制换算方法，明确乘法从低位算起、除法从高位算起的运算顺序，注意处理好进位和余数的单位转换即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
