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8.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是（
A.$∠A+∠B=∠C$
B.$∠A-∠B=∠C$
C.$∠A:∠B:∠C=1:2:3$
D.$∠A=∠B=3∠C$
D
）A.$∠A+∠B=∠C$
B.$∠A-∠B=∠C$
C.$∠A:∠B:∠C=1:2:3$
D.$∠A=∠B=3∠C$
答案
8.D
解析
【分析】
要判断△ABC是不是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，我们只需将每个选项给出的角的数量关系代入内角和公式，计算最大内角的度数，若最大内角等于90°则为直角三角形，反之则不是。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析选项：
A选项：已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意；
B选项：已知$∠ A-∠ B=∠ C$，变形得$∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形，不符合题意；
D选项：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°≠90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题，通过设未知数列方程求解角度是解决这类比例、倍数关系角度问题的常用方法，熟练掌握内角和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是不是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，我们只需将每个选项给出的角的数量关系代入内角和公式，计算最大内角的度数，若最大内角等于90°则为直角三角形，反之则不是。
【解析】
根据三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析选项：
A选项：已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意；
B选项：已知$∠ A-∠ B=∠ C$，变形得$∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形，不符合题意；
D选项：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，设$∠ C=x$，$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°≠90°$，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题，通过设未知数列方程求解角度是解决这类比例、倍数关系角度问题的常用方法，熟练掌握内角和公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.脊柱侧弯的检测示意图如图所示，在体检时为方便测出∠O的度数，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（
A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
（第9题图）（第10题图）
B
）A.∠BEA
B.∠DEB
C.∠ECA
D.∠ADO
（第9题图）（第10题图）
答案
9.B
解析
【分析】
要找出与∠O相等的角，首先观察图形可得AB⊥OD、CD⊥OA，即存在两个直角三角形。根据直角三角形两锐角互余，可知∠O与∠OAB互余，再找到与∠OAB互余的另一个角，结合同角的余角相等可得与∠O相等的角，最后利用对顶角相等对应到选项中的角即可。
【解析】
由图可知：$AB⊥ OD$，$CD⊥ OA$，因此$∠ ABO=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，根据直角三角形两锐角和为$90°$，得$∠ O + ∠ OAB = 90°$；
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，同理得$∠ CEA + ∠ OAB = 90°$；
根据同角的余角相等，可得$∠ O = ∠ CEA$；
又因为$∠ CEA$和$∠ DEB$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ CEA = ∠ DEB$，因此$∠ O = ∠ DEB$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，对顶角相等
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的生活场景考查角的等量关系推导，解题的关键是准确识别图中的垂直关系、互余关系和对顶角关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要找出与∠O相等的角，首先观察图形可得AB⊥OD、CD⊥OA，即存在两个直角三角形。根据直角三角形两锐角互余，可知∠O与∠OAB互余，再找到与∠OAB互余的另一个角，结合同角的余角相等可得与∠O相等的角，最后利用对顶角相等对应到选项中的角即可。
【解析】
由图可知：$AB⊥ OD$，$CD⊥ OA$，因此$∠ ABO=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，根据直角三角形两锐角和为$90°$，得$∠ O + ∠ OAB = 90°$；
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，同理得$∠ CEA + ∠ OAB = 90°$；
根据同角的余角相等，可得$∠ O = ∠ CEA$；
又因为$∠ CEA$和$∠ DEB$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ CEA = ∠ DEB$，因此$∠ O = ∠ DEB$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，对顶角相等
【点评】
本题结合脊柱侧弯检测的生活场景考查角的等量关系推导，解题的关键是准确识别图中的垂直关系、互余关系和对顶角关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
10. 分类讨论新理念如图，在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ C=30°$，$P$是$AC$边上的动点. 当$△ BCP$是直角三角形时，$∠ ABP$的度数是
50°或20°
.答案
10.$50°$或 $20°$ 【点拨】分两种情况讨论:①$∠ BPC$ 是直角;②$∠ PBC$ 是直角.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再结合△BCP是直角三角形的条件，由于未明确直角顶点，需分两种情况讨论：①∠BPC为直角；②∠PBC为直角，分别计算两种情况下∠PBC的度数，最后用∠ABC减去∠PBC即可得到∠ABP的度数。
【解析】
首先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 40° - 30° = 110°$
分两种情况讨论△BCP为直角三角形的情况：
① 当$∠ BPC=90°$时，在$△ BPC$中，$∠ C=30°$，则：
$∠ PBC = 180° - 90° - 30° = 60°$
此时$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 60° = 50°$
② 当$∠ PBC=90°$时，直接可得：
$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 90° = 20°$
综上，$∠ ABP$的度数为$50°$或$20°$。
【答案】
$50°$或$20°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略对直角三角形直角顶点的分类讨论，导致漏解，解题时需结合图形分析所有可能的直角情况，再结合内角和定理计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC的度数，再结合△BCP是直角三角形的条件，由于未明确直角顶点，需分两种情况讨论：①∠BPC为直角；②∠PBC为直角，分别计算两种情况下∠PBC的度数，最后用∠ABC减去∠PBC即可得到∠ABP的度数。
【解析】
首先在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 40° - 30° = 110°$
分两种情况讨论△BCP为直角三角形的情况：
① 当$∠ BPC=90°$时，在$△ BPC$中，$∠ C=30°$，则：
$∠ PBC = 180° - 90° - 30° = 60°$
此时$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 60° = 50°$
② 当$∠ PBC=90°$时，直接可得：
$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 90° = 20°$
综上，$∠ ABP$的度数为$50°$或$20°$。
【答案】
$50°$或$20°$
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略对直角三角形直角顶点的分类讨论，导致漏解，解题时需结合图形分析所有可能的直角情况，再结合内角和定理计算即可。
【难度系数】
0.7
11. 如图，AD，BF分别是△ABC的高与角平分线，BF，AD交于点E，∠1=∠2.
求证：△ABC是直角三角形.
求证：△ABC是直角三角形.
答案
11. 证明: $\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADB = 90°. \therefore ∠ BED + ∠ EBD = 90°. \because BF$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ EBD. \therefore ∠ BED+∠ ABE=90°. \because ∠ 1=∠ BED,∠ 1=∠ 2,$$\therefore ∠ BED=∠ 2. \therefore ∠ 2+∠ ABE=90°. \therefore ∠ BAC=180°-(∠ 2+∠ ABE)=90°.$$\therefore △ ABC$是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，核心目标是证明∠BAC=90°。解题思路如下：首先从已知的高AD入手，利用高的定义得到直角，推出直角三角形中两锐角互余；再结合角平分线BF的性质得到一组相等的角；接着利用对顶角相等和已知的∠1=∠2进行等量代换，将角度关系转移到△ABF中；最后利用三角形内角和定理即可推导得出∠BAC为直角，完成证明。
【解析】
证明:
$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ADB = 90°$.
$\therefore ∠BED + ∠EBD = 90°$.
$\because BF$平分$∠ABC,\therefore ∠ABE=∠EBD$.
$\therefore ∠BED+∠ABE=90°$.
$\because ∠1=∠BED,∠1=∠2,$
$\therefore ∠BED=∠2$.
$\therefore ∠2+∠ABE=90°$.
$\therefore ∠BAC=180°-(∠2+∠ABE)=90°$.
$\therefore △ABC$是直角三角形.
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等
【点评】
本题是三角形角度推导的基础题型，解题关键是熟练运用高、角平分线的性质，通过等量代换转化角度关系，结合三角形内角和定理完成直角的推导。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是直角三角形，核心目标是证明∠BAC=90°。解题思路如下：首先从已知的高AD入手，利用高的定义得到直角，推出直角三角形中两锐角互余；再结合角平分线BF的性质得到一组相等的角；接着利用对顶角相等和已知的∠1=∠2进行等量代换，将角度关系转移到△ABF中；最后利用三角形内角和定理即可推导得出∠BAC为直角，完成证明。
【解析】
证明:
$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠ADB = 90°$.
$\therefore ∠BED + ∠EBD = 90°$.
$\because BF$平分$∠ABC,\therefore ∠ABE=∠EBD$.
$\therefore ∠BED+∠ABE=90°$.
$\because ∠1=∠BED,∠1=∠2,$
$\therefore ∠BED=∠2$.
$\therefore ∠2+∠ABE=90°$.
$\therefore ∠BAC=180°-(∠2+∠ABE)=90°$.
$\therefore △ABC$是直角三角形.
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角相等
【点评】
本题是三角形角度推导的基础题型，解题关键是熟练运用高、角平分线的性质，通过等量代换转化角度关系，结合三角形内角和定理完成直角的推导。
【难度系数】
0.7
12. 主题探究 新趋势 问题情景:如图①,直角三角尺PMN放置在△ABC上(点P在△ABC内),三角尺PMN的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B和点C.
(1)特殊探究:∠PBC+∠PCB的度数为
(2)类比探究:探究∠ABP+∠ACP与∠A之间的数量关系;
(3)延伸探究:如图②,改变直角三角尺PMN的位置,使点P在△ABC外,三角尺PMN的两条直角边PM,PN仍然分别经过点B和点C,则(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请写出你的结论,并说明理由.
(1)特殊探究:∠PBC+∠PCB的度数为
90°
;若∠A=50°,则∠ABP+∠ACP的度数为40°
;(2)类比探究:探究∠ABP+∠ACP与∠A之间的数量关系;
(3)延伸探究:如图②,改变直角三角尺PMN的位置,使点P在△ABC外,三角尺PMN的两条直角边PM,PN仍然分别经过点B和点C,则(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请写出你的结论,并说明理由.
答案
12. 解:(1)$90°\quad 40°$ (2)根据题意,得$∠ BPC=90°, \therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°. \because$ 在$△ ABC$中,$(∠ PBC+∠ PCB)+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°,$即 $90°+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°, \therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A.$ (3)不成立. 结论:$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A.$ 理由如下: $\because ∠ BPC=90°, \therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°. \because ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A, \therefore (∠ PBC-∠ ABP)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A.$$\therefore ∠ PBC+∠ PCB-∠ ABP+∠ ACP=180°-∠ A,$即 $90°-∠ ABP+∠ ACP=180°-∠ A. \therefore ∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A.$
解析
【分析】
(1) 首先观察直角三角尺的性质可得∠BPC=90°，结合三角形内角和定理可直接求出∠PBC+∠PCB的度数；再在△ABC中利用内角和求出∠ABC+∠ACB的和，减去∠PBC与∠PCB的和即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
(2) 类比(1)的思路，分别结合△PBC和△ABC的内角和公式，联立消去公共的角的和，即可推导得到∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系。
(3) 点P在△ABC外时，先理清∠ABC、∠ACB与∠PBC、∠ABP、∠PCB、∠ACP的和差关系，再代入△ABC内角和公式，结合△PBC的内角和结论，即可判断原结论是否成立，推导得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠BPC=90°，根据三角形内角和为180°：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ BPC=180°-90°=90°$；
当$∠ A=50°$时，在△ABC中：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$，
又$\because ∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 推导数量关系：
$\because ∠ BPC=90°$，$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180°$，
即$(∠ ABP+∠ PBC)+(∠ ACP+∠ PCB)+∠ A=180°$，
整理得：$(∠ PBC+∠ PCB)+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$，
代入$∠ PBC+∠ PCB=90°$，可得：
$90°+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$，
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3) 原结论不成立，新结论为$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$，理由如下：
$\because ∠ BPC=90°$，$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
由图可得：$∠ ABC=∠ PBC-∠ ABP$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
代入上式得：$(∠ PBC-∠ ABP)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A$，
整理得：$(∠ PBC+∠ PCB)+∠ ACP-∠ ABP=180°-∠ A$，
代入$∠ PBC+∠ PCB=90°$，可得：
$90°+∠ ACP-∠ ABP=180°-∠ A$，
化简得：$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$，$\boxed{40°}$
(2) $\boxed{∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A}$
(3) 不成立，结论为$\boxed{∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；直角三角形性质
【点评】
本题以直角三角尺的动态放置为载体，考查三角形内角和定理的灵活应用，解题核心是准确识别不同位置下的角的和差关系，体会由特殊到一般、分类讨论的数学思想，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先观察直角三角尺的性质可得∠BPC=90°，结合三角形内角和定理可直接求出∠PBC+∠PCB的度数；再在△ABC中利用内角和求出∠ABC+∠ACB的和，减去∠PBC与∠PCB的和即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
(2) 类比(1)的思路，分别结合△PBC和△ABC的内角和公式，联立消去公共的角的和，即可推导得到∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系。
(3) 点P在△ABC外时，先理清∠ABC、∠ACB与∠PBC、∠ABP、∠PCB、∠ACP的和差关系，再代入△ABC内角和公式，结合△PBC的内角和结论，即可判断原结论是否成立，推导得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠BPC=90°，根据三角形内角和为180°：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ BPC=180°-90°=90°$；
当$∠ A=50°$时，在△ABC中：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$，
又$\because ∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 推导数量关系：
$\because ∠ BPC=90°$，$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180°$，
即$(∠ ABP+∠ PBC)+(∠ ACP+∠ PCB)+∠ A=180°$，
整理得：$(∠ PBC+∠ PCB)+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$，
代入$∠ PBC+∠ PCB=90°$，可得：
$90°+(∠ ABP+∠ ACP)+∠ A=180°$，
$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A$。
(3) 原结论不成立，新结论为$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$，理由如下：
$\because ∠ BPC=90°$，$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=90°$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
由图可得：$∠ ABC=∠ PBC-∠ ABP$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
代入上式得：$(∠ PBC-∠ ABP)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A$，
整理得：$(∠ PBC+∠ PCB)+∠ ACP-∠ ABP=180°-∠ A$，
代入$∠ PBC+∠ PCB=90°$，可得：
$90°+∠ ACP-∠ ABP=180°-∠ A$，
化简得：$∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$，$\boxed{40°}$
(2) $\boxed{∠ ABP+∠ ACP=90°-∠ A}$
(3) 不成立，结论为$\boxed{∠ ACP-∠ ABP=90°-∠ A}$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；直角三角形性质
【点评】
本题以直角三角尺的动态放置为载体，考查三角形内角和定理的灵活应用，解题核心是准确识别不同位置下的角的和差关系，体会由特殊到一般、分类讨论的数学思想，锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
