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1.「2026 浙江宁波慈溪月考」已知二元一次方程组$\begin{cases}x=y+5, \\ 2x-y=7\end{cases}$的解也满足方程$x+y+a=0$，则$a$的值为 ______ 。
答案
1.答案 1
解析 解方程组$\begin{cases}x=y+5,\\2x-y=7,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=-3,\end{cases}$因为$x+y+a=0$，所以$2-3+a=0$，解得$a=1$。
解析 解方程组$\begin{cases}x=y+5,\\2x-y=7,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2,\\y=-3,\end{cases}$因为$x+y+a=0$，所以$2-3+a=0$，解得$a=1$。
2.「2026四川成都青羊期中」若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x+4y=5k, \\4x+3y=9k\end{cases}$的解也是二元一次方程$x+y=8$的解，则$k$的值为 ______ .
答案
2.答案 4
解析 $\begin{cases}3x+4y=5k①,\\4x+3y=9k②,\end{cases}$①+②,得$7x+7y=14k$,整理,得$x+y=2k$,
又因为$x+y=8$,所以$2k=8$,解得$k=4$.
解析 $\begin{cases}3x+4y=5k①,\\4x+3y=9k②,\end{cases}$①+②,得$7x+7y=14k$,整理,得$x+y=2k$,
又因为$x+y=8$,所以$2k=8$,解得$k=4$.
3.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2ax+by=4, \\x-2y=8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x+y=10, \\ax-3by=9\end{cases}$有相同的解，则$a+b$的值为 ______ 。
答案
3.答案 $\frac{7}{4}$
解析 因为方程组$\begin{cases}2ax+by=4,\\x-2y=8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\ax-3by=9\end{cases}$有相同的解,所以方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\x-2y=8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}2ax+by=4,\\ax-3by=9\end{cases}$有相同的解,
解方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\x-2y=8,\end{cases}$得$\begin{cases}x=4,\\y=-2,\end{cases}$
将$\begin{cases}x=4,\\y=-2\end{cases}$代入$\begin{cases}2ax+by=4,\\ax-3by=9,\end{cases}$得$\begin{cases}8a-2b=4,\\4a+6b=9,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{4},\\b=1,\end{cases}$所以$a+b=\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{4}.$
解析 因为方程组$\begin{cases}2ax+by=4,\\x-2y=8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\ax-3by=9\end{cases}$有相同的解,所以方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\x-2y=8\end{cases}$与方程组$\begin{cases}2ax+by=4,\\ax-3by=9\end{cases}$有相同的解,
解方程组$\begin{cases}3x+y=10,\\x-2y=8,\end{cases}$得$\begin{cases}x=4,\\y=-2,\end{cases}$
将$\begin{cases}x=4,\\y=-2\end{cases}$代入$\begin{cases}2ax+by=4,\\ax-3by=9,\end{cases}$得$\begin{cases}8a-2b=4,\\4a+6b=9,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{4},\\b=1,\end{cases}$所以$a+b=\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{4}.$
4.「2025山东济宁一模」若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y=4, \\2x+y=m-1\end{cases}$的解中，$x$与$y$互为相反数，则$m$的值是 ______ .
答案
4.答案 5
解析 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y=4,\\2x+y=m-1\end{cases}$的解中,$x$与$y$互为相反数,所以$x=-y$,把$x=-y$代入$3x+2y=4$,得$-3y+2y=4$,解得$y=-4$,所以$x=4$,把$\begin{cases}x=4,\\y=-4\end{cases}$代入$2x+y=m-1$,得$2×4-4=m-1$,解得$m=5.$
解析 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+2y=4,\\2x+y=m-1\end{cases}$的解中,$x$与$y$互为相反数,所以$x=-y$,把$x=-y$代入$3x+2y=4$,得$-3y+2y=4$,解得$y=-4$,所以$x=4$,把$\begin{cases}x=4,\\y=-4\end{cases}$代入$2x+y=m-1$,得$2×4-4=m-1$,解得$m=5.$
5.「2025浙江杭州拱墅二模」对于关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+ky=b,\\kx+y=b,\end{cases}$小聪通过探究发现，无论$k(k≠1),b$为何值，$x,y$一定相等.你同意他的结论吗？请说明理由.
答案
5.解析 不同意他的结论.理由如下:
$\begin{cases}x+ky=b①,\\kx+y=b②,\end{cases}$①$×k-$②,得$(k^2-1)y=kb-b$,
②$×k-$①,得$(k^2-1)x=kb-b$,
当$k^2-1≠0$,即$k≠±1$时,$x=y=\dfrac{kb-b}{k^2-1}$,
所以当$k≠±1$时,无论$b$为何值,$x$与$y$的值都相等.故不同意小聪的结论.
$\begin{cases}x+ky=b①,\\kx+y=b②,\end{cases}$①$×k-$②,得$(k^2-1)y=kb-b$,
②$×k-$①,得$(k^2-1)x=kb-b$,
当$k^2-1≠0$,即$k≠±1$时,$x=y=\dfrac{kb-b}{k^2-1}$,
所以当$k≠±1$时,无论$b$为何值,$x$与$y$的值都相等.故不同意小聪的结论.
6.「2025 湖南张家界三模」在解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=22,\\cx+7y=8\end{cases}$时，甲同学正确解得$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$乙同学把$c$看错了，得到$\begin{cases}x=-2,\\y=6,\end{cases}$那么$a+b+c=$ ______ .
答案
6.答案 7
解析 把$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=-2,\\y=6\end{cases}$分别代入$ax+by=22$,得$\begin{cases}3a+2b=22①,\\-2a+6b=22②,\end{cases}$①$×3-$②,得$11a=44$,解得$a=4$,把$a=4$代入①,得$3×4+2b=22$,解得$b=5$,把$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$代入$cx+7y=8$,得$3c+14=8$,解得$c=-2$,所以$a+b+c=4+5+(-2)=7$.故答案为7.
解析 把$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=-2,\\y=6\end{cases}$分别代入$ax+by=22$,得$\begin{cases}3a+2b=22①,\\-2a+6b=22②,\end{cases}$①$×3-$②,得$11a=44$,解得$a=4$,把$a=4$代入①,得$3×4+2b=22$,解得$b=5$,把$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$代入$cx+7y=8$,得$3c+14=8$,解得$c=-2$,所以$a+b+c=4+5+(-2)=7$.故答案为7.
7.上数学课时,陈老师让同学们解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+3y=-5①,\\2x-by=14②,\end{cases}$并请小方和小龙两位同学到黑板上写出求解过程.小方同学看错了方程①中的$a$,得到方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2,\end{cases}$小龙同学看错了方程②中的$b$,得到方程组的解为$\begin{cases}x=-2,\\y=-1.\end{cases}$你能求出正确的方程组的解吗?请试一试.
答案
7.解析 因为小方同学看错了方程①中的$a$,所以$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$满足方程$2x-by=14$,将其代入,解得$b=-4$,因为小龙同学看错了方程②中的$b$,所以$\begin{cases}x=-2,\\y=-1\end{cases}$满足方程$ax+3y=-5$,将其代入,解得$a=1$,所以原方程组为$\begin{cases}x+3y=-5,\\2x+4y=14,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=31,\\y=-12.\end{cases}$
8.二元一次方程$x+2y=7$的正整数解有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.C 原方程整理,得$x=-2y+7$,当$y=1$时,$x=5$,当$y=2$时,$x=3$,当$y=3$时,$x=1$,当$y=4$时,$x=-1$,舍去,故该方程共有3个正整数解.故选C.
9.关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ax+2y=4\end{cases}$的解为整数,则满足条件的所有整数$a$的值的和为 ( )
A.$-6$
B.$-8$
C.$8$
D.$10$
A.$-6$
B.$-8$
C.$8$
D.$10$
答案
9.C $\begin{cases}x+y=3①,\\ax+2y=4②,\end{cases}$
②-①×2,得$(a-2)x=-2$,解得$x=-\dfrac{2}{a-2}$,
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3,\\ax+2y=4\end{cases}$的解为整数,所以$a-2=±1,±2$,即$a=0,1,3,4$,把$a$的值代入验证,可知$y$的值也为整数,所以满足条件的所有整数$a$的值的和为$0+1+3+4=8$.故选C.
②-①×2,得$(a-2)x=-2$,解得$x=-\dfrac{2}{a-2}$,
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3,\\ax+2y=4\end{cases}$的解为整数,所以$a-2=±1,±2$,即$a=0,1,3,4$,把$a$的值代入验证,可知$y$的值也为整数,所以满足条件的所有整数$a$的值的和为$0+1+3+4=8$.故选C.
