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11.「2025河南驻马店二中月考，★☆」在解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(m+1)x - ny = 8①, \\nx + my = 11②\end{cases}$时，可以用①×2+②消去未知数$x$，也可以用①+②×5消去未知数$y$，则$m-n=$（ ）
A.$4$
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{6}{7}$
D.$\dfrac{8}{7}$
A.$4$
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{6}{7}$
D.$\dfrac{8}{7}$
答案
11.D ①×2+②,整理,得$(2m+2+n)x+(m-2n)y=27$,因为可以用①×2+②消去未知数x,所以2m+2+n=0③,
①+②×5,整理,得$(m+1+5n)x+(5m-n)y=63$,因为可以用①+②×5消去未知数y,所以5m-n=0④,
联立③④,得$\begin{cases}2m+2+n=0, \\5m-n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{2}{7}, \\n=-\frac{10}{7},\end{cases}$
所以$m-n=-\frac{2}{7}-(-\frac{10}{7})=\frac{8}{7}$.故选 D.
①+②×5,整理,得$(m+1+5n)x+(5m-n)y=63$,因为可以用①+②×5消去未知数y,所以5m-n=0④,
联立③④,得$\begin{cases}2m+2+n=0, \\5m-n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{2}{7}, \\n=-\frac{10}{7},\end{cases}$
所以$m-n=-\frac{2}{7}-(-\frac{10}{7})=\frac{8}{7}$.故选 D.
12.「★☆」给出如下程序：
当输入的x的值为1时，输出值为1，当输入的x的值为-1时，输出值为-3，则当输入的x的值为$\frac{1}{2}$时，输出值为
当输入的x的值为1时，输出值为1，当输入的x的值为-1时，输出值为-3，则当输入的x的值为$\frac{1}{2}$时，输出值为
$-\frac{3}{4}$
。答案
12.答案 $-\frac{3}{4}$
解析 由题意可得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2, \\b=-1,\end{cases}$所以当$x=\frac{1}{2}$时,输出值为$(\frac{1}{2})^3×2-1=-\frac{3}{4}$.
解析 由题意可得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2, \\b=-1,\end{cases}$所以当$x=\frac{1}{2}$时,输出值为$(\frac{1}{2})^3×2-1=-\frac{3}{4}$.
13.「2026浙江杭州月考改编，★☆」把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这是整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题：若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my =5, \\3x + ny =6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$则关于$a,b$的二元一次方程组$\begin{cases}3(a+b)-m(a-b)=5, \\3(a+b)+n(a-b)=6\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
13.答案 $\begin{cases} a=1.5 \\ b=-0.5 \end{cases}$
解析 设a+b=x,a-b=y,则关于a,b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a+b)-m(a-b)=5, \\3(a+b)+n(a-b)=6\end{cases}$可化为$\begin{cases}3x-my=5, \\3x+ny=6,\end{cases}$因为关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}3x-my=5, \\3x+ny=6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$所以$\begin{cases}a+b=1, \\a-b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1.5, \\b=-0.5.\end{cases}$
解析 设a+b=x,a-b=y,则关于a,b的二元一次方程组$\begin{cases}3(a+b)-m(a-b)=5, \\3(a+b)+n(a-b)=6\end{cases}$可化为$\begin{cases}3x-my=5, \\3x+ny=6,\end{cases}$因为关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}3x-my=5, \\3x+ny=6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$所以$\begin{cases}a+b=1, \\a-b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1.5, \\b=-0.5.\end{cases}$
14.「★☆」解方程组时,有时采用特殊的代数技巧可以简化计算,例如,解方程组$\begin{cases}17x+18y=16①,\\20x+21y=19②\end{cases}$时,可以采用以下方法.
解:②-①,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$③,③×17,得$17x+17y=17$④,①-④,得$y=-1$,从而可得$x=2$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$
(1)请你用上述方法解方程组:
$\begin{cases}2023x+2025y=2021①,\\2017x+2019y=2015②.\end{cases}$
(2)猜测关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1,\\(b+1)x+(b+3)y=b-1\end{cases}(a≠b)$的解,并说明理由.
解:②-①,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$③,③×17,得$17x+17y=17$④,①-④,得$y=-1$,从而可得$x=2$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=-1.\end{cases}$
(1)请你用上述方法解方程组:
$\begin{cases}2023x+2025y=2021①,\\2017x+2019y=2015②.\end{cases}$
(2)猜测关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1,\\(b+1)x+(b+3)y=b-1\end{cases}(a≠b)$的解,并说明理由.
答案
14.解析 (1)①-②,得6x+6y=6,所以x+y=1③,
③×2023,得2023x+2023y=2023④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)猜测方程组$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1, \\(b+1)x+(b+3)y=b-1\end{cases}(a≠b)$的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$理由:$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1①, \\(b+1)x+(b+3)y=b-1②,\end{cases}$
①-②,得(a-b)x+(a-b)y=a-b,因为a≠b,所以a-b≠0,所以x+y=1③,
③×(a+1),得(a+1)x+(a+1)y=a+1④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
③×2023,得2023x+2023y=2023④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)猜测方程组$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1, \\(b+1)x+(b+3)y=b-1\end{cases}(a≠b)$的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$理由:$\begin{cases}(a+1)x+(a+3)y=a-1①, \\(b+1)x+(b+3)y=b-1②,\end{cases}$
①-②,得(a-b)x+(a-b)y=a-b,因为a≠b,所以a-b≠0,所以x+y=1③,
③×(a+1),得(a+1)x+(a+1)y=a+1④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
15.核心素养 推理能力「2026江西南昌期末改编」阅读材料并回答问题.
当$m,n$都是实数,且满足$m-n=6$时,称点$P(m-1,3n+1)$为“可爱点”.例如点$E(3,1)$,令$\begin{cases} m-1=3, \\ 3n+1=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=0, \end{cases}$所以$m-n=4≠6$,所以点$E(3,1)$不是“可爱点”.对于点$F(4,-2)$,令$\begin{cases} m-1=4, \\ 3n+1=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=5, \\ n=-1, \end{cases}$所以$m-n=6$,所以点$F(4,-2)$是“可爱点”.
(1)请判断点$A(7,1)$是不是“可爱点”.
(2)若以关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x-y=t \end{cases}$的解为坐标的点$C(x,y)$是“可爱点”,求$t$的值.
当$m,n$都是实数,且满足$m-n=6$时,称点$P(m-1,3n+1)$为“可爱点”.例如点$E(3,1)$,令$\begin{cases} m-1=3, \\ 3n+1=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=0, \end{cases}$所以$m-n=4≠6$,所以点$E(3,1)$不是“可爱点”.对于点$F(4,-2)$,令$\begin{cases} m-1=4, \\ 3n+1=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=5, \\ n=-1, \end{cases}$所以$m-n=6$,所以点$F(4,-2)$是“可爱点”.
(1)请判断点$A(7,1)$是不是“可爱点”.
(2)若以关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x-y=t \end{cases}$的解为坐标的点$C(x,y)$是“可爱点”,求$t$的值.
答案
15.解析 (1)因为点A(7,1),
所以令$\begin{cases} m-1=7, \\ 3n+1=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=8, \\ n=0, \end{cases}$
所以m-n=8≠6,所以点A(7,1)不是“可爱点”.
(2)解方程组$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x-y=t, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{t+2}{3}, \\ y=\frac{4-t}{3}, \end{cases}$
因为点$C(\frac{t+2}{3},\frac{4-t}{3})$是“可爱点”,所以令
$\begin{cases} m-1=\frac{t+2}{3}, \\ 3n+1=\frac{4-t}{3}, \end{cases}$$m-n=6$,解得$\begin{cases} m=\frac{t+5}{3}, \\ n=\frac{1-t}{9}, \end{cases}$所以$\frac{t+5}{3}-\frac{1-t}{9}=6$,解得t=10.
所以令$\begin{cases} m-1=7, \\ 3n+1=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=8, \\ n=0, \end{cases}$
所以m-n=8≠6,所以点A(7,1)不是“可爱点”.
(2)解方程组$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x-y=t, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{t+2}{3}, \\ y=\frac{4-t}{3}, \end{cases}$
因为点$C(\frac{t+2}{3},\frac{4-t}{3})$是“可爱点”,所以令
$\begin{cases} m-1=\frac{t+2}{3}, \\ 3n+1=\frac{4-t}{3}, \end{cases}$$m-n=6$,解得$\begin{cases} m=\frac{t+5}{3}, \\ n=\frac{1-t}{9}, \end{cases}$所以$\frac{t+5}{3}-\frac{1-t}{9}=6$,解得t=10.
