10. 如图是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A,B,C,D分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为$y=2x^2 -2$，则CD的长为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

10. C 解析:令$y=2x^2-2=0$,解得$x=1$或$x=-1$,即$AB=2$,故$CO=1$.令$x=0$,解得$y=-2$,即$OD=2$,所以$CD=CO+OD=1+2=3$.

11. (广东中考)如图,抛物线$y=ax^2+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为 ()

A.-1
B.-2
C.-3
D.-4

11. B 解析:连接$AC$,交$y$轴于点$D$,当$x=0$时,$y=c$,即$OB=c$.$\because$四边形$OABC$是正方形,$\therefore AC=OB=2AD=2OD=c$,$AC⊥ OB$,$\therefore$点$A(\frac{c}{2},\frac{c}{2})$,$\therefore \frac{c}{2}=a×\frac{c^2}{4}+c$,解得$ac=-2$.

12. 如图,抛物线 $ y = ax^2 - 4 $ 和 $ y = -ax^2 + 4 $ 都经过x轴上的A,B两点,两条抛物线的顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为.

12. $\frac{4}{25}$ 解析:$\because$抛物线$y=ax^2-4$和$y=-ax^2+4$都经过$x$轴上的$A,B$两点,$\therefore A,B$两点的坐标分别是$(-\frac{2\sqrt{a}}{a},0)$,$(\frac{2\sqrt{a}}{a},0)$.又抛物线$y=ax^2-4$和$y=-ax^2+4$的顶点分别为$C,D$,$\therefore D,C$两点的坐标分别是$(0,4),(0,-4)$,$\therefore CD=8$,$AB=\frac{4\sqrt{a}}{a}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}ACBD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OD+\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{a}}{a}×8=40$,解得$a=\frac{4}{25}$.

13.(包头中考节选)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+c(a≠0)$与x轴交于A,B两点,点B的坐标是(2,0),顶点C的坐标是(0,4),M是抛物线上一动点,且位于第一象限,直线AM与y轴交于点G.
(1)该抛物线的解析式为;
(2)如图,N是抛物线上一点,且位于第二象限,连接OM,记$△ AOG,△ MOG$的面积分别为$S_1,S_2$.当$S_1=2S_2$,且直线$CN// AM$时,求证:点N与点M关于y轴对称.

13. (1)$y=-x^2+4$ 解析:$\because$抛物线$y=ax^2+c(a≠0)$与$x$轴正半轴交于点$B(2,0)$,顶点$C$的坐标是$(0,4)$,$\therefore \begin{cases}4a+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=4,\end{cases}$$\therefore$该抛物线的解析式为$y=-x^2+4$.
(2)过点$M$作$MD⊥ y$轴,垂足为$D$.$\because △ AOG$与$△ MOG$都以$OG$为底,$S_1=2S_2$,$\therefore OA=2MD$.当$y=0$时,则$-x^2+4=0$,解得$x=\pm2$.$\because B(2,0)$,$\therefore A(-2,0)$,$\therefore OA=2$,$MD=1$.设$M$点的坐标为$(m,-m^2+4)$.$\because$点$M$在第一象限,$\therefore m=1$,$\therefore -m^2+4=3$,即$M(1,3)$.设直线$AM$的解析式为$y=kx+b$,$\therefore \begin{cases}-2k+b=0,\\k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$$\therefore$直线$AM$的解析式为$y=x+2$.
$\because CN// AM$,$\therefore$设直线$CN$的解析式为$y=x+t$.$\because C(0,4)$,$\therefore t=4$,即直线$CN$的解析式为$y=x+4$,将其代入$y=-x^2+4$中,得$x+4=-x^2+4$,解得$x=0$或$x=-1$.$\because N$点在第二象限,$\therefore N(-1,3)$.$\because M(1,3)$,$\therefore$点$N$与点$M$关于$y$轴对称.

14.（恩施州中考改编）如图，已知抛物线$y=ax^2+c$过点$(-2,2),(4,5)$，过定点$F(0,2)$的直线$l:y=kx+2$与抛物线交于A,B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（用“＞”“＜”或“=”表示），并证明你的判断.
（3）P为y轴上一点，以B,C,F,P为顶点的四边形是菱形，设点P(0,m)，则自然数m的值为.
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得$△ QBF$的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及$△ QBF$的最大面积；若不存在，请说明理由.

14. (1)把点$(-2,2),(4,5)$的坐标分别代入$y=ax^2+c$,得$\begin{cases}4a+c=2,\\16a+c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{4},\\c=1,\end{cases}$$\therefore$抛物线的解析式为$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$.
(2)$BF=BC$.证明:设$B(x,\dfrac{1}{4}x^2+1)$,而$F(0,2)$,$\therefore BF^2=x^2+(\dfrac{1}{4}x^2+1-2)^2=x^2+(\dfrac{1}{4}x^2-1)^2=(\dfrac{1}{4}x^2+1)^2$,$\therefore BF=\dfrac{1}{4}x^2+1$.$\because BC⊥ x$轴,$\therefore BC=\dfrac{1}{4}x^2+1$,$\therefore BF=BC$.
(3)6或0 解析:当$m=0$时,$P$点和原点重合,则$PF=PC=2$,点$C$坐标为$(2,0)$,点$B$坐标为$(2,2)$,$BC=BF=2$,四边形$BCPF$为菱形.当点$P$在点$F$上方时,如图①.$\because$以$B,C,F,P$为顶点的四边形是菱形,$\therefore CB=CF=PF$.而$CB=FB$,$\therefore BC=CF=BF$,$\therefore △ BCF$为等边三角形,$\therefore ∠ BCF=60°$,$\therefore ∠ OCF=30°$.在$\mathrm{Rt}△ OCF$中,$CF=2OF=4$,$\therefore PF=CF=4$,$\therefore P(0,6)$,$\therefore$自然数$m$的值为6或0.

(4)存在.作$QE// y$轴交$AB$于点$E$,连接$QB$,$QF$,如图②,当$k=1$时,一次函数解析式为$y=x+2$,解方程组$\begin{cases}y=x+2,\\y=\dfrac{1}{4}x^2+1,\end{cases}$得$\begin{cases}x=2+2\sqrt{2},\\y=4+2\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=2-2\sqrt{2},\\y=4-2\sqrt{2},\end{cases}$则$B(2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2})$.设$Q(t,\dfrac{1}{4}t^2+1)$,则$E(t,t+2)$,$\therefore EQ=t+2-(\dfrac{1}{4}t^2+1)=-\dfrac{1}{4}t^2+t+1$,$\therefore S_{△ QBF}=S_{△ EQF}+S_{△ EQB}=\dfrac{1}{2}(2+2\sqrt{2})· EQ=(\sqrt{2}+1)(-\dfrac{1}{4}t^2+t+1)=-\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}·(t-2)^2+2\sqrt{2}+2$,当$t=2$时,$S_{△ QBF}$有最大值,最大值为$2\sqrt{2}+2$,此时$Q$点的坐标为$(2,2)$.