登录
1 计算$\dfrac{81 - a^2}{a^2 + 6a + 9} ÷ \dfrac{a - 9}{2a + 6} · \dfrac{a + 3}{a + 9}$的结果为 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$
D
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$
答案
$\dfrac{81-a^2}{a^2+6a+9} ÷ \dfrac{a-9}{2a+6} · \dfrac{a+3}{a+9} = -\dfrac{(a+9)(a-9)}{(a+3)^2} · \dfrac{2(a+3)}{a-9} · \dfrac{a+3}{a+9} = -2$. 故选D.
2[2025安徽蚌埠期中]如果$\frac{2a^2b}{3x} · \frac{2xy}{3ab^3} ÷ (\quad) = \frac{2}{3}y$，那么括号内应填写的分式是
$\dfrac{2a}{3b^2}$
。答案
由题意得$\dfrac{2a^2b}{3x} · \dfrac{2xy}{3ab^3} ÷ ( \dfrac{2}{3}y ) = \dfrac{4a^2bxy}{9ab^3x} · \dfrac{3}{2y} = \dfrac{2a}{3b^2}$, 故答案为$\dfrac{2a}{3b^2}$.
3[2025山西大同质检]计算$\frac{1}{x^2 -6x +9} ÷ \frac{x+3}{x-3} · (9 -x^2)$的过程如下:
解:原式$=\frac{1}{(x-3)^2} · \frac{x-3}{x+3} · (3-x)(3+x)$ 第一步
$=1.$ 第二步
回答:(1)上述过程中,第一步中“因式分解”使用的公式用字母$a,b$表示为
(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是
(3)以上两步中,哪一步出现错误?请求出正确结果.
解:原式$=\frac{1}{(x-3)^2} · \frac{x-3}{x+3} · (3-x)(3+x)$ 第一步
$=1.$ 第二步
回答:(1)上述过程中,第一步中“因式分解”使用的公式用字母$a,b$表示为
$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
;(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是
约分
;(3)以上两步中,哪一步出现错误?请求出正确结果.
答案
(1)第一步使用的公式是$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$,$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是约分.
(3)第二步出现错误. $\dfrac{1}{x^2-6x+9} ÷ \dfrac{x+3}{x-3} · (9-x^2) = \dfrac{1}{(x-3)^2} · \dfrac{x-3}{x+3} · (3-x)(3+x) = -1$.
(2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是约分.
(3)第二步出现错误. $\dfrac{1}{x^2-6x+9} ÷ \dfrac{x+3}{x-3} · (9-x^2) = \dfrac{1}{(x-3)^2} · \dfrac{x-3}{x+3} · (3-x)(3+x) = -1$.
4[2026河北石家庄质检]计算：
(1)$\frac{2x^2}{3y^2} · \frac{5y}{6x} ÷ \frac{10y}{21x^2}$；(2)$\frac{x+2}{x^2 -6x +9} ÷ \frac{1}{3-x} · \frac{x-3}{x+2}$。
(1)$\frac{2x^2}{3y^2} · \frac{5y}{6x} ÷ \frac{10y}{21x^2}$；(2)$\frac{x+2}{x^2 -6x +9} ÷ \frac{1}{3-x} · \frac{x-3}{x+2}$。
答案
(1)原式$=\dfrac{2x^2}{3y^2} · \dfrac{5y}{6x} · \dfrac{21x^2}{10y} = \dfrac{7x^3}{6y^2}$.
(2)原式$=\dfrac{x+2}{(x-3)^2} · (3-x) · \dfrac{x-3}{x+2} = -1$.
(2)原式$=\dfrac{x+2}{(x-3)^2} · (3-x) · \dfrac{x-3}{x+2} = -1$.
5 若$\frac{a}{a-1} ÷ \frac{a^2 -1}{2a} × [ \frac{(a-1)(a+1)}{2a} ]^2$的计算结果为正整数,则对$a$值的描述最准确的是 (
A.$a$为自然数
B.$a$为大于0的偶数
C.$a$为大于1的奇数
D.$a$为正整数
C
)A.$a$为自然数
B.$a$为大于0的偶数
C.$a$为大于1的奇数
D.$a$为正整数
答案
原式$= \dfrac{a}{a-1} · \dfrac{2a}{(a+1)(a-1)} · \dfrac{(a-1)^2(a+1)^2}{4a^2} = \dfrac{2a^2}{(a-1)^2(a+1)} · \dfrac{(a-1)^2(a+1)^2}{4a^2} = \dfrac{a+1}{2}$. 由于$\dfrac{a+1}{2}$是正整数,$(a-1)(a+1)≠0$,$a≠0$,所以$a$为大于1的奇数. 故选C.
6 [2026 河南新乡质检] 计算 $(-\dfrac{2x}{y^2})^3 · (\dfrac{2y}{x})^2 ÷ (-\dfrac{2y}{x})$ 的结果是
$\dfrac{16x^2}{y^5}$
。答案
$(-\dfrac{2x}{y^2})^3 · (\dfrac{2y}{x})^2 ÷ (-\dfrac{2y}{x}) = -\dfrac{8x^3}{y^6} · \dfrac{4y^2}{x^2} · (-\dfrac{x}{2y}) = \dfrac{16x^2}{y^5}$. 故答案为$\dfrac{16x^2}{y^5}$.
7 先化简,再求值:$(\dfrac{x^2 - y^2}{xy})^2 ÷ (x + y) · (\dfrac{x}{x - y})^3$,其中$x = -\dfrac{1}{2}, y = -1$.
刷易错 .....................小心有坑~
刷易错 .....................小心有坑~
答案
原式$=\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2} · \dfrac{1}{x+y} · \dfrac{x^3}{(x-y)^3} = \dfrac{x(x+y)}{y^2(x-y)} = \dfrac{x^2+xy}{xy^2-y^3}$. 当$x = -\dfrac{1}{2}, y = -1$时, 原式$=\dfrac{3}{2}$.
8 计算:$(x+y)÷\frac{x+y}{x}·\frac{x}{x+y}.$
佳佳的计算过程如下:
解:$(x+y)÷\frac{x+y}{x}·\frac{x}{x+y}$
$=(x+y)÷(\frac{x+y}{x}·\frac{x}{x+y})$
$=x+y.$
请问佳佳的计算结果对吗？如果不对,请改正.
佳佳的计算过程如下:
解:$(x+y)÷\frac{x+y}{x}·\frac{x}{x+y}$
$=(x+y)÷(\frac{x+y}{x}·\frac{x}{x+y})$
$=x+y.$
请问佳佳的计算结果对吗？如果不对,请改正.
答案
佳佳的计算结果不对. 改正如下:
原式$=(x+y) · \dfrac{x}{x+y} · \dfrac{x}{x+y} = \dfrac{x^2}{x+y}$.
原式$=(x+y) · \dfrac{x}{x+y} · \dfrac{x}{x+y} = \dfrac{x^2}{x+y}$.
