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6. 如图，直线a，b被c所截，若图中共有对顶角x对，同位角y对，内错角m对，同旁内角n对，则$x+y+m+n$的值为
12
。答案
6.12
解析
【分析】
解题时需分别计算对顶角、同位角、内错角、同旁内角的数量再求和：首先回忆对顶角的定义，两条直线相交会形成2对对顶角，本题有a与c相交、b与c相交两个交点，可先算出对顶角的数量x；再结合“两条直线被第三条直线所截”的三线八角模型，分别数出同位角y、内错角m、同旁内角n的数量，最后将四个数值相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算对顶角数量x：
直线a与c相交，形成2对对顶角（∠1与∠3、∠2与∠4）；直线b与c相交，形成2对对顶角（∠5与∠7、∠6与∠8），因此$x=2+2=4$。
2. 计算同位角数量y：
直线a、b被c所截，同位角共4对，分别为∠1与∠7、∠2与∠6、∠3与∠5、∠4与∠8，因此$y=4$。
3. 计算内错角数量m：
直线a、b被c所截，内错角共2对，分别为∠3与∠7、∠4与∠6，因此$m=2$。
4. 计算同旁内角数量n：
直线a、b被c所截，同旁内角共2对，分别为∠3与∠6、∠4与∠7，因此$n=2$。
最终$x+y+m+n=4+4+2+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
对顶角识别；三线八角；角的计数
【点评】
本题核心是考查相交线形成的各类角的计数问题，解题的关键是牢记对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，按规律计数避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解题时需分别计算对顶角、同位角、内错角、同旁内角的数量再求和：首先回忆对顶角的定义，两条直线相交会形成2对对顶角，本题有a与c相交、b与c相交两个交点，可先算出对顶角的数量x；再结合“两条直线被第三条直线所截”的三线八角模型，分别数出同位角y、内错角m、同旁内角n的数量，最后将四个数值相加即可得到结果。
【解析】
1. 计算对顶角数量x：
直线a与c相交，形成2对对顶角（∠1与∠3、∠2与∠4）；直线b与c相交，形成2对对顶角（∠5与∠7、∠6与∠8），因此$x=2+2=4$。
2. 计算同位角数量y：
直线a、b被c所截，同位角共4对，分别为∠1与∠7、∠2与∠6、∠3与∠5、∠4与∠8，因此$y=4$。
3. 计算内错角数量m：
直线a、b被c所截，内错角共2对，分别为∠3与∠7、∠4与∠6，因此$m=2$。
4. 计算同旁内角数量n：
直线a、b被c所截，同旁内角共2对，分别为∠3与∠6、∠4与∠7，因此$n=2$。
最终$x+y+m+n=4+4+2+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
对顶角识别；三线八角；角的计数
【点评】
本题核心是考查相交线形成的各类角的计数问题，解题的关键是牢记对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，按规律计数避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
7.体育课上老师测同学们的跳远成绩时，总是先将皮尺的一端固定在沙坑里脚印的脚后跟处，再将皮尺拉直，使皮尺与起点处的踏板为
垂直
关系，记下的数值即为该同学的跳远成绩，这样做的数学原理是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
。答案
7.垂直 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
解析
【分析】
我们可以将跳远场景转化为几何问题分析：首先把踏板抽象为一条直线，沙坑中脚印的脚后跟是这条直线外的一个点，跳远成绩本质上是这个点到踏板所在直线的距离。回忆几何中点到直线距离的相关定义，只有直线外一点到直线的垂线段长度才是点到直线的距离，因此需要让皮尺和踏板呈垂直关系，此时测得的数值才是符合要求的跳远成绩。
【解析】
解：将起跳踏板看作一条直线，沙坑里脚印的脚后跟位置是该直线外的一个点。根据几何定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。跳远成绩就是脚印这个点到踏板所在直线的距离，因此需要把拉直的皮尺调整为与踏板垂直的状态，此时测得的长度就是准确的跳远成绩。
【答案】
垂直；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
【知识点】
点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考察几何基础概念的应用，能帮助学生理解数学知识在生活中的实用价值，侧重对基础定义的理解掌握。
【难度系数】
0.8
我们可以将跳远场景转化为几何问题分析：首先把踏板抽象为一条直线，沙坑中脚印的脚后跟是这条直线外的一个点，跳远成绩本质上是这个点到踏板所在直线的距离。回忆几何中点到直线距离的相关定义，只有直线外一点到直线的垂线段长度才是点到直线的距离，因此需要让皮尺和踏板呈垂直关系，此时测得的数值才是符合要求的跳远成绩。
【解析】
解：将起跳踏板看作一条直线，沙坑里脚印的脚后跟位置是该直线外的一个点。根据几何定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。跳远成绩就是脚印这个点到踏板所在直线的距离，因此需要把拉直的皮尺调整为与踏板垂直的状态，此时测得的长度就是准确的跳远成绩。
【答案】
垂直；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
【知识点】
点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考察几何基础概念的应用，能帮助学生理解数学知识在生活中的实用价值，侧重对基础定义的理解掌握。
【难度系数】
0.8
8. 一束光线沿AO射向平静透明的水面BC，一部分光线经过水面反射（入射光线与水面的夹角等于反射光线与水面的夹角）形成光线OD，还有一部分光线折射到水中形成光线OE。当入射角α和折射角β满足$2α=3β$时，$OD⊥ OE$，此时入射光线与水面的夹角$∠ AOB$的度数为
$36°$
。答案
8.$36°$
解析
【分析】
解题时首先梳理各角的数量关系：①图中虚线为法线，与水面BC垂直，因此入射角α与入射光线和水面的夹角∠AOB互余，即∠AOB=90°-α；②根据题目给出的反射规律，反射光线OD与法线的夹角也等于α；③已知OD⊥OE，可得α+β=90°；最后结合已知条件2α=3β，联立求出α的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵法线与水面BC垂直，
∴∠AOB + α = 90°，即∠AOB = 90° - α。
根据题意，入射光线与水面的夹角等于反射光线与水面的夹角，因此反射光线OD与法线的夹角为α。
∵OD⊥OE，
∴∠DOE = 90°，可得α + β = 90°。
又
∵2α = 3β，
∴β = $\frac{2}{3}$α，代入α + β = 90°得：
α + $\frac{2}{3}$α = 90°
$\frac{5}{3}$α = 90°
解得α = 54°
∴∠AOB = 90° - 54° = 36°
【答案】
$36°$
【知识点】
1. 垂直的定义 2. 角度和差计算 3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中常见的光学现象考查角度的运算，解题的核心是准确梳理各个角之间的数量关系，结合已知条件建立等式求解，整体比较基础，需要注意推导角的关系时不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理各角的数量关系：①图中虚线为法线，与水面BC垂直，因此入射角α与入射光线和水面的夹角∠AOB互余，即∠AOB=90°-α；②根据题目给出的反射规律，反射光线OD与法线的夹角也等于α；③已知OD⊥OE，可得α+β=90°；最后结合已知条件2α=3β，联立求出α的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵法线与水面BC垂直，
∴∠AOB + α = 90°，即∠AOB = 90° - α。
根据题意，入射光线与水面的夹角等于反射光线与水面的夹角，因此反射光线OD与法线的夹角为α。
∵OD⊥OE，
∴∠DOE = 90°，可得α + β = 90°。
又
∵2α = 3β，
∴β = $\frac{2}{3}$α，代入α + β = 90°得：
α + $\frac{2}{3}$α = 90°
$\frac{5}{3}$α = 90°
解得α = 54°
∴∠AOB = 90° - 54° = 36°
【答案】
$36°$
【知识点】
1. 垂直的定义 2. 角度和差计算 3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中常见的光学现象考查角度的运算，解题的核心是准确梳理各个角之间的数量关系，结合已知条件建立等式求解，整体比较基础，需要注意推导角的关系时不要混淆。
【难度系数】
0.7
9.如图,直线AB,CD相交于点O,P是CD上一点.
(1)过点P画AB的垂线段PE,与AB交于点E;过点P画CD的垂线,与AB相交于点F.
(2)说明线段PE,PO,FO三者的大小关系,其依据是什么?
(1)过点P画AB的垂线段PE,与AB交于点E;过点P画CD的垂线,与AB相交于点F.
(2)说明线段PE,PO,FO三者的大小关系,其依据是什么?
答案
9.解:(1)如图.
(2)$PE＜PO＜FO$，其依据是“垂线段最短”.
解析
【分析】
（1）作图思路：画过点P到AB的垂线段PE时，将三角尺的一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段交AB于E，标注直角符号即可；画过P的CD的垂线时，把三角尺的直角顶点对准点P，一条直角边与CD重合，沿另一条直角边画直线交AB于F，标注直角符号即可。
（2）大小比较思路：回忆垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。首先PE是点P到AB的垂线段，PO是点P到AB的斜线段，因此PE短于PO；其次FP垂直CD，PO是点O到直线FP的垂线段，FO是点O到FP的斜线段，因此PO短于FO，即可推出三者的大小关系。
【解析】
（1）按照垂线的作图规范操作，最终作图结果如图所示。
（2）①PE是点P到直线AB的垂线段，PO是点P到AB的斜线段，根据垂线段最短，可得$PE＜PO$；
②FP是过点P且垂直于CD的直线，PO是点O到直线FP的垂线段，FO是点O到FP的斜线段，根据垂线段最短，可得$PO＜FO$；
因此三者的大小关系为$PE＜PO＜FO$，判断依据是垂线段最短。
【答案】
(1)如图.
(2)$PE＜PO＜FO$，其依据是“垂线段最短”。
【知识点】
垂线的画法，垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂线的作图规范和垂线段最短性质的应用，作图时需注意标注直角符号，比较线段长度时要准确对应点到直线的垂线段和斜线段，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
（1）作图思路：画过点P到AB的垂线段PE时，将三角尺的一条直角边与AB重合，平移三角尺使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段交AB于E，标注直角符号即可；画过P的CD的垂线时，把三角尺的直角顶点对准点P，一条直角边与CD重合，沿另一条直角边画直线交AB于F，标注直角符号即可。
（2）大小比较思路：回忆垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。首先PE是点P到AB的垂线段，PO是点P到AB的斜线段，因此PE短于PO；其次FP垂直CD，PO是点O到直线FP的垂线段，FO是点O到FP的斜线段，因此PO短于FO，即可推出三者的大小关系。
【解析】
（1）按照垂线的作图规范操作，最终作图结果如图所示。
（2）①PE是点P到直线AB的垂线段，PO是点P到AB的斜线段，根据垂线段最短，可得$PE＜PO$；
②FP是过点P且垂直于CD的直线，PO是点O到直线FP的垂线段，FO是点O到FP的斜线段，根据垂线段最短，可得$PO＜FO$；
因此三者的大小关系为$PE＜PO＜FO$，判断依据是垂线段最短。
【答案】
(1)如图.
(2)$PE＜PO＜FO$，其依据是“垂线段最短”。
【知识点】
垂线的画法，垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，重点考查垂线的作图规范和垂线段最短性质的应用，作图时需注意标注直角符号，比较线段长度时要准确对应点到直线的垂线段和斜线段，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
