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1 下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的有（
①$y=3x$；②$y=-\dfrac{2}{x}$；③$y=\dfrac{x}{3}$；④$-xy=3$；⑤$y=\dfrac{2}{x+1}$；⑥$y=\dfrac{1}{x^2}$；⑦$y=2x^{-2}$；⑧$y=\dfrac{k}{x}$。
A.②④
B.②③⑤⑧
C.②⑦⑧
D.①③④⑥
A
）①$y=3x$；②$y=-\dfrac{2}{x}$；③$y=\dfrac{x}{3}$；④$-xy=3$；⑤$y=\dfrac{2}{x+1}$；⑥$y=\dfrac{1}{x^2}$；⑦$y=2x^{-2}$；⑧$y=\dfrac{k}{x}$。
A.②④
B.②③⑤⑧
C.②⑦⑧
D.①③④⑥
答案
1. A 【解析】反比例函数的表达式形式: $y=\dfrac{k}{x}$$(k≠0)$ ; $y=kx^{-1}(k≠0)$ ; $xy=k(k≠0)$.
① 是正比例函数 ×
② 符合形式 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ √
③
④ 符合形式 $xy=k(k≠0)$ √
⑤ 分母位置不只有x ×
⑥ 分母中x的次数不是1 ×
⑦ x的次数不是-1 ×
⑧ k的值没有说明不为0 ×
① 是正比例函数 ×
② 符合形式 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ √
③
④ 符合形式 $xy=k(k≠0)$ √
⑤ 分母位置不只有x ×
⑥ 分母中x的次数不是1 ×
⑦ x的次数不是-1 ×
⑧ k的值没有说明不为0 ×
解析
【分析】
要判断给定函数是否为反比例函数，首先需要明确反比例函数的三种标准形式：$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$、$xy=k(k\ne0)$、$y=kx^{-1}(k\ne0)$，核心判定要点有三个：一是常数$k$不能为0；二是自变量$x$的次数为$-1$；三是分母中只能是单独的$x$，不能有其他加减项。接下来我们逐一验证每个函数是否符合要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是反比例函数，等价形式还有$xy=k(k\ne0)$、$y=kx^{-1}(k\ne0)$。我们逐个判断：
①$y=3x$是正比例函数，不是反比例函数，排除；
②$y=-\dfrac{2}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-2\ne0$，是反比例函数；
③$y=\dfrac{x}{3}$是正比例函数，不是反比例函数，排除；
④$-xy=3$整理可得$xy=-3$，符合$xy=k$的形式，其中$k=-3\ne0$，是反比例函数；
⑤$y=\dfrac{2}{x+1}$，分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，不符合要求，排除；
⑥$y=\dfrac{1}{x^2}$，分母中$x$的次数是2，不是1，不符合要求，排除；
⑦$y=2x^{-2}$，自变量$x$的次数是$-2$，不是$-1$，不符合要求，排除；
⑧$y=\dfrac{k}{x}$，未说明$k\ne0$，不符合反比例函数的定义，排除。
综上，是反比例函数的为②④，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的基础辨析题，解题关键是准确掌握反比例函数的定义和等价形式，特别要注意定义中的隐含条件：比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，避免因忽略限制条件或混淆函数类型出错。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为反比例函数，首先需要明确反比例函数的三种标准形式：$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$、$xy=k(k\ne0)$、$y=kx^{-1}(k\ne0)$，核心判定要点有三个：一是常数$k$不能为0；二是自变量$x$的次数为$-1$；三是分母中只能是单独的$x$，不能有其他加减项。接下来我们逐一验证每个函数是否符合要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是反比例函数，等价形式还有$xy=k(k\ne0)$、$y=kx^{-1}(k\ne0)$。我们逐个判断：
①$y=3x$是正比例函数，不是反比例函数，排除；
②$y=-\dfrac{2}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-2\ne0$，是反比例函数；
③$y=\dfrac{x}{3}$是正比例函数，不是反比例函数，排除；
④$-xy=3$整理可得$xy=-3$，符合$xy=k$的形式，其中$k=-3\ne0$，是反比例函数；
⑤$y=\dfrac{2}{x+1}$，分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，不符合要求，排除；
⑥$y=\dfrac{1}{x^2}$，分母中$x$的次数是2，不是1，不符合要求，排除；
⑦$y=2x^{-2}$，自变量$x$的次数是$-2$，不是$-1$，不符合要求，排除；
⑧$y=\dfrac{k}{x}$，未说明$k\ne0$，不符合反比例函数的定义，排除。
综上，是反比例函数的为②④，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数的基础辨析题，解题关键是准确掌握反比例函数的定义和等价形式，特别要注意定义中的隐含条件：比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，避免因忽略限制条件或混淆函数类型出错。
【难度系数】
0.8
2 已知反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{|a|-2}{x}$，则 $a$ 的取值范围是（
A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a≠±2$
D.$a=±2$
C
）A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a≠±2$
D.$a=±2$
答案
2. C 【解析】由题意可得$|a|-2≠0$,解得 $a≠±2$.
解析
【分析】
解题需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），核心要求是比例系数$k$不能为0。本题中比例系数为$|a|-2$，先据此列出不等式，再解绝对值不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，比例系数不能为0，因此可得：
$|a|-2\ne0$
移项得$|a|\ne2$
根据绝对值的性质，绝对值等于2的数是$\pm2$，因此$a\ne\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；绝对值不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要牢记反比例函数中比例系数不为0的要求，解题时注意绝对值的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），核心要求是比例系数$k$不能为0。本题中比例系数为$|a|-2$，先据此列出不等式，再解绝对值不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，比例系数不能为0，因此可得：
$|a|-2\ne0$
移项得$|a|\ne2$
根据绝对值的性质，绝对值等于2的数是$\pm2$，因此$a\ne\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；绝对值不等式求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要牢记反比例函数中比例系数不为0的要求，解题时注意绝对值的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 中自变量x的取值范围为
$x≠0$
。答案
3. $x≠0$ 【解析】
∵ 自变量x在分母上,分式的分母不为0,
∴ $x≠0$. 故答案为 $x≠0$.
∵ 自变量x在分母上,分式的分母不为0,
∴ $x≠0$. 故答案为 $x≠0$.
解析
【分析】
求解本题时，首先观察反比例函数的表达式结构，$y=\frac{2}{x}$属于分式形式，我们需要结合分式有意义的条件以及反比例函数的定义来确定自变量的取值范围：分式有意义的前提是分母不为0，同时反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的定义中也明确自变量x不能为0，因此只需令分母x不等于0即可得到结果。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的表达式为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，此处分母为x，
∴ $x≠0$。
【答案】
$x≠0$
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考查函数自变量取值范围的求解，解题关键是掌握分式有意义的条件和反比例函数的形式特点，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
求解本题时，首先观察反比例函数的表达式结构，$y=\frac{2}{x}$属于分式形式，我们需要结合分式有意义的条件以及反比例函数的定义来确定自变量的取值范围：分式有意义的前提是分母不为0，同时反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的定义中也明确自变量x不能为0，因此只需令分母x不等于0即可得到结果。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的表达式为分式形式，分式有意义的条件是分母不为0，此处分母为x，
∴ $x≠0$。
【答案】
$x≠0$
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考查函数自变量取值范围的求解，解题关键是掌握分式有意义的条件和反比例函数的形式特点，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
4 新考向跨学科综合[2026湖北襄阳质检]某蓄电池的电压为48 V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$.当$R=6\ \Omega$时,I的值为
8
A.答案
4. 8 【解析】当 $R=6\ \Omega$ 时,$I=\dfrac{48}{R}=\dfrac{48}{6}=8(\mathrm{A})$,故答案为 8.
解析
【分析】
本题已经给出电流I关于电阻R的反比例函数表达式，要求当R=6Ω时对应的I值，解题思路十分清晰：直接将自变量R的取值代入给出的函数表达式，通过除法计算即可得到对应的函数值I，属于基础的代入求值类问题。
【解析】
将$R=6\ \Omega$代入函数表达式$I=\frac{48}{R}$，可得：
$I=\dfrac{48}{6}=8(\mathrm{A})$
【答案】
8
【知识点】
反比例函数，代入法求函数值
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的基础应用，题型简单直接，只要掌握代入法求函数值的基本方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题已经给出电流I关于电阻R的反比例函数表达式，要求当R=6Ω时对应的I值，解题思路十分清晰：直接将自变量R的取值代入给出的函数表达式，通过除法计算即可得到对应的函数值I，属于基础的代入求值类问题。
【解析】
将$R=6\ \Omega$代入函数表达式$I=\frac{48}{R}$，可得：
$I=\dfrac{48}{6}=8(\mathrm{A})$
【答案】
8
【知识点】
反比例函数，代入法求函数值
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的基础应用，题型简单直接，只要掌握代入法求函数值的基本方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
5[2026浙江绍兴期末]已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（
A.$y=\dfrac{12}{x}$
B.$y=\dfrac{7}{x}$
C.$y=-\dfrac{12}{x}$
D.$y=\dfrac{12}{x}$或$y=-\dfrac{12}{x}$
D
）A.$y=\dfrac{12}{x}$
B.$y=\dfrac{7}{x}$
C.$y=-\dfrac{12}{x}$
D.$y=\dfrac{12}{x}$或$y=-\dfrac{12}{x}$
答案
5. D 【解析】设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$$(k≠0)$,设 $A(a,b).$
∵ 点 A 到 x 轴的距离为3,到 y 轴的距离为 4,
∴ $a=±4,b=±3.$ 把 $A(a,b)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $k=±12$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$ 或 $y=-\dfrac{12}{x}$. 故选 D.
∵ 点 A 到 x 轴的距离为3,到 y 轴的距离为 4,
∴ $a=±4,b=±3.$ 把 $A(a,b)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $k=±12$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$ 或 $y=-\dfrac{12}{x}$. 故选 D.
解析
【分析】
要确定反比例函数的表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，只需要求出常数$k$的值即可。首先根据点到坐标轴的距离的含义，确定点A横、纵坐标的可能取值：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，因此点A的横、纵坐标都有正负两种可能。再将点A坐标代入反比例函数表达式，计算出$k$的所有可能值，就能得到对应的函数表达式。
【解析】
设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(a,b)$。
∵ 点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴ $|b|=3$，$|a|=4$，即$a=\pm4$，$b=\pm3$。
将$A(a,b)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得$k=ab$，
当$a$、$b$同号时，$ab=4×3=(-4)×(-3)=12$；当$a$、$b$异号时，$ab=4×(-3)=(-4)×3=-12$，即$k=\pm12$。
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$或$y=-\dfrac{12}{x}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的表达式
2. 点到坐标轴的距离
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求反比例函数解析式，易错点是容易忽略点A可以位于不同象限，仅考虑横纵坐标同号的情况，导致漏解。解题时要注意距离对应坐标的绝对值，横纵坐标的符号组合有多种情况，需全面考虑。
【难度系数】
0.7
要确定反比例函数的表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，只需要求出常数$k$的值即可。首先根据点到坐标轴的距离的含义，确定点A横、纵坐标的可能取值：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，因此点A的横、纵坐标都有正负两种可能。再将点A坐标代入反比例函数表达式，计算出$k$的所有可能值，就能得到对应的函数表达式。
【解析】
设反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，设点A的坐标为$(a,b)$。
∵ 点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴ $|b|=3$，$|a|=4$，即$a=\pm4$，$b=\pm3$。
将$A(a,b)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得$k=ab$，
当$a$、$b$同号时，$ab=4×3=(-4)×(-3)=12$；当$a$、$b$异号时，$ab=4×(-3)=(-4)×3=-12$，即$k=\pm12$。
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$或$y=-\dfrac{12}{x}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的表达式
2. 点到坐标轴的距离
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求反比例函数解析式，易错点是容易忽略点A可以位于不同象限，仅考虑横纵坐标同号的情况，导致漏解。解题时要注意距离对应坐标的绝对值，横纵坐标的符号组合有多种情况，需全面考虑。
【难度系数】
0.7
6[2025福建漳州期中]已知点$A(-2,m)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，点$A'$与点$A$关于$y$轴对称，若点$A'$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上，则这个反比例函数的表达式为
$y=-\dfrac{2}{x}$
.答案
6. $y=-\dfrac{2}{x}$ 【解析】
∵ 点 $A'$ 与点 A 关于 y 轴对称...
∵ 点 $A'$ 与点 A 关于 y 轴对称...
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据关于y轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），由点A的坐标写出对称点A'的坐标；第二步，将A'的坐标代入正比例函数解析式，求出m的值，即可得到点A的完整坐标；第三步，将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，就能得到反比例函数的表达式。
【解析】
∵ 点$A'$与点$A(-2,m)$关于$y$轴对称，
∴ 点$A'$的坐标为$(2,m)$。
∵ 点$A'$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上，
∴ 将$x=2$，$y=m$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$m=\frac{1}{2}×2=1$，
∴ 点$A$的坐标为$(-2,1)$。
∵ 点$A(-2,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴ 将$x=-2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2$，
∴ 该反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标规律；正比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是函数基础综合题，结合了坐标对称、正比例函数和反比例函数的核心基础知识点，解题的核心是先求出点A的坐标，再用待定系数法求解反比例函数解析式，是反比例函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步思考：第一步，根据关于y轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），由点A的坐标写出对称点A'的坐标；第二步，将A'的坐标代入正比例函数解析式，求出m的值，即可得到点A的完整坐标；第三步，将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，就能得到反比例函数的表达式。
【解析】
∵ 点$A'$与点$A(-2,m)$关于$y$轴对称，
∴ 点$A'$的坐标为$(2,m)$。
∵ 点$A'$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上，
∴ 将$x=2$，$y=m$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$m=\frac{1}{2}×2=1$，
∴ 点$A$的坐标为$(-2,1)$。
∵ 点$A(-2,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴ 将$x=-2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2$，
∴ 该反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标规律；正比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是函数基础综合题，结合了坐标对称、正比例函数和反比例函数的核心基础知识点，解题的核心是先求出点A的坐标，再用待定系数法求解反比例函数解析式，是反比例函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
7[2025陕西西安新城区校级期中]已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是同一个反比例函数图象上的两点,若$x_1+x_2=0$,且$x_1y_2=4$,则这个反比例函数的表达式为.
答案
解：设这个反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
因为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，
所以$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由$x_1+x_2=0$，可得$x_2=-x_1$。
将$x_2=-x_1$代入$x_2y_2=k$，得$-x_1y_2=k$。
已知$x_1y_2=4$，因此$k=-4$。
所以这个反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{4}{x}}$。
因为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，
所以$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由$x_1+x_2=0$，可得$x_2=-x_1$。
将$x_2=-x_1$代入$x_2y_2=k$，得$-x_1y_2=k$。
已知$x_1y_2=4$，因此$k=-4$。
所以这个反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{4}{x}}$。
解析
【分析】
要求反比例函数的表达式，核心是求出反比例函数的常数$k$。回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于$k$，因此我们先设出函数表达式，再结合题中给出的两点坐标关系$x_1+x_2=0$（即$x_2=-x_1$），以及已知条件$x_1y_2=4$，通过代换建立关于$k$的等式，即可求出$k$的值，得到函数表达式。
【解析】
设这个反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
因为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由$x_1+x_2=0$，移项可得$x_2=-x_1$。
将$x_2=-x_1$代入$x_2y_2=k$，得$-x_1y_2=k$。
已知$x_1y_2=4$，代入上式可得$k=-4$。
所以这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，解题关键是熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数$k$的性质，结合已知条件进行等量代换即可求出$k$值，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要求反比例函数的表达式，核心是求出反比例函数的常数$k$。回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于$k$，因此我们先设出函数表达式，再结合题中给出的两点坐标关系$x_1+x_2=0$（即$x_2=-x_1$），以及已知条件$x_1y_2=4$，通过代换建立关于$k$的等式，即可求出$k$的值，得到函数表达式。
【解析】
设这个反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
因为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
由$x_1+x_2=0$，移项可得$x_2=-x_1$。
将$x_2=-x_1$代入$x_2y_2=k$，得$-x_1y_2=k$。
已知$x_1y_2=4$，代入上式可得$k=-4$。
所以这个反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，解题关键是熟练掌握反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数$k$的性质，结合已知条件进行等量代换即可求出$k$值，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
8 已知$y=y_1+y_2$，且$y_1$与$(x-1)$成正比例，$y_2$与$x$成反比例。当$x=2$时，$y=5$；当$x=-2$时，$y=-9$。
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)求当$x=8$时的函数值$y$。
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)求当$x=8$时的函数值$y$。
答案
8. 解：
$\because y=y_1+y_2$,$\therefore y=k_1(x-1)+\dfrac{k_2}{x}$.
$\because$ 当 $x=2$ 时,$y=5$; 当 $x=-2$ 时,$y=-9$,
$\therefore \begin{cases}5=k_1+\dfrac{k_2}{2},\\-9=-3k_1-\dfrac{k_2}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2,\\k_2=6,\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$.
(2)当 $x=8$ 时,$y=2×7+\dfrac{6}{8}=14\dfrac{3}{4}$.
$\because y=y_1+y_2$,$\therefore y=k_1(x-1)+\dfrac{k_2}{x}$.
$\because$ 当 $x=2$ 时,$y=5$; 当 $x=-2$ 时,$y=-9$,
$\therefore \begin{cases}5=k_1+\dfrac{k_2}{2},\\-9=-3k_1-\dfrac{k_2}{2},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=2,\\k_2=6,\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$.
(2)当 $x=8$ 时,$y=2×7+\dfrac{6}{8}=14\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
本题采用待定系数法求解，解题思路如下：第一步，根据正比例、反比例的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参表达式，合并得到$y$关于$x$的含参函数式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入含参表达式，得到关于参数$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出两个参数的取值，即可得到$y$关于$x$的函数表达式；第二问直接将$x=8$代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的函数值。
【解析】
(1) $\because y_1$与$(x-1)$成正比例，$y_2$与$x$成反比例
$\therefore$ 设$y_1=k_1(x-1)$（$k_1≠0$），$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）
又$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y=k_1(x-1)+\dfrac{k_2}{x}$
将$x=2$，$y=5$和$x=-2$，$y=-9$分别代入上式，得：
$\begin{cases}5=k_1(2-1)+\dfrac{k_2}{2}\\-9=k_1(-2-1)+\dfrac{k_2}{-2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}k_1+\dfrac{k_2}{2}=5\\-3k_1-\dfrac{k_2}{2}=-9\end{cases}$
两式相加消去$\dfrac{k_2}{2}$，得$-2k_1=-4$，解得$k_1=2$
将$k_1=2$代入$k_1+\dfrac{k_2}{2}=5$，得$2+\dfrac{k_2}{2}=5$，解得$k_2=6$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$
(2) 当$x=8$时，代入函数表达式得：
$y=2×(8-1)+\dfrac{6}{8}=14+\dfrac{3}{4}=14\dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$；(2) $14\dfrac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握正比例、反比例函数的表达形式，代入数值计算时注意符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题采用待定系数法求解，解题思路如下：第一步，根据正比例、反比例的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的含参表达式，合并得到$y$关于$x$的含参函数式；第二步，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入含参表达式，得到关于参数$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出两个参数的取值，即可得到$y$关于$x$的函数表达式；第二问直接将$x=8$代入已求出的函数解析式，计算即可得到对应的函数值。
【解析】
(1) $\because y_1$与$(x-1)$成正比例，$y_2$与$x$成反比例
$\therefore$ 设$y_1=k_1(x-1)$（$k_1≠0$），$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）
又$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y=k_1(x-1)+\dfrac{k_2}{x}$
将$x=2$，$y=5$和$x=-2$，$y=-9$分别代入上式，得：
$\begin{cases}5=k_1(2-1)+\dfrac{k_2}{2}\\-9=k_1(-2-1)+\dfrac{k_2}{-2}\end{cases}$
化简得$\begin{cases}k_1+\dfrac{k_2}{2}=5\\-3k_1-\dfrac{k_2}{2}=-9\end{cases}$
两式相加消去$\dfrac{k_2}{2}$，得$-2k_1=-4$，解得$k_1=2$
将$k_1=2$代入$k_1+\dfrac{k_2}{2}=5$，得$2+\dfrac{k_2}{2}=5$，解得$k_2=6$
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$
(2) 当$x=8$时，代入函数表达式得：
$y=2×(8-1)+\dfrac{6}{8}=14+\dfrac{3}{4}=14\dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $y=2(x-1)+\dfrac{6}{x}$；(2) $14\dfrac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握正比例、反比例函数的表达形式，代入数值计算时注意符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
9 某电子产品的售价为8 000元,购买该产品时可分期付款:前期付款3 000元,后期每个月分别付相同的数额,则后期每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是
$y=\dfrac{5000}{x}$
.答案
9. $y=\dfrac{5000}{x}$ 【解析】由题意得 $y=\dfrac{8\ 000-3\ 000}{x}=\dfrac{5\ 000}{x}$,即 $y=\dfrac{5\ 000}{x}$.
解析
【分析】
解题时首先明确总售价、前期付款、后期需付款总额三者的关系：后期需付款总额=总售价-前期付款。再根据后期等额付款的规则，后期需付款总额等于每月付款额乘以付款月数，据此列出等量关系，最后整理为y关于x的函数关系式即可。
【解析】
第一步：计算后期需要支付的总金额：总售价为8000元，前期付款3000元，因此未付金额为$8000-3000=5000$元。
第二步：根据等额付款的等量关系列等式：每月付款额为y元，x个月付清总欠款，因此总欠款=月付款额×付款月数，即$xy=5000$。
第三步：将等式变形为y关于x的函数形式，可得$y=\dfrac{5000}{x}$（x为正整数）。
【答案】
$y=\dfrac{5000}{x}$
【知识点】
反比例函数、列函数解析式、实际问题函数应用
【点评】
本题是反比例函数在生活场景中的基础应用，核心是梳理清楚付款问题中各数量的对应关系，找准列等式的依据，只要能正确计算未付款总额，结合反比例的等量关系就能顺利求解，属于基础类习题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确总售价、前期付款、后期需付款总额三者的关系：后期需付款总额=总售价-前期付款。再根据后期等额付款的规则，后期需付款总额等于每月付款额乘以付款月数，据此列出等量关系，最后整理为y关于x的函数关系式即可。
【解析】
第一步：计算后期需要支付的总金额：总售价为8000元，前期付款3000元，因此未付金额为$8000-3000=5000$元。
第二步：根据等额付款的等量关系列等式：每月付款额为y元，x个月付清总欠款，因此总欠款=月付款额×付款月数，即$xy=5000$。
第三步：将等式变形为y关于x的函数形式，可得$y=\dfrac{5000}{x}$（x为正整数）。
【答案】
$y=\dfrac{5000}{x}$
【知识点】
反比例函数、列函数解析式、实际问题函数应用
【点评】
本题是反比例函数在生活场景中的基础应用，核心是梳理清楚付款问题中各数量的对应关系，找准列等式的依据，只要能正确计算未付款总额，结合反比例的等量关系就能顺利求解，属于基础类习题。
【难度系数】
0.85
10 新考向跨学科综合 [2026广西贺州期中]如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一根质地均匀的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况。实验数据记录如下:
y与x之间的函数关系式为
刷易错 .....................小心有坑~
y与x之间的函数关系式为
$y=\dfrac{300}{x}$
。刷易错 .....................小心有坑~
答案
10. $y=\dfrac{300}{x}$ 【解析】由表格数据可得 y 与 x 成反比例,
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,把 $x=10,y=30$ 代入,得 $k=300$,
∴ $y=\dfrac{300}{x}$,将其余各组值代入验证均适合,
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 $y=\dfrac{300}{x}$. 故答案为 $y=\dfrac{300}{x}$.
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,把 $x=10,y=30$ 代入,得 $k=300$,
∴ $y=\dfrac{300}{x}$,将其余各组值代入验证均适合,
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 $y=\dfrac{300}{x}$. 故答案为 $y=\dfrac{300}{x}$.
解析
【分析】
首先结合物理杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”可知，左侧重物重力、阻力臂均为定值，因此右侧弹簧秤示数y和对应力臂x的乘积为定值，可判断y与x成反比例函数关系；接下来使用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，代入一组已知的x、y值求出比例系数k，最后用其余组数据验证解析式的正确性即可。
【解析】
观察实验数据可得x与y的乘积为定值，因此y与x成反比例函数关系。
设y与x的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把$x=10,y=30$代入解析式，得$30=\dfrac{k}{10}$，解得$k=10×30=300$，
初步得到函数解析式为$y=\dfrac{300}{x}$。
将其余各组x、y的数值代入上述解析式验证，均符合关系，
因此y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{300}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{300}{x}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；杠杆平衡原理
【点评】
本题是跨学科综合类题目，结合物理常识考查反比例函数的应用，既可以通过分析数据规律判断函数类型，也可以结合物理原理直接确定函数关系，求解后要注意代入所有数据验证，避免结果出错。
【难度系数】
0.7
首先结合物理杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”可知，左侧重物重力、阻力臂均为定值，因此右侧弹簧秤示数y和对应力臂x的乘积为定值，可判断y与x成反比例函数关系；接下来使用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式，代入一组已知的x、y值求出比例系数k，最后用其余组数据验证解析式的正确性即可。
【解析】
观察实验数据可得x与y的乘积为定值，因此y与x成反比例函数关系。
设y与x的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
把$x=10,y=30$代入解析式，得$30=\dfrac{k}{10}$，解得$k=10×30=300$，
初步得到函数解析式为$y=\dfrac{300}{x}$。
将其余各组x、y的数值代入上述解析式验证，均符合关系，
因此y与x之间的函数关系式为$y=\dfrac{300}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{300}{x}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；杠杆平衡原理
【点评】
本题是跨学科综合类题目，结合物理常识考查反比例函数的应用，既可以通过分析数据规律判断函数类型，也可以结合物理原理直接确定函数关系，求解后要注意代入所有数据验证，避免结果出错。
【难度系数】
0.7
11 当$m=$
1
时，函数$y=(m+1)x^{m^2 -2}$是反比例函数。答案
11. 1 【解析】根据题意,得 $m^2-2=-1$ 且 $m+1≠0$,解得 $m=±1$ 且 $m≠-1$,
∴ $m=1$. 故答案为 1.
∴ $m=1$. 故答案为 1.
解析
【分析】
要判断函数为反比例函数，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此需满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们先根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，再求解并筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件：
1. 自变量的指数：$m^2 - 2 = -1$
2. 系数限制：$m + 1 ≠ 0$
解方程$m^2 -2 = -1$，移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
结合不等式$m+1≠0$，即$m≠ -1$，因此舍去$m=-1$。
综上可得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，做题时需牢记函数定义中的所有限制条件，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
要判断函数为反比例函数，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此需满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们先根据这两个条件列出关于$m$的方程和不等式，再求解并筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件：
1. 自变量的指数：$m^2 - 2 = -1$
2. 系数限制：$m + 1 ≠ 0$
解方程$m^2 -2 = -1$，移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
结合不等式$m+1≠0$，即$m≠ -1$，因此舍去$m=-1$。
综上可得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，做题时需牢记函数定义中的所有限制条件，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
