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1[2026安徽合肥期末,中]某种商品每件进价为20元,经调查发现,若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30−x)件,要使利润最大,每件的售价应为 (
A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
B
)A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
答案
【解析】设利润为$w$元. 由题意可得,$w=(x-20)(30-x)=-x^2+50x-600=-(x-25)^2+25$. $\because -1＜0$,$20≤ x≤30$,$\therefore$ 当$x=25$时,$w$有最大值,故选 B.
解析
【分析】
要解决该利润最大化问题，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设总利润为w元，先表示出单件利润为售价减去进价，即(x-20)元，销售数量题目已给出为(30-x)件，据此可列出w关于x的函数表达式。得到二次函数后，通过配方找到顶点，结合二次函数的开口方向以及题目限定的x的取值范围（20≤x≤30），即可确定利润最大时对应的售价。
【解析】
设利润为$w$元. 由题意可得，
$\begin{aligned}w&=(x-20)(30-x)\\&=-x^2+50x-600\\&=-(x-25)^2+25\end{aligned}$
$\because -1＜0$，二次函数开口向下，且$20≤ x≤30$，
$\therefore$ 当$x=25$时，$w$有最大值，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类二次函数实际应用题，解题关键是根据利润公式正确列出函数关系式，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解最值，解题时要注意验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，避免直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决该利润最大化问题，首先明确销售利润的核心计算逻辑：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设总利润为w元，先表示出单件利润为售价减去进价，即(x-20)元，销售数量题目已给出为(30-x)件，据此可列出w关于x的函数表达式。得到二次函数后，通过配方找到顶点，结合二次函数的开口方向以及题目限定的x的取值范围（20≤x≤30），即可确定利润最大时对应的售价。
【解析】
设利润为$w$元. 由题意可得，
$\begin{aligned}w&=(x-20)(30-x)\\&=-x^2+50x-600\\&=-(x-25)^2+25\end{aligned}$
$\because -1＜0$，二次函数开口向下，且$20≤ x≤30$，
$\therefore$ 当$x=25$时，$w$有最大值，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类二次函数实际应用题，解题关键是根据利润公式正确列出函数关系式，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解最值，解题时要注意验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，避免直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.7
2 新考向跨学科综合[2026安徽亳州期中,中]【项目式学习】
项目主题:从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”.
实验过程:如图所示,一个小球从斜坡顶端由静止滚下,再沿水平木板直线运动,从小球运动到点A处开始,用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位:s)、运动速度v(单位:cm/s)、滑行距离y(单位:cm)的数据.
任务一:数据收集
记录的数据如下:
任务二:数据分析
观察分析发现,小球运动速度v(单位:cm/s)与小球运动时间x(单位:s)满足关系式$v=kx + b_1$,小球滑行距离y(单位:cm)与运动时间x(单位:s)满足关系式$y=ax^2 + b_2x$.
(1)$k=$
任务三:问题解决
(2)当小球在水平木板上停下来时,求此时小球的滑行距离.
(3)小球到达木板点A的同时,在点A的右侧n cm处有一辆电动小车,以4 cm/s的速度匀速向右直线运动,若小球不能撞上小车,求
n的取值范围.
项目主题:从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”.
实验过程:如图所示,一个小球从斜坡顶端由静止滚下,再沿水平木板直线运动,从小球运动到点A处开始,用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位:s)、运动速度v(单位:cm/s)、滑行距离y(单位:cm)的数据.
任务一:数据收集
记录的数据如下:
任务二:数据分析
观察分析发现,小球运动速度v(单位:cm/s)与小球运动时间x(单位:s)满足关系式$v=kx + b_1$,小球滑行距离y(单位:cm)与运动时间x(单位:s)满足关系式$y=ax^2 + b_2x$.
(1)$k=$
$-\frac{1}{2}$
,$b_1=$$10$
,$a=$$-\frac{1}{4}$
,$b_2=$$10$
.任务三:问题解决
(2)当小球在水平木板上停下来时,求此时小球的滑行距离.
(3)小球到达木板点A的同时,在点A的右侧n cm处有一辆电动小车,以4 cm/s的速度匀速向右直线运动,若小球不能撞上小车,求
n的取值范围.
答案
(1)$\because$ 当$x=0$时,$v=10$;当$x=2$时,$v=9$,$\therefore \begin{cases}b_1=10,\\ 2k+b_1=9,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\ b_1=10,\end{cases}$ $\because$ 当$x=2$时,$y=19$,代入$y=ax^2+b_2x$,得$4a+2×10=19$,解得$a=-\frac{1}{4}$,$\therefore y=-\frac{1}{4}x^2+10x$.
(2)由(1)知$v=-\frac{1}{2}x+10$,$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$. 当$v=0$时,$0=-\frac{1}{2}x+10$,解得$x=20$. 把$x=20$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,得$y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100$,故此时小球的滑行距离为100 cm.
(3)$\because$ 小球不能撞上小车,$\therefore -\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$恒成立,即$-\frac{1}{4}x^2+6x-n＜0$恒成立. 令$y'=-\frac{1}{4}x^2+6x-n$. $\because -\frac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 要使$y'$恒小于0,则$\Delta=6^2-4×(-\frac{1}{4})×(-n)＜0$,解得$n＞36$.
(2)由(1)知$v=-\frac{1}{2}x+10$,$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$. 当$v=0$时,$0=-\frac{1}{2}x+10$,解得$x=20$. 把$x=20$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,得$y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100$,故此时小球的滑行距离为100 cm.
(3)$\because$ 小球不能撞上小车,$\therefore -\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$恒成立,即$-\frac{1}{4}x^2+6x-n＜0$恒成立. 令$y'=-\frac{1}{4}x^2+6x-n$. $\because -\frac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 要使$y'$恒小于0,则$\Delta=6^2-4×(-\frac{1}{4})×(-n)＜0$,解得$n＞36$.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式的系数可采用待定系数法：速度v是关于x的一次函数，选取已知的两组x、v的值代入即可求出k和$b_1$；滑行距离y的一次项系数$b_2$等于小球的初速度也就是$b_1$，再代入已知的x、y的值即可求出a。
(2) 小球停下来时速度为0，先将v=0代入速度的一次函数求出运动时间x，再把x代入滑行距离的二次函数，就能算出总滑行距离。
(3) 小球不撞上小车的条件是同一时刻小球的滑行距离始终小于小车行驶路程加初始距离n，据此列不等式转化为二次函数恒小于0的问题，结合二次函数开口方向，利用判别式小于0即可求出n的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，当$x=0$时，$v=10$；当$x=2$时，$v=9$，代入$v=kx + b_1$得：
$\begin{cases}b_1=10\\2k+b_1=9\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b_1=10\end{cases}$
小球在A点的初速度为10 cm/s，因此$b_2=10$，将$x=2$，$y=19$代入$y=ax^2 + b_2x$得：
$4a + 2×10=19$
解得$a=-\frac{1}{4}$
(2) 由(1)知$v=-\frac{1}{2}x+10$，$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$。
小球停下来时$v=0$，代入得：$0=-\frac{1}{2}x+10$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$得：
$y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100$
(3) 小球不能撞上小车，即$-\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$对任意$x≥0$恒成立，整理得：
$-\frac{1}{4}x^2+6x-n＜0$恒成立
令$y'=-\frac{1}{4}x^2+6x-n$，$\because -\frac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，要使$y'$恒小于0，需抛物线与x轴无交点，即$\Delta＜0$：
$\Delta=6^2-4×(-\frac{1}{4})×(-n)＜0$
解得$n＞36$
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$，$10$，$-\frac{1}{4}$，$10$
(2) $100\ \mathrm{cm}$
(3) $n＞36$
【知识点】
待定系数法，二次函数的应用，一元二次方程判别式
【点评】
本题是跨数学、物理的综合题，结合运动情境考查函数的实际应用，要求学生能将实际问题转化为数学问题，灵活运用函数性质、判别式等知识求解，很好地考查了知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数解析式的系数可采用待定系数法：速度v是关于x的一次函数，选取已知的两组x、v的值代入即可求出k和$b_1$；滑行距离y的一次项系数$b_2$等于小球的初速度也就是$b_1$，再代入已知的x、y的值即可求出a。
(2) 小球停下来时速度为0，先将v=0代入速度的一次函数求出运动时间x，再把x代入滑行距离的二次函数，就能算出总滑行距离。
(3) 小球不撞上小车的条件是同一时刻小球的滑行距离始终小于小车行驶路程加初始距离n，据此列不等式转化为二次函数恒小于0的问题，结合二次函数开口方向，利用判别式小于0即可求出n的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，当$x=0$时，$v=10$；当$x=2$时，$v=9$，代入$v=kx + b_1$得：
$\begin{cases}b_1=10\\2k+b_1=9\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b_1=10\end{cases}$
小球在A点的初速度为10 cm/s，因此$b_2=10$，将$x=2$，$y=19$代入$y=ax^2 + b_2x$得：
$4a + 2×10=19$
解得$a=-\frac{1}{4}$
(2) 由(1)知$v=-\frac{1}{2}x+10$，$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$。
小球停下来时$v=0$，代入得：$0=-\frac{1}{2}x+10$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+10x$得：
$y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100$
(3) 小球不能撞上小车，即$-\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$对任意$x≥0$恒成立，整理得：
$-\frac{1}{4}x^2+6x-n＜0$恒成立
令$y'=-\frac{1}{4}x^2+6x-n$，$\because -\frac{1}{4}＜0$，抛物线开口向下，要使$y'$恒小于0，需抛物线与x轴无交点，即$\Delta＜0$：
$\Delta=6^2-4×(-\frac{1}{4})×(-n)＜0$
解得$n＞36$
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$，$10$，$-\frac{1}{4}$，$10$
(2) $100\ \mathrm{cm}$
(3) $n＞36$
【知识点】
待定系数法，二次函数的应用，一元二次方程判别式
【点评】
本题是跨数学、物理的综合题，结合运动情境考查函数的实际应用，要求学生能将实际问题转化为数学问题，灵活运用函数性质、判别式等知识求解，很好地考查了知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽合肥包河区期中,较难]某物理兴趣小组在老师的带领下自制一种小球发射器,已知该发射器的小球出口C离地面的竖直高度OC=1.5米.如图,小球以最大挡位和最小挡位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象,矩形MNPQ为移动的接球盒,其中MQ=1米,MN=0.5米,最小挡位射出的抛物线可以看作是由最大挡位时小球射出的抛物线向左平移得到的,最大挡位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米,并高出出球口0.5米.
(1)求最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式,并求出小球射出的最大射程OA;
(2)求最小挡位时小球射出的最大射程OB;
(3)要使接球盒能接住所有挡位射出的小球(即射出的小球都能落入水平移动的接球盒MNPQ中),请求出接球盒与发射器的水平距离OM的取值范围.
(1)求最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式,并求出小球射出的最大射程OA;
(2)求最小挡位时小球射出的最大射程OB;
(3)要使接球盒能接住所有挡位射出的小球(即射出的小球都能落入水平移动的接球盒MNPQ中),请求出接球盒与发射器的水平距离OM的取值范围.
答案
(1)由题意得,$D(2,2)$,$\therefore$ 设最大挡位时小球射出的抛物线表达式为$y=a(x-2)^2+2$.$\because$ 抛物线经过点$(0,1.5)$,$\therefore$ 将$(0,1.5)$代入,得$4a+2=1.5$,解得$a=-\frac{1}{8}$,$\therefore$ 最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$.
当$y=0$时,$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0$,$\therefore x_1=6$,$x_2=-2$(舍去),$\therefore$ 小球射出的最大射程$OA$为6米.
(2)$\because$ 最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=2$,$\therefore$ 点$(0,1.5)$的对称点为$(4,1.5)$,$\therefore$ 最小挡位时射出的抛物线可以看作是由最大挡位时小球射出的抛物线向左平移4米得到的,$\therefore B$的坐标为$(2,0)$,即最小挡位时小球射出的最大射程$OB$为2米.
(3)$\because MN=0.5$米,$\therefore$ 令$y=0.5$,则$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0.5$,解得$x_1=2\sqrt{3}+2$,$x_2=-2\sqrt{3}+2$(舍去),$\therefore OM＜(2\sqrt{3}+2)$米.
又$\because MQ=1$米,$\therefore OM＞2\sqrt{3}+2-4-1=(2\sqrt{3}-3)$米,则接球盒与发射器的水平距离$OM$的取值范围为$(2\sqrt{3}-3)$米$＜OM＜(2\sqrt{3}+2)$米.
当$y=0$时,$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0$,$\therefore x_1=6$,$x_2=-2$(舍去),$\therefore$ 小球射出的最大射程$OA$为6米.
(2)$\because$ 最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线$x=2$,$\therefore$ 点$(0,1.5)$的对称点为$(4,1.5)$,$\therefore$ 最小挡位时射出的抛物线可以看作是由最大挡位时小球射出的抛物线向左平移4米得到的,$\therefore B$的坐标为$(2,0)$,即最小挡位时小球射出的最大射程$OB$为2米.
(3)$\because MN=0.5$米,$\therefore$ 令$y=0.5$,则$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0.5$,解得$x_1=2\sqrt{3}+2$,$x_2=-2\sqrt{3}+2$(舍去),$\therefore OM＜(2\sqrt{3}+2)$米.
又$\because MQ=1$米,$\therefore OM＞2\sqrt{3}+2-4-1=(2\sqrt{3}-3)$米,则接球盒与发射器的水平距离$OM$的取值范围为$(2\sqrt{3}-3)$米$＜OM＜(2\sqrt{3}+2)$米.
解析
【分析】
(1) 求最大挡位抛物线表达式时，先根据题意确定抛物线顶点D的坐标，选用顶点式设函数解析式，再代入已知的出球口C点坐标求出参数即可；求最大射程OA就是求抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令y=0解方程后取正根即可。
(2) 最小挡位抛物线是最大挡位抛物线向左平移得到的，且两条抛物线都经过C点，先找到最大挡位抛物线上与C点纵坐标相等的对称点，即可确定平移距离，将最大挡位抛物线与x轴的交点向左平移对应距离，就能得到OB的长度。
(3) 接球盒高度为0.5米，先求出最大挡位抛物线上y=0.5时对应的正横坐标，再结合平移性质得到最小挡位抛物线上y=0.5对应的横坐标，结合接球盒的长度，即可确定OM的取值范围，保证所有挡位的小球都能落入接球盒中。
【解析】
(1) 由题意得，最大挡位抛物线的顶点D坐标为$(2,2)$，出球口C坐标为$(0,1.5)$。
设最大挡位抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+2$，将C$(0,1.5)$代入得：
$4a+2=1.5$，解得$a=-\frac{1}{8}$，
∴最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$。
求最大射程OA，令$y=0$，则$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0$，
整理得$(x-2)^2=16$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$（不符合实际，舍去），
∴小球射出的最大射程OA为6米。
(2) 最大挡位抛物线的对称轴为直线$x=2$，点C$(0,1.5)$关于对称轴$x=2$的对称点为$(4,1.5)$。
∵最小挡位射出的抛物线是最大挡位抛物线向左平移得到的，且过点C$(0,1.5)$，
∴抛物线向左平移了4个单位长度，
最大挡位抛物线与x轴交点为A$(6,0)$，向左平移4个单位后对应点为$(2,0)$，即B$(2,0)$，
∴最小挡位时小球射出的最大射程OB为2米。
(3) 接球盒高度$MN=0.5$米，令$y=0.5$，代入最大挡位抛物线表达式得：
$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0.5$，整理得$(x-2)^2=12$，
解得$x_1=2\sqrt{3}+2$，$x_2=-2\sqrt{3}+2$（舍去）。
最小挡位抛物线是最大挡位抛物线左移4个单位得到的，因此最小挡位抛物线上$y=0.5$对应的横坐标为$2\sqrt{3}+2-4=2\sqrt{3}-2$。
接球盒水平范围为$OM≤ x≤ OM+1$，要使所有挡位小球都落入盒中，需满足：
$\begin{cases}OM＜2\sqrt{3}+2 \\ OM+1＞2\sqrt{3}-2 \end{cases}$，
解得$2\sqrt{3}-3＜OM＜2\sqrt{3}+2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2}$，最大射程OA为6米；
(2) 最小挡位最大射程OB为2米；
(3) OM的取值范围是$\boldsymbol{(2\sqrt{3}-3)米 ＜ OM ＜ (2\sqrt{3}+2)米}$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的平移，二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合实际发射小球的场景考查二次函数相关知识，需要准确提取题干中的坐标、平移等信息，灵活运用二次函数的顶点式、平移性质及解方程的方法解决问题，对读图能力和知识的实际运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 求最大挡位抛物线表达式时，先根据题意确定抛物线顶点D的坐标，选用顶点式设函数解析式，再代入已知的出球口C点坐标求出参数即可；求最大射程OA就是求抛物线与x轴正半轴交点的横坐标，令y=0解方程后取正根即可。
(2) 最小挡位抛物线是最大挡位抛物线向左平移得到的，且两条抛物线都经过C点，先找到最大挡位抛物线上与C点纵坐标相等的对称点，即可确定平移距离，将最大挡位抛物线与x轴的交点向左平移对应距离，就能得到OB的长度。
(3) 接球盒高度为0.5米，先求出最大挡位抛物线上y=0.5时对应的正横坐标，再结合平移性质得到最小挡位抛物线上y=0.5对应的横坐标，结合接球盒的长度，即可确定OM的取值范围，保证所有挡位的小球都能落入接球盒中。
【解析】
(1) 由题意得，最大挡位抛物线的顶点D坐标为$(2,2)$，出球口C坐标为$(0,1.5)$。
设最大挡位抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+2$，将C$(0,1.5)$代入得：
$4a+2=1.5$，解得$a=-\frac{1}{8}$，
∴最大挡位时小球射出的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2$。
求最大射程OA，令$y=0$，则$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0$，
整理得$(x-2)^2=16$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$（不符合实际，舍去），
∴小球射出的最大射程OA为6米。
(2) 最大挡位抛物线的对称轴为直线$x=2$，点C$(0,1.5)$关于对称轴$x=2$的对称点为$(4,1.5)$。
∵最小挡位射出的抛物线是最大挡位抛物线向左平移得到的，且过点C$(0,1.5)$，
∴抛物线向左平移了4个单位长度，
最大挡位抛物线与x轴交点为A$(6,0)$，向左平移4个单位后对应点为$(2,0)$，即B$(2,0)$，
∴最小挡位时小球射出的最大射程OB为2米。
(3) 接球盒高度$MN=0.5$米，令$y=0.5$，代入最大挡位抛物线表达式得：
$-\frac{1}{8}(x-2)^2+2=0.5$，整理得$(x-2)^2=12$，
解得$x_1=2\sqrt{3}+2$，$x_2=-2\sqrt{3}+2$（舍去）。
最小挡位抛物线是最大挡位抛物线左移4个单位得到的，因此最小挡位抛物线上$y=0.5$对应的横坐标为$2\sqrt{3}+2-4=2\sqrt{3}-2$。
接球盒水平范围为$OM≤ x≤ OM+1$，要使所有挡位小球都落入盒中，需满足：
$\begin{cases}OM＜2\sqrt{3}+2 \\ OM+1＞2\sqrt{3}-2 \end{cases}$，
解得$2\sqrt{3}-3＜OM＜2\sqrt{3}+2$。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{8}(x-2)^2+2}$，最大射程OA为6米；
(2) 最小挡位最大射程OB为2米；
(3) OM的取值范围是$\boldsymbol{(2\sqrt{3}-3)米 ＜ OM ＜ (2\sqrt{3}+2)米}$。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的平移，二次函数的图象与性质
【点评】
本题结合实际发射小球的场景考查二次函数相关知识，需要准确提取题干中的坐标、平移等信息，灵活运用二次函数的顶点式、平移性质及解方程的方法解决问题，对读图能力和知识的实际运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
