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二、解决问题。
1. 请用△、○和□这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列，要求：每5个图形为一组，第45个图形是△，第46个图形是□。
1. 请用△、○和□这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列，要求：每5个图形为一组，第45个图形是△，第46个图形是□。
答案
45÷5=9（组）
46÷5=9（组）……1（个）
设计序列示例：□ ○ △ ○ △ □ ○ △ ○ △ □ ○ △ ○ △ ……
答：每5个图形为一组，按□、○、△、○、△的顺序重复排列（答案不唯一），满足第45个图形是△，第46个图形是□的要求。
46÷5=9（组）……1（个）
设计序列示例：□ ○ △ ○ △ □ ○ △ ○ △ □ ○ △ ○ △ ……
答：每5个图形为一组，按□、○、△、○、△的顺序重复排列（答案不唯一），满足第45个图形是△，第46个图形是□的要求。
解析
【分析】
这是周期排列类问题，首先明确周期长度为5。要确定指定位置的图形对应周期内的位置，需用总个数除以周期长度：若计算后没有余数，对应图形就是周期的最后一个；若有余数，余数是几就对应周期的第几个图形。我们先通过计算确定每组周期里第1个和第5个图形的要求，再补充剩下位置的图形即可完成设计。
【解析】
1. 计算第45个图形对应的周期位置：
$45÷5=9$（组），计算无余数，说明第45个图形就是每组的第5个图形。题目要求第45个是△，因此每组的第5个图形必须是△。
2. 计算第46个图形对应的周期位置：
$46÷5=9$（组）$\dots\dots1$（个），余数为1，说明第46个图形就是每组的第1个图形。题目要求第46个是□，因此每组的第1个图形必须是□。
3. 设计周期序列：只要满足每组第1个是□、第5个是△，中间第2、3、4个图形可自由用△、○、□合理排列。例如设计每组为□、○、△、○、△，按这个顺序重复排列即可符合要求。
【答案】
每5个图形为一组，按□、○、△、○、△的顺序重复排列（答案不唯一），满足第45个图形是△，第46个图形是□的要求。
【知识点】
1. 周期排列规律
2. 有余数的除法应用
【点评】
本题是开放性的周期规律应用题，需要先利用有余数的除法反推周期固定位置的图形，再自主设计剩余位置的排列，既考查对周期问题核心逻辑的掌握，也能锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
这是周期排列类问题，首先明确周期长度为5。要确定指定位置的图形对应周期内的位置，需用总个数除以周期长度：若计算后没有余数，对应图形就是周期的最后一个；若有余数，余数是几就对应周期的第几个图形。我们先通过计算确定每组周期里第1个和第5个图形的要求，再补充剩下位置的图形即可完成设计。
【解析】
1. 计算第45个图形对应的周期位置：
$45÷5=9$（组），计算无余数，说明第45个图形就是每组的第5个图形。题目要求第45个是△，因此每组的第5个图形必须是△。
2. 计算第46个图形对应的周期位置：
$46÷5=9$（组）$\dots\dots1$（个），余数为1，说明第46个图形就是每组的第1个图形。题目要求第46个是□，因此每组的第1个图形必须是□。
3. 设计周期序列：只要满足每组第1个是□、第5个是△，中间第2、3、4个图形可自由用△、○、□合理排列。例如设计每组为□、○、△、○、△，按这个顺序重复排列即可符合要求。
【答案】
每5个图形为一组，按□、○、△、○、△的顺序重复排列（答案不唯一），满足第45个图形是△，第46个图形是□的要求。
【知识点】
1. 周期排列规律
2. 有余数的除法应用
【点评】
本题是开放性的周期规律应用题，需要先利用有余数的除法反推周期固定位置的图形，再自主设计剩余位置的排列，既考查对周期问题核心逻辑的掌握，也能锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
2. 公园里有一座喷泉，它以固定的规律喷水。下图表示前17秒喷出水柱高低变化的情况，第1秒喷高水柱，第2、3秒喷低水柱，第4秒不喷水柱……
(1)喷泉第9秒喷什么水柱？第60秒呢？
(2)如果让喷泉每6秒以固定的规律变化，你会设计吗？像上图那样画一画。
(1)喷泉第9秒喷什么水柱？第60秒呢？
(2)如果让喷泉每6秒以固定的规律变化，你会设计吗？像上图那样画一画。
答案
2. 第9秒喷高水柱，第60秒不喷水柱。
解析
【分析】
解题时首先观察水柱高低变化的规律，找到重复的周期：我们可以看到从第1秒到第8秒的喷水情况，和第9秒到第16秒的喷水情况完全一致，说明周期为8秒，周期内的顺序为：第1秒高水柱、第2秒低水柱、第3秒低水柱、第4秒不喷水柱、第5秒高水柱、第6秒高水柱、第7秒高水柱、第8秒低水柱。求某一秒的水柱状态时，用该秒数除以周期8，余数是几，就对应周期内第几秒的状态；如果没有余数，就对应周期最后1秒的状态。
【解析】
(1) ① 计算第9秒的水柱状态：
$9÷8=1$（组）$\dots\dots1$（秒）
余数为1，对应周期内第1秒的状态，即高水柱。
② 计算第60秒的水柱状态：
$60÷8=7$（组）$\dots\dots4$（秒）
余数为4，对应周期内第4秒的状态，即不喷水柱。
(2) 设计6秒周期示例：可以设定周期规律为第1秒高水柱，第2、3秒低水柱，第4秒不喷水柱，第5、6秒高水柱，之后每6秒按此规律重复，对应在图中对应时间的高度格子涂色即可。
【答案】
第9秒喷高水柱，第60秒不喷水柱。
【知识点】
周期问题，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题需要先通过观察归纳出周期规律，再结合有余数的除法解决实际问题，能够很好地锻炼观察能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察水柱高低变化的规律，找到重复的周期：我们可以看到从第1秒到第8秒的喷水情况，和第9秒到第16秒的喷水情况完全一致，说明周期为8秒，周期内的顺序为：第1秒高水柱、第2秒低水柱、第3秒低水柱、第4秒不喷水柱、第5秒高水柱、第6秒高水柱、第7秒高水柱、第8秒低水柱。求某一秒的水柱状态时，用该秒数除以周期8，余数是几，就对应周期内第几秒的状态；如果没有余数，就对应周期最后1秒的状态。
【解析】
(1) ① 计算第9秒的水柱状态：
$9÷8=1$（组）$\dots\dots1$（秒）
余数为1，对应周期内第1秒的状态，即高水柱。
② 计算第60秒的水柱状态：
$60÷8=7$（组）$\dots\dots4$（秒）
余数为4，对应周期内第4秒的状态，即不喷水柱。
(2) 设计6秒周期示例：可以设定周期规律为第1秒高水柱，第2、3秒低水柱，第4秒不喷水柱，第5、6秒高水柱，之后每6秒按此规律重复，对应在图中对应时间的高度格子涂色即可。
【答案】
第9秒喷高水柱，第60秒不喷水柱。
【知识点】
周期问题，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题需要先通过观察归纳出周期规律，再结合有余数的除法解决实际问题，能够很好地锻炼观察能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
星星在一张方格纸上用红、黄、蓝、绿4种颜色，从左上角依序往右下的斜行方格内涂上颜色（如图），则由上到下第180行，再从左向右第122列的方格内，将被涂上(
红
)色。答案
红
解析
【分析】
首先观察涂色规律：同一斜行的方格颜色相同，颜色按照红、黄、蓝、绿4种为一组不断循环。我们可以先找到目标方格所在斜行对应的顺序数：第a行第b列的方格，对应的顺序数是a+b-1。再用顺序数除以4，根据余数就能判断对应的颜色：余数为1对应红色，余数为2对应黄色，余数为3对应蓝色，没有余数（余数为0）对应绿色。
【解析】
第一步：计算第180行第122列对应的顺序数：
180 + 122 - 1 = 301
第二步：计算301除以4的余数：
301 ÷ 4 = 75（组）……1（个）
第三步：余数为1，对应循环里的第一个颜色，也就是红色。
【答案】
红
【知识点】
周期问题，有余数除法的应用，图形找规律
【点评】
本题需要先观察总结出斜行同色的规律，再结合周期循环的特点，用有余数的除法求解，解题的核心是找准位置和循环序号的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先观察涂色规律：同一斜行的方格颜色相同，颜色按照红、黄、蓝、绿4种为一组不断循环。我们可以先找到目标方格所在斜行对应的顺序数：第a行第b列的方格，对应的顺序数是a+b-1。再用顺序数除以4，根据余数就能判断对应的颜色：余数为1对应红色，余数为2对应黄色，余数为3对应蓝色，没有余数（余数为0）对应绿色。
【解析】
第一步：计算第180行第122列对应的顺序数：
180 + 122 - 1 = 301
第二步：计算301除以4的余数：
301 ÷ 4 = 75（组）……1（个）
第三步：余数为1，对应循环里的第一个颜色，也就是红色。
【答案】
红
【知识点】
周期问题，有余数除法的应用，图形找规律
【点评】
本题需要先观察总结出斜行同色的规律，再结合周期循环的特点，用有余数的除法求解，解题的核心是找准位置和循环序号的对应关系。
【难度系数】
0.6
