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1. 一元二次方程的定义
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是
2
，这样的方程叫作一元二次方程。一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$
。一元二次方程的解也叫作一元二次方程的
根
。答案
1. 2 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 根
2. 一元二次方程的解法
（1）配方法
如果方程能化成 $x^2 = p$ 或 $(mx + n)^2 = p\ (p ≥ 0)$ 的形式，那么可得或。
将一个一元二次方程配成形式来解的方法，叫作配方法。
（2）公式法
① 将方程化成一般形式 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$；
② 计算；
③ 求出 $x_{1,2} = \_\_\_\_\_\_$。
（3）因式分解法
将方程先因式分解化成两个一次式的等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
（1）配方法
如果方程能化成 $x^2 = p$ 或 $(mx + n)^2 = p\ (p ≥ 0)$ 的形式，那么可得或。
将一个一元二次方程配成形式来解的方法，叫作配方法。
（2）公式法
① 将方程化成一般形式 $ax^2 + bx + c = 0\ (a ≠ 0)$；
② 计算；
③ 求出 $x_{1,2} = \_\_\_\_\_\_$。
（3）因式分解法
将方程先因式分解化成两个一次式的等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。
答案
2. (1) $x=±\sqrt{p}$ $mx+n=±\sqrt{p}$ 完全平方 (2) ②$\Delta = b^2-4ac$ ③$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (3) 乘积
3. 已知关于$x$的方程$ax^2 + 2x - 3 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围为
$a＞-\frac{1}{3},且a≠0$
。答案
3. $a＞-\frac{1}{3},且a≠0$
4. 已知$a,b$是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根，则$(a - 1)(b - 1)$的值为
$-2\ 021$
。答案
4. $-2021$
5. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{a} + c$的值为
$2$
。答案
5. 2
6. 已知$a$是方程$2x^2 = x + 4$的一个根，则代数式$4a^2 - 2a$的值是
$8$
.答案
6. 8
7. 已知一个三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程$x^2 -10x +21=0$的根，则三角形的周长为
$16$
.答案
7. 16
8. 若$2n(n≠0)$是关于$x$的方程$x^2 - 2mx + 2n = 0$的根，则$m - n$的值为
$\frac{1}{2}$
.答案
8. $\frac{1}{2}$
9. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+2x-2=0$的两个实数根，$x_1+x_2+x_1x_2=$
$-4$
.答案
9. -4
10. 已知$m^2 - 2m -1 =0$，$n^2 +2n -1=0$，且$mn≠1$，则$\frac{mn +n +1}{n}$的值为
$3$
。答案
10. 3
11. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两个实数根，则$\frac{1}{2x_1 +1} + \frac{1}{2x_2 +1}$的值是
$6$
。答案
11. 6
12. 若关于x的一元二次方程$(m-5)x^2 + 2x + 2 = 0$有实数根，则m的最大整数解是
$4$
。答案
12. 4
