4. 计算：$\frac{1}{2000×2001}+\frac{1}{2001×2002}+\dots+\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{2026}$

4. 原式$=\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}+\frac{1}{2026}=\frac{1}{2000}$
提示:本题利用$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,把每个加数都改写成两个分数的差,再进行简算。

5. 计算：$\frac{3}{1×4} + \frac{3}{4×7} + \frac{3}{7×10} + \dots + \frac{3}{2020×2023} + \frac{3}{2023×2026}$。

5. 原式$=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\dots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2023}+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
提示:本题利用$\frac{3}{n(n+3)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$,把每个加数都改写成两个分数的差,再进行化简。

6. 计算：$\frac{4}{1×3} - \frac{8}{3×5} + \frac{12}{5×7} - \frac{16}{7×9} + \dots + \frac{4052}{2025×2027} - \frac{4056}{2027×2029}$°

6. $\frac{4}{1×3}-\frac{8}{3×5}+\frac{12}{5×7}-\frac{16}{7×9}+\dots+\frac{4052}{2025×2027}-\frac{4056}{2027×2029}$
$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{7}+\frac{1}{9})+\dots+(\frac{1}{2025}+\frac{1}{2027})-(\frac{1}{2027}+\frac{1}{2029})$
$=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{2025}+\frac{1}{2027}-\frac{1}{2027}-\frac{1}{2029}$
$=1-\frac{1}{2029}$
$=\frac{2028}{2029}$
提示:利用裂项的方法,把每个分数拆分成两个分数的和,利用减法的性质去掉括号后,即可抵消,最后剩下1与最后一个分数求差。

例3 计算：$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$。
分析：此类题首先要观察算式特点，有的拆分、变形后可以约分、简化或用运算律；当式子中有大量相同部分时可以考虑“换元法”，式子简化后往往能快速解题。
观察发现算式中有些部分是相同的，我们可以把$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$用字母$a$来代替，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$用字母$b$来代替。
解答：令$a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4},b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，则$a-b=1$。
$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$
$=a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})× b$
$=ab+\frac{1}{5}a-ab-\frac{1}{5}b$
$=\frac{1}{5}(a-b)$
$=\frac{1}{5}$

令$a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，$b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，则$a-b=1$。
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})\\=&a×(b+\frac{1}{5})-(a+\frac{1}{5})× b\\=&ab+\frac{1}{5}a - ab - \frac{1}{5}b\\=&\frac{1}{5}(a-b)\\=&\frac{1}{5}×1\\=&\frac{1}{5}\end{aligned}$

7. 计算：$( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} ) × ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} ) - ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} ) × ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} )。$

7. 设$a=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5},b=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$,则$b-a=\frac{1}{6}$。
原式$=(\frac{1}{2}+a)×b-(\frac{1}{2}+b)×a=\frac{1}{2}b+ab-\frac{1}{2}a-ab=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$
提示:根据算式的特点,式子中重复出现$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$和$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$,因此可以设$a=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5},b=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$,容易得出$b-a=\frac{1}{6}$。据此把原式进行转化,并利用$b-a=\frac{1}{6}$,即可得出答案。

8. 计算：$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2026})×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2026})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025})$。

8. 设$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2026},b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}$,则$a-b=\frac{1}{2026}$。
原式$=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b-ab=a-b=\frac{1}{2026}$
提示:算式中多次出现相同的分数,可以设$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2026},b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}$,并代入原式中进行化简,最后根据$a-b$的差即可得出答案。