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1. 学科 教材变式 [2024 内蒙古呼和浩特中考] 如图, 直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 被直线 $ l_3 $ 和 $ l_4 $ 所截, $ ∠ 1 = ∠ 2 = 130° $, $ ∠ 3 = 75° $, 则 $ ∠ 4 $ 的度数为 (
A.$ 75° $
B.$ 105° $
C.$ 115° $
D.$ 130° $
B
)A.$ 75° $
B.$ 105° $
C.$ 115° $
D.$ 130° $
答案
1. B 如图,
∵∠1=∠2=130°，
∴l₁//l₂，
∴∠5=∠3=75°。
∵∠5+∠4=180°，
∴∠4=180°-∠5=180°-75°=105°。故选B。
2. [2025 四川绵阳三台期中] 将一副三角尺按如图所示的方式摆放, 过点 $ E $ 作直线 $ AB $, 过点 $ F $ 作直线 $ CD $, 且 $ AB // CD $. 若 $ ∠ HFD = 30° $, 则 $ ∠ AEG $ 的度数为 (
A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 75° $
B
)A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 75° $
答案
2. B 由题意得∠EGH=45°，∠GHF=30°，
∵∠HFD=30°，
∴∠GHF=∠HFD，
∴CD//GH。
∵AB//CD，
∴AB//GH；
∴∠AEG=∠EGH=45°。故选B。
∵∠HFD=30°，
∴∠GHF=∠HFD，
∴CD//GH。
∵AB//CD，
∴AB//GH；
∴∠AEG=∠EGH=45°。故选B。
3. 学科 铅笔模型 [2025 重庆沙坪坝期中] 近几年中学生近视的情况越来越严重, 为保护视力, 某公司推出了护眼灯, 其侧面示意图 (台灯底座高度忽略不计) 如图所示, 其中 $ AD ⊥ DE $, $ BC // DE $. 经使用发现, 当 $ ∠ B = 126° $ 时, 台灯光线最佳, 此时 $ ∠ BAD $ 的度数为
144°
.答案
3. 答案 144°
解析 如图所示，过点A作AF//BC。
∵BC//DE，
∴BC//DE//AF，
∴∠D+∠DAF=180°，∠B+∠BAF=180°。
∵AD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DAF=180°-∠D=90°。
∵∠B=126°，
∴∠BAF=180°-∠B=180°-126°=54°。
∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°+54°=144°。
模型解读 如果两条平行线中间有向外的拐点，如图，就得到了铅笔模型。该模型常用结论：若AB//CD，则∠A+∠AEC+∠C=360°。
4. [2025 河南郑州高新区期中] 把下列推理过程补充完整, 并在括号里填上推理的依据.
如图, $ ∠ E = ∠ 1 $, $ ∠ 3 + ∠ ABC = 180° $, $ BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线. 试说明: $ DF // AB $.
证明: $ \because BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线,
$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 $ (
又 $ \because ∠ E = ∠ 1 $ (已知),
$ \therefore ∠ E = ∠ 2 $ (
$ \therefore $
$ \therefore ∠ A + ∠ ABC = 180° $ (
又 $ \because ∠ 3 + ∠ ABC = 180° $ (已知),
$ \therefore ∠ A = ∠ 3 $ (
$ \therefore DF // AB $ (
如图, $ ∠ E = ∠ 1 $, $ ∠ 3 + ∠ ABC = 180° $, $ BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线. 试说明: $ DF // AB $.
证明: $ \because BE $ 是 $ ∠ ABC $ 的平分线,
$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 $ (
角平分线的定义
),又 $ \because ∠ E = ∠ 1 $ (已知),
$ \therefore ∠ E = ∠ 2 $ (
等量代换
),$ \therefore $
AE//BC
(内错角相等，两直线平行
),$ \therefore ∠ A + ∠ ABC = 180° $ (
两直线平行，同旁内角互补
),又 $ \because ∠ 3 + ∠ ABC = 180° $ (已知),
$ \therefore ∠ A = ∠ 3 $ (
同角的补角相等
),$ \therefore DF // AB $ (
同位角相等，两直线平行
).答案
4. 解析
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
又
∵∠E=∠1（已知），
∴∠E=∠2（等量代换），
∴AE//BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠3+∠ABC=180°（已知），
∴∠A=∠3（同角的补角相等），
∴DF//AB（同位角相等，两直线平行）。
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
又
∵∠E=∠1（已知），
∴∠E=∠2（等量代换），
∴AE//BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠3+∠ABC=180°（已知），
∴∠A=∠3（同角的补角相等），
∴DF//AB（同位角相等，两直线平行）。
5. [2025 浙江杭州月考] 如图, 已知 $ ∠ DEC = 90° $, $ ∠ AGF = ∠ ABC $, $ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 互补, 试判断 $ BF $ 与 $ AC $ 的位置关系, 并说明理由.
答案
5. 解析 BF⊥AC。理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF//BC，
∴∠1=∠3。
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF//DE，
∴∠BFC=∠DEC=90°，
∴BF⊥AC。
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF//BC，
∴∠1=∠3。
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF//DE，
∴∠BFC=∠DEC=90°，
∴BF⊥AC。
6. 学科 猪蹄模型 [2025 福建中考, ★☆☆] 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质, 把一副三角尺按如图所示的方式摆放, 其中点 $ A $, $ E $, $ C $, $ F $ 在同一条直线上, $ ∠ BAC = ∠ EDF = 90° $, $ ∠ B = 45° $, $ ∠ DEF = 60° $. 当 $ AD // BC $ 时, $ ∠ ADE $ 的度数为 (
A.$ 5° $
B.$ 15° $
C.$ 25° $
D.$ 35° $
B
)A.$ 5° $
B.$ 15° $
C.$ 25° $
D.$ 35° $
答案
6. B 根据题意得∠ACB=45°，∠DEF=60°。
如图，过点E作EG//AD。
∵AD//BC，
∴EG//BC，
∴∠GEC=∠ACB=45°。
∴∠DEG=∠DEC-∠GEC=60°-45°=15°。
∵EG//AD，
∴∠ADE=∠DEG=15°，故选B。
模型解读 如果两条平行线中间有向内的拐点，如图，就得到了猪蹄模型。该模型常用结论：若AB//CD，则∠APC=∠A+∠C。
