7. [2024 山东潍坊中考, ★☆☆] 一种路灯的示意图如图所示, 其底部支架 $ AB $ 与吊线 $ FG $ 平行, 灯杆 $ CD $ 与底部支架 $ AB $ 所成锐角 $ α = 15° $, 顶部支架 $ EF $ 与灯杆 $ CD $ 所成锐角 $ β = 45° $, 则 $ EF $ 与 $ FG $ 所成锐角的度数为 ()


A.$ 60° $
B.$ 55° $
C.$ 50° $
D.$ 45° $

7. A 如图，过点E作EH//AB。

∵AB//FG，
∴AB//EH//FG。
∴∠BEH=α=15°，∠FEH+∠EFG=180°。
∵β=45°，
∴∠FEH=180°-45°-15°=120°。
∴∠EFG=180°-∠FEH=60°。
∴EF与FG所成锐角的度数为60°，故选A。

8. 学科 鹰嘴模型 新课标 中华优秀传统文化 [2025 四川巴中期末, ★☆☆] 为增强学生体质, 感受中国的传统文化, 我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团. 图 1 是某同学“抖空竹”时的一个瞬间, 小明把它抽象成图 2 的数学问题: 已知 $ AB // CD $, $ ∠ E = 28° $, $ ∠ ECD = 114° $, 则 $ ∠ A $ 的度数是.

8. 答案 86°
解析 如图，过点E作EF//CD。

∵EF//CD，
∴∠1+∠C=180°。
∵∠C=114°，
∴∠1=180°-114°=66°。
∵∠CEA=28°，
∴∠FEA=∠1+∠CEA=94°。
∵EF//CD，AB//CD，
∴EF//AB。
∴∠FEA+∠A=180°，
∴∠A=180°-94°=86°。
模型解读 鹰嘴模型常分为两种：内拐角型、外拐角型，三个角之间存在如下的关系。

9. [2025 河南许昌禹州期中改编, ★☆☆] 如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图, 扶手 $ AB $ 与底座 $ CD $ 都平行于地面 $ EF $, 前支架 $ OE $ 与后支架 $ OF $ 分别与 $ CD $ 交于点 $ G $ 和点 $ D $, $ AB $ 与 $ DM $ 交于点 $ N $, $ ∠ AOE = ∠ BNM $.
(1) 试说明: $ OE // DM $.
(2) 若 $ OE $ 平分 $ ∠ AOF $, $ ∠ ODC = 32° $, 求扶手 $ AB $ 与靠背 $ DM $ 的夹角 $ ∠ ANM $ 的度数.

9. 解析 （1）证明：
∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND。
∴OE//DM。
（2）
∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD。
∴∠BOD=∠ODC=32°。
∵∠AOF+∠BOD=180°，
∴∠AOF=148°。
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOF=74°。
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=106°。
∵OE//DM，
∴∠ANM=∠BOE=106°。

10. 新课标 推理能力 [2025 湖北武汉江汉期末] 如图, $ AB // CD $, $ AE // DF $, $ EG $, $ DG $ 分别平分 $ ∠ AEF $ 和 $ ∠ FDC $, 若 $ ∠ BAE = 40° $, $ ∠ EFD = 160° $, 则 $ ∠ G $ 的度数是.

10. 答案 60°
解析 如图，延长AE交CD的延长线于点L，过点E，G分别作HI//AB，JK//AB，

∵AB//CD，
∴AB//HI//JK//CD。
∴∠8=∠1=∠BAE=40°，
∵AE//DF，
∴∠AEF=∠EFD=160°，∠FDC=∠1=40°，
∵EG，DG分别平分∠AEF和∠FDC，
∴∠5=∠6=$\frac{1}{2}$∠FDC=20°，∠AEG=∠3=$\frac{1}{2}$∠AEF=80°，
∴∠2=∠AEG-∠8=80°-40°=40°，
∵HI//JK//CD，
∴∠4=∠2=40°，∠7=∠5=20°，
∴∠EGD=∠4+∠7=40°+20°=60°。

11. 新课标 推理能力 [2025 陕西咸阳永寿期中] 如图, 已知 $ ∠ AOB $, 点 $ C $ 在射线 $ OA $ 上, $ CD // OE $.
(1) 如图①, 若 $ ∠ AOB = 90° $, $ ∠ OCD = 120° $, 求 $ ∠ BOE $ 的度数.
(2) 如图②, 若 $ ∠ AOB = 130° $, 射线 $ OE $ 沿射线 $ OB $ 平移得到 $ O'E' $. 探究 $ ∠ OCD $ 和 $ ∠ BO'E' $ 的数量关系.
(3) 如图③, 在 (2) 的条件下, 作 $ PO' ⊥ OB $, 垂足为 $ O' $, 与 $ ∠ OCD $ 的平分线 $ CP $ 交于点 $ P $, 若 $ ∠ BO'E' = α $, 试用含 $ α $ 的式子表示 $ ∠ CPO' $ 的度数.

11. 解析 （1）
∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°。
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-120°-90°=150°。
（2）如图，延长EO到F，

∵CD//OE，OE//O'E'，
∴OF//CD//O'E'，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E'O'O=180°-∠BO'E'，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E'=360°-(∠OCD+∠BO'E')=130°。
∴∠OCD+∠BO'E'=230°。
（3）如图，过点P作PH//CD，延长E'O'到G，

∵CD//OE，OE//O'E'，
∴PH//CD//O'G，
∴∠CPH=∠DCP，∠O'PH=∠PO'G，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠DCP=$\frac{1}{2}$∠OCD。
∵PO'⊥OB，
∴∠PO'B=90°，
∴∠PO'G+∠BO'G=90°，
∵∠BO'G=180°-∠BO'E'=180°-α，
∴∠PO'G=90°-∠BO'G=90°-(180°-α)=α-90°，
由（2）可得∠OCD+∠BO'E'=230°，
∴∠OCD=230°-∠BO'E'=230°-α，
∴∠CPH=∠DCP=115°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠CPO'=∠CPH+∠O'PH=∠DCP+∠PO'G=115°-$\frac{1}{2}$α+α-90°=25°+$\frac{1}{2}$α。