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一、填空题
1. 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,那么剩余20本;如果每人分4本,那么还缺25本.这个班有
1. 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,那么剩余20本;如果每人分4本,那么还缺25本.这个班有
45
名学生.答案
1. 45
解析
【分析】
这是典型的分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量：两次不同分配方案下，图书的总数量是固定相等的。我们可以先设学生人数为未知数x，分别用两种分配规则表示出图书的总本数，由于两个表达式都对应图书总数量，因此二者相等，即可列出一元一次方程，求解后就能得到学生人数。
【解析】
解：设这个班有x名学生。
1. 根据第一种分配规则：每人分3本余20本，可得图书总数量为 $3x + 20$
2. 根据第二种分配规则：每人分4本缺25本，可得图书总数量为 $4x - 25$
3. 由于图书总数量不变，列等式方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
4. 移项整理：$3x - 4x = -25 - 20$
5. 合并同类项：$-x = -45$
6. 系数化为1：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系构建
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典基础题型，核心考察学生从分配场景中提取不变量建立等式的能力，难度低，非常适合刚接触方程解应用题的初学者练习，能帮助学生快速理解方程法相比算术法的逻辑优势。
【难度系数】
0.9
这是典型的分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量：两次不同分配方案下，图书的总数量是固定相等的。我们可以先设学生人数为未知数x，分别用两种分配规则表示出图书的总本数，由于两个表达式都对应图书总数量，因此二者相等，即可列出一元一次方程，求解后就能得到学生人数。
【解析】
解：设这个班有x名学生。
1. 根据第一种分配规则：每人分3本余20本，可得图书总数量为 $3x + 20$
2. 根据第二种分配规则：每人分4本缺25本，可得图书总数量为 $4x - 25$
3. 由于图书总数量不变，列等式方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
4. 移项整理：$3x - 4x = -25 - 20$
5. 合并同类项：$-x = -45$
6. 系数化为1：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系构建
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典基础题型，核心考察学生从分配场景中提取不变量建立等式的能力，难度低，非常适合刚接触方程解应用题的初学者练习，能帮助学生快速理解方程法相比算术法的逻辑优势。
【难度系数】
0.9
2. 某商品标价300元,按标价的8折销售,仍然可获利20%,则该商品的进价为
200
元.答案
2. 200
解析
【分析】
这是一道典型的商品销售利润应用题，解题思路如下：第一步先根据题目给出的标价和折扣规则，计算出商品的实际售卖价格；第二步明确“获利20%”的定义：利润率的计算基数是进价，即实际售价是进价的(1+20%)倍，我们可以设进价为未知数，依托“售价=进价×(1+利润率)”的固定等量关系列方程，就能快速求解出进价数值。
【解析】
解：设该商品的进价为x元，
1. 先计算实际售价：商品标价300元，按8折销售，实际售价为：
$300×0.8 = 240$ 元
2. 根据获利20%的条件列方程：
$(1+20\%)x = 240$
化简得：$1.2x = 240$
解得：$x=200$
因此该商品的进价为200元。
【答案】
200
【知识点】
商品销售利润计算；一元一次方程应用
【点评】
本题属于初中数学入门级的代数应用题，核心要求是理清售价、进价、利润率三者的逻辑关系，最容易出错的点是误将利润率的计算基数当成售价，只要牢记利润率是基于进价计算的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的商品销售利润应用题，解题思路如下：第一步先根据题目给出的标价和折扣规则，计算出商品的实际售卖价格；第二步明确“获利20%”的定义：利润率的计算基数是进价，即实际售价是进价的(1+20%)倍，我们可以设进价为未知数，依托“售价=进价×(1+利润率)”的固定等量关系列方程，就能快速求解出进价数值。
【解析】
解：设该商品的进价为x元，
1. 先计算实际售价：商品标价300元，按8折销售，实际售价为：
$300×0.8 = 240$ 元
2. 根据获利20%的条件列方程：
$(1+20\%)x = 240$
化简得：$1.2x = 240$
解得：$x=200$
因此该商品的进价为200元。
【答案】
200
【知识点】
商品销售利润计算；一元一次方程应用
【点评】
本题属于初中数学入门级的代数应用题，核心要求是理清售价、进价、利润率三者的逻辑关系，最容易出错的点是误将利润率的计算基数当成售价，只要牢记利润率是基于进价计算的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 我国的“洛书”记载了世界上最古老的幻方:将 1~9 九个数字填入 $3× 3$ 的方格内,使每行、每列、每条对角线上三个数字的和都相等. 如图所示的幻方中,字母 $m$ 所表示的数是
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
首先明确三阶幻方的核心规则：填入1~9后，所有行、列、对角线上的三个数之和完全相等。第一步先计算1到9的数字总和，由于三行的总和就是1~9的总和，用总和除以3就能得到公共的三数之和（幻和）。接下来观察图形，左上到右下的对角线已经给出2和5两个已知数，利用幻和可以直接算出这条对角线第三个位置（右下角）的数值，最后第三列已经有右下角的数和已知的3，再次利用第三列的和等于幻和，就能直接求出m，不需要把所有空格都填满。
【解析】
解：
1. 计算幻和：1~9九个数字的总和为 $1+2+3+\dots+9=45$，由于三行的和完全相等，因此每行、每列、每条对角线的三数之和（幻和）为 $45÷3=15$。
2. 求第三行第三列的数：左上到右下的对角线三个数分别为2、5、第三行第三列的数，设该数为x，可得：
$2 + 5 + x = 15$
解得 $x=8$。
3. 求m的值：第三列的三个数为m、3、8，它们的和等于幻和15，因此：
$m + 3 + 8 = 15$
解得 $m=4$。
【答案】4
【知识点】三阶幻方性质，有理数加法运算
【点评】本题是基础的三阶幻方求值题，不需要完整填出所有空格，只需要利用“所有行、列、对角线三数和相等”的核心性质，优先选取已知数最多的线逐步推导即可，解题思路清晰，计算难度低。
【难度系数】0.7
首先明确三阶幻方的核心规则：填入1~9后，所有行、列、对角线上的三个数之和完全相等。第一步先计算1到9的数字总和，由于三行的总和就是1~9的总和，用总和除以3就能得到公共的三数之和（幻和）。接下来观察图形，左上到右下的对角线已经给出2和5两个已知数，利用幻和可以直接算出这条对角线第三个位置（右下角）的数值，最后第三列已经有右下角的数和已知的3，再次利用第三列的和等于幻和，就能直接求出m，不需要把所有空格都填满。
【解析】
解：
1. 计算幻和：1~9九个数字的总和为 $1+2+3+\dots+9=45$，由于三行的和完全相等，因此每行、每列、每条对角线的三数之和（幻和）为 $45÷3=15$。
2. 求第三行第三列的数：左上到右下的对角线三个数分别为2、5、第三行第三列的数，设该数为x，可得：
$2 + 5 + x = 15$
解得 $x=8$。
3. 求m的值：第三列的三个数为m、3、8，它们的和等于幻和15，因此：
$m + 3 + 8 = 15$
解得 $m=4$。
【答案】4
【知识点】三阶幻方性质，有理数加法运算
【点评】本题是基础的三阶幻方求值题，不需要完整填出所有空格，只需要利用“所有行、列、对角线三数和相等”的核心性质，优先选取已知数最多的线逐步推导即可，解题思路清晰，计算难度低。
【难度系数】0.7
4. 一辆汽车从甲地到乙地,第一小时行了 100 千米,第二小时行了 120 千米,两小时一共行了全程的55%,甲、乙两地全长
400
千米.答案
4. 400
解析
【分析】
我们可以按照这样的思路解题：首先先算出汽车两小时总共行驶的路程，题目说明这部分路程占全程的55%，此时把甲乙两地的全长看作单位“1”，已知部分的具体数值和它对应的占单位“1”的百分比，求单位“1”的总量，直接用部分量除以对应的占比就能算出全程长度。先把两小时的路程相加得到总行驶路程，再除以55%即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算两小时的总行驶路程：
第一小时行驶100千米，第二小时行驶120千米，两小时总路程为：
$100 + 120 = 220$（千米）
2. 计算甲乙两地全长：
已知220千米对应全程的55%，求作为单位“1”的全程长度，用除法计算：
$220 ÷ 55\% = 220 ÷ 0.55 = 400$（千米）
【答案】
400
【知识点】
百分数应用；单位“1”求解
【点评】
本题是百分数和行程结合的基础应用题，核心逻辑是已知部分量和对应占比求整体时用除法，只要准确找到部分量和对应的占比，不混淆乘除关系就可以顺利解题，属于百分数应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
我们可以按照这样的思路解题：首先先算出汽车两小时总共行驶的路程，题目说明这部分路程占全程的55%，此时把甲乙两地的全长看作单位“1”，已知部分的具体数值和它对应的占单位“1”的百分比，求单位“1”的总量，直接用部分量除以对应的占比就能算出全程长度。先把两小时的路程相加得到总行驶路程，再除以55%即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算两小时的总行驶路程：
第一小时行驶100千米，第二小时行驶120千米，两小时总路程为：
$100 + 120 = 220$（千米）
2. 计算甲乙两地全长：
已知220千米对应全程的55%，求作为单位“1”的全程长度，用除法计算：
$220 ÷ 55\% = 220 ÷ 0.55 = 400$（千米）
【答案】
400
【知识点】
百分数应用；单位“1”求解
【点评】
本题是百分数和行程结合的基础应用题，核心逻辑是已知部分量和对应占比求整体时用除法，只要准确找到部分量和对应的占比，不混淆乘除关系就可以顺利解题，属于百分数应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
5. 一项工程,甲单独做需 30 天完成,乙单独做需 20 天完成,两人合作
10
天能完成这项工程的$\dfrac{5}{6}$.答案
5. 10
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们可以按照以下思路解题：1. 首先把整项工程的总工作量看作单位“1”，这是工程问题的常规设定，方便计算各自的工作效率；2. 根据甲、乙单独完成工程的时间，分别求出甲、乙每天能完成总工程的占比，也就是两人的单日工作效率；3. 计算两人合作的总工作效率，也就是两人效率之和；4. 用需要完成的目标工作量$\frac{5}{6}$除以合作的总工作效率，就能得到对应的合作天数。
【解析】
解：设这项工程的总工作量为单位“1”。
1. 计算甲的工作效率：甲单独做30天完成，因此甲每天完成的工作量为 $1÷30=\frac{1}{30}$
2. 计算乙的工作效率：乙单独做20天完成，因此乙每天完成的工作量为 $1÷20=\frac{1}{20}$
3. 计算两人合作的总效率：$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{2}{60}+\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
4. 计算完成$\frac{5}{6}$工作量所需的时间：$\frac{5}{6}÷\frac{1}{12}=\frac{5}{6}×12=10$（天）
【答案】
10
【知识点】
工程问题，工作效率，分数除法
【点评】
本题属于基础的工程合作问题，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，将总工作量设为单位1是这类题的通用简化技巧，只要牢记三者的运算逻辑就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，我们可以按照以下思路解题：1. 首先把整项工程的总工作量看作单位“1”，这是工程问题的常规设定，方便计算各自的工作效率；2. 根据甲、乙单独完成工程的时间，分别求出甲、乙每天能完成总工程的占比，也就是两人的单日工作效率；3. 计算两人合作的总工作效率，也就是两人效率之和；4. 用需要完成的目标工作量$\frac{5}{6}$除以合作的总工作效率，就能得到对应的合作天数。
【解析】
解：设这项工程的总工作量为单位“1”。
1. 计算甲的工作效率：甲单独做30天完成，因此甲每天完成的工作量为 $1÷30=\frac{1}{30}$
2. 计算乙的工作效率：乙单独做20天完成，因此乙每天完成的工作量为 $1÷20=\frac{1}{20}$
3. 计算两人合作的总效率：$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{2}{60}+\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
4. 计算完成$\frac{5}{6}$工作量所需的时间：$\frac{5}{6}÷\frac{1}{12}=\frac{5}{6}×12=10$（天）
【答案】
10
【知识点】
工程问题，工作效率，分数除法
【点评】
本题属于基础的工程合作问题，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，将总工作量设为单位1是这类题的通用简化技巧，只要牢记三者的运算逻辑就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
二、解答题
6. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式,方式一:先购买会员证,每张会员证 120 元,只限本人当年使用,凭会员证游泳每次再付费 10 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 15 元. 设小聪计划今年夏季游泳次数为 $x$($x$ 为正整数).
(1) 根据题意,填写下表:
(2) 若小聪计划今年夏季游泳的总费用为 300 元,请通过计算说明选择哪种付费方式可使她游泳的次数比较多.
(3) 张老师是游泳爱好者,他计划今年夏季在这个游泳馆游泳 40 次,通过计算说明,张老师选择哪种付费方式更合算?
6. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式,方式一:先购买会员证,每张会员证 120 元,只限本人当年使用,凭会员证游泳每次再付费 10 元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费 15 元. 设小聪计划今年夏季游泳次数为 $x$($x$ 为正整数).
(1) 根据题意,填写下表:
(2) 若小聪计划今年夏季游泳的总费用为 300 元,请通过计算说明选择哪种付费方式可使她游泳的次数比较多.
(3) 张老师是游泳爱好者,他计划今年夏季在这个游泳馆游泳 40 次,通过计算说明,张老师选择哪种付费方式更合算?
答案
6. (1) 填表如下：
| 游泳次数 | 10 | 15 | 20 | … | x |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 方式一的总费用/元 | 220 | 270 | 320 | … | 120+10x |
| 方式二的总费用/元 | 150 | 225 | 300 | … | 15x |
(2) 方式一:120+10x = 300,解得 x = 18. 方式二:15x = 300,解得 x = 20. 因为 18＜20,所以选择方式二可使她游泳的次数比较多
(3) 设张老师游泳次数为 y. 当 y = 40 时,120+10y = 520;当 y = 40 时,15y = 600. 因为 520＜600,所以张老师选择方式一更合算
| 游泳次数 | 10 | 15 | 20 | … | x |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 方式一的总费用/元 | 220 | 270 | 320 | … | 120+10x |
| 方式二的总费用/元 | 150 | 225 | 300 | … | 15x |
(2) 方式一:120+10x = 300,解得 x = 18. 方式二:15x = 300,解得 x = 20. 因为 18＜20,所以选择方式二可使她游泳的次数比较多
(3) 设张老师游泳次数为 y. 当 y = 40 时,120+10y = 520;当 y = 40 时,15y = 600. 因为 520＜600,所以张老师选择方式一更合算
解析
【分析】
首先先明确两种付费方式的计费逻辑：方式一总费用=固定120元会员证费用+每次10元的单次费用×游泳次数，方式二总费用=每次15元的单次费用×游泳次数。
第(1)问：将游泳次数20分别代入两个计费规则，算出对应总费用，再把次数替换为变量x，就能得到通用的总费用表达式，完成表格填写。
第(2)问：已知总费用固定为300元，分别令两种付费方式的总费用等于300，列出对应的一元一次方程，解出两种方式下可游泳的次数，比较两个次数的大小，次数更大的就是对应条件下更优的选择。
第(3)问：已知游泳次数固定为40次，把次数代入两个计费规则算出对应的总费用，比较两个总费用的大小，总费用更低的付费方式就更合算。
【解析】
(1) 代入数值计算：
游泳次数为20时，方式一总费用：$120 + 10×20 = 320$元；游泳次数为$x$时，方式一总费用为$120+10x$元。
游泳次数为20时，方式二总费用：$15×20 = 300$元；游泳次数为$x$时，方式二总费用为$15x$元。
(2) 总费用为300元时分别求解游泳次数：
方式一：列方程$120+10x = 300$，解得$x=18$；
方式二：列方程$15x = 300$，解得$x=20$。
因为$18＜20$，所以总费用300元时，选择方式二游泳的次数更多。
(3) 游泳次数为40次时分别求解总费用：
方式一：总费用为$120+10×40 = 520$元；
方式二：总费用为$15×40 = 600$元。
因为$520＜600$，所以游泳40次时选择方式一更合算。
【答案】
(1) 表格中对应位置依次填入：320，$120+10x$，300，$15x$；
(2) 选择方式二可使她游泳的次数比较多；
(3) 张老师选择方式一更合算。
【知识点】
一元一次方程，一次函数应用，方案选择
【点评】
本题是生活消费场景下的典型应用题，难度较低，核心是先理清两种付费规则下费用和次数的对应关系，根据题干给出的不同限定条件分别计算后比较大小即可，能帮助学生建立用数学知识解决实际消费决策问题的思维。
【难度系数】
0.8
首先先明确两种付费方式的计费逻辑：方式一总费用=固定120元会员证费用+每次10元的单次费用×游泳次数，方式二总费用=每次15元的单次费用×游泳次数。
第(1)问：将游泳次数20分别代入两个计费规则，算出对应总费用，再把次数替换为变量x，就能得到通用的总费用表达式，完成表格填写。
第(2)问：已知总费用固定为300元，分别令两种付费方式的总费用等于300，列出对应的一元一次方程，解出两种方式下可游泳的次数，比较两个次数的大小，次数更大的就是对应条件下更优的选择。
第(3)问：已知游泳次数固定为40次，把次数代入两个计费规则算出对应的总费用，比较两个总费用的大小，总费用更低的付费方式就更合算。
【解析】
(1) 代入数值计算：
游泳次数为20时，方式一总费用：$120 + 10×20 = 320$元；游泳次数为$x$时，方式一总费用为$120+10x$元。
游泳次数为20时，方式二总费用：$15×20 = 300$元；游泳次数为$x$时，方式二总费用为$15x$元。
(2) 总费用为300元时分别求解游泳次数：
方式一：列方程$120+10x = 300$，解得$x=18$；
方式二：列方程$15x = 300$，解得$x=20$。
因为$18＜20$，所以总费用300元时，选择方式二游泳的次数更多。
(3) 游泳次数为40次时分别求解总费用：
方式一：总费用为$120+10×40 = 520$元；
方式二：总费用为$15×40 = 600$元。
因为$520＜600$，所以游泳40次时选择方式一更合算。
【答案】
(1) 表格中对应位置依次填入：320，$120+10x$，300，$15x$；
(2) 选择方式二可使她游泳的次数比较多；
(3) 张老师选择方式一更合算。
【知识点】
一元一次方程，一次函数应用，方案选择
【点评】
本题是生活消费场景下的典型应用题，难度较低，核心是先理清两种付费规则下费用和次数的对应关系，根据题干给出的不同限定条件分别计算后比较大小即可，能帮助学生建立用数学知识解决实际消费决策问题的思维。
【难度系数】
0.8
