1. (1)数轴上表示数$ m $和数$ n $的两点之间的距离等于$|m - n|$.例如数轴上表示数2和5的两点之间的距离为$|2 - 5|=\_\_\_\_\_\_$;数轴上表示数3和-1的两点的距离为$|3 - (-1)|=\_\_\_\_\_\_$.
(2)已知$|x - 2| = 10$,则$ x $的值是________.
(3)适合$|x + 5| + |x - 3| = 8$的整数$ x $的值有哪些?
(4)已知$|x - 3| + |x + 2| = 7$,求$ x $的值.

1.(1)3 4
(2)12 或-8 【解析】根据绝对值的几何意义可知，|x-2|=10表示数轴上到2的距离为10个单位长度的数是x，因此x=12或-8.
(3)|x+5|表示数轴上x到-5的距离，|x-3|表示数轴上x到3的距离，，因为-5到3的距离为8，故-5到3之间的所有点均满足条件，即-5≤x≤3.又因为x为整数，故满足条件的x的值有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3，共9个.
(4)，根据绝对值的几何意义，|x-3|+|x+2|=7表示数轴上x到3的距离与x到-2的距离之和等于7，当x在-2左侧时，x＜-2，3-x-x-2=7，解得x=-3；当x在3右侧时，x＞3，x-3+x+2=7，解得x=4.

2. (1)已知$|x-5|=|x+1|$,则$x=\_\_\_\_\_\_$;
(2)已知$|x+12|=3|x-8|$,求$x$的值.

2.(1)2 【解析】根据绝对值的几何意义，|x-5|=|x+1|表示数轴上x到5的距离等于x到-1的距离，所以x在-1和5之间，所以5-x=x+1，所以x=2.
(2)|x+12|=3|x-8|，表示数轴上x到-12的距离是x到8的距离的3倍.设A,B,P表示的数分别为-12,8,x，由|x+12|=3|x-8|可得PA=3PB.

①如图①，当点P在点A的左侧时，PA＜PB，PA=3PB不成立；②如图②，当点P在A,B两点之间，即-12≤x≤8时，|x+12|=PA=x+12，|x-8|=PB=8-x，x+12=3(8-x)，解得x=3；③如图③，当点P在点B的右侧，即x＞8时，|x+12|=PA=x+12，|x-8|=PB=x-8，x+12=3(x-8)，解得x=18.综上所述，x的值为3或18.

3. (1)求$|x+3|+|x-4|$的最小值；
(2)求$|x+3|-|x-4|$的最大值.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P31 专题17~P33 专题19

3.(1)根据绝对值的几何意义，|x+3|+|x-4|表示数轴上x到-3和4的距离之和，观察数轴可得，当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|有最小值7；当x＜-3或x＞4时，|x+3|+|x-4|的值大于7，所以|x+3|+|x-4|的最小值为7.
(2)根据绝对值的几何意义，|x+3|-|x-4|表示数轴上x到-3的距离减去x到4的距离，由数轴可得，当x＜-3时，|x+3|-|x-4|=-7；当-3≤x≤4时，|x+3|-|x-4|=2x-1，当x=4时，式子的值最大，最大为7；当x＞4时，|x+3|-|x-4|=7；因此，当x≥4时，|x+3|-|x-4|有最大值为7.