1. （2025·扬州期末）在等腰$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ BAC=α$，点$D$是边$AC$上一点（不与点$A$，$C$重合），连接$BD$，将$△ ABD$沿$BD$翻折得$△ EBD$，连接$CE$.
（1）如图①，若$α=120°$，解决下列问题：
①当点$E$落在边$BC$上时，$DE$与$CD$的位置关系是________；
②当$BD// CE$时，请用无刻度的直尺和圆规作出点$D$的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.
（2）如图②，
①当点$E$落在边$BC$上，且$△ CDE$为等腰三角形时，求$α$的值；
②当点$D$在边$AC$上运动时，存在点$E$落在边$AC$上，则$α$的取值范围是________.

(1)①$DE⊥ CD$ 解析:$\because α = 120°,AB = AC = 6,\therefore ∠ ABC=∠ ACB=30°.$当点 $E$ 落在边 $BC$ 上时,由 $△ ABD≌△ EBD$,可得$∠ BED= ∠ BAC = α = 120°, \therefore ∠ DEC = 60°, \therefore ∠ EDC = 90°$,即$DE ⊥ CD$.
②$\because BD// CE,\therefore ∠ ADB = ∠ ACE, ∠ BDE = ∠ DEC. \because △ ABD≌△ EBD,\therefore ∠ BDE = ∠ BDA,AD = ED,\therefore ∠ DEC = ∠ ACE,\therefore AD = DE=CD$,故 $D$ 是 $AC$ 的中点,即点 $D$ 的位置如图所示：
(2)①当$△ CDE$ 为等腰三角形时,可分为三种情况:当 $DE=EC$时,$\because △ ABD≌△ EBD, ∠ BAC = α,\therefore ∠ BAC = ∠ BED = α$.$\because AB=AC=6, ∠ BAC = α,\therefore ∠ ABC = ∠ ACB=\frac{180°-α}{2}.\because DE=EC,\therefore ∠ ACB = ∠ EDC=\frac{180°-α}{2}.\because ∠ DEB = ∠ EDC + ∠ ACB$,$\therefore α=\frac{180°-α}{2}× 2$, 解得 $α = 90°$; 当 $DE = CD$ 时, $\because ∠ DEC =∠ ACB=\frac{180°-α}{2}$, $∠ BED = ∠ BAC = α,\therefore ∠ DEC = 180°-α$,$\therefore 180°-α=\frac{180°-α}{2}$, 解得 $α = 180°$(不符合题意,舍去);当 $CE = CD$ 时, $\because ∠ ACB=\frac{180°-α}{2}$ , $∠ BED = ∠ BAC = α$,$\therefore ∠ DEC=180°-α,\because CE = CD,\therefore ∠ DEC = ∠ EDC = 180°-α$,$\therefore ∠ DEC+∠ EDC+∠ ACB = 180°,即(180°-α)× 2+\frac{180°-α}{2}=180°,解得 α = 108°.综上所述,α = 108°或90°.$
②$60°≤α＜90°$ 解析:当存在点 $E$ 落在边 $AC$ 上时,$\because △ ABD≌△ EBD$,即$∠ ADB = ∠ EDB = 90°,∠ BAC = ∠ BED = α,\therefore α＜90°$.$\because ∠ ACB=\frac{180°-α}{2}$,点 $E$ 可与点 $C$ 重合,不与点 $D$ 重合,$\therefore ∠ BED≥∠ ACB,\therefore α≥\frac{180°-α}{2}$,解得 $α≥60°$.综上所述,$60°≤α＜90°.$

2. （2025·南京期末）已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的高.
(1)如图①,若 AD=CD,E 是 AB 边上一点,将 DE 绕点 D 顺时针旋转 90°,得到 DF,连接 CF.求证:∠DCF=∠DAE.
(2)如图②,若 AD=CD,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E,连接 DE.写出 AE,DE,CE 之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,利用直尺和圆规,分别在 AB,AC 上作点 M,N,使 DM=DN,且∠MDN=90°.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

(1)$\because AD$ 是$△ ABC$ 的边 $BC$ 上的高, $\therefore ∠ ADC = 90°.\because $ 将$DE$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90°$,得到 $DF,\therefore ∠ EDF = 90°,ED=FD$,$\therefore ∠ ADE + ∠ ADF = ∠ ADF + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠ ADE = ∠ CDF$.$\because AD=CD,\therefore △ ADE≌△ CDF,\therefore ∠ DCF = ∠ DAE.$
(2)$CE=AE+\sqrt{2}DE$,理由如下:过点 $D$ 作 $DF⊥ DE$,交 $CE$ 于点 $F$,如图①所示.
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的边 $BC$ 上的高, $\therefore ∠ ADC = ∠ ADB = 90°$.$\because CE⊥ AB,\therefore ∠ CEB = ∠ CEA = 90°,\therefore ∠ B + ∠ BCE = ∠ B + ∠ BAD = 90°,\therefore ∠ BCE = ∠ BAD.\because ∠ ADE + ∠ ADF = ∠ ADF + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠ ADE = ∠ CDF. \because AD = CD, \therefore △ ADE ≌ △ CDF,\therefore AE = CF,DE = DF.\because ∠ EDF = 90°,\therefore △ DEF$ 为等腰直角三角形, $\therefore EF=\sqrt{2}DE,\therefore CE=CF+EF=AE+\sqrt{2}DE$,即 $AE,DE,CE$ 之间的数量关系是 $CE=AE+\sqrt{2}DE.$
(3)如图②,以点 $D$ 为圆心,$DB$ 的长为半径画弧,交 $AD$ 于点 $G$,延长 $BC$,截取 $DE=AD$,连接 $GE$,交 $AC$ 于点 $N$,以点 $A$ 为圆心,$NE$ 长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $M$,连接 $DM,DN$,则点 $M,N$ 即为所求.
根据作图可知 $DB=DG,AM=NE,DE=AD.\because ∠ ADB = ∠ GDE = 90°,\therefore △ ADB≌△ EDG(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BAD = ∠ DEG.\because AM = NE$,$DE = AD,\therefore △ ADM≌△ EDN(\mathrm{SAS}),\therefore DM = DN, ∠ ADM = ∠ EDN,\therefore ∠ MDN = ∠ ADM + ∠ ADN = ∠ EDN + ∠ ADN = 90°$,即$∠ MDN=90°.$