12.某学校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在书画大赛中表现优秀的师生.已知购买2个甲种文具和1个乙种文具共需要花费35元；购买1个甲种文具和3个乙种文具共需要花费30元.
(1)求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1 000元，问有多少种购买方案？

12. 解:(1)设购买一个甲种文具需a元,购买一个乙种文具需b元,
由题意得$\begin{cases} 2a+b=35, \\ a+3b=30, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=15, \\ b=5. \end{cases}$
答:购买一个甲种文具需15元,购买一个乙种文具需5元.
(2)设购买甲种文具x个,则购买乙种文具(120-x)个,依题意得
$\begin{cases} 15x+5(120-x)≥955, \\ 15x+5(120-x)≤1\ 000, \end{cases}$解得$35.5≤x≤40$.
∵x是整数,
∴x=36,37,38,39,40.
∴一共有5种购买方案.
答:一共有5种购买方案.

【分析】
（1）第一问需要求解两种文具的单价，题干给出了两组购买花费的等量关系，可分别设甲、乙两种文具的单价为未知数，根据“2个甲种文具花费+1个乙种文具花费=35元”“1个甲种文具花费+3个乙种文具花费=30元”列二元一次方程组，求解即可得到两种文具的单价。
（2）第二问属于方案设计问题，已知两种文具总购买量为120个，总投入资金有范围限制，可设购买甲种文具的数量为x，则乙种文具数量可表示为(120-x)，根据“总投入资金≥955元”“总投入资金≤1000元”列一元一次不等式组，解出x的取值范围后，结合x为正整数的实际意义，统计符合条件的x的个数，即为购买方案的数量。
【解析】
(1) 设购买一个甲种文具需$a$元，购买一个乙种文具需$b$元，
由题意得：
$\begin{cases} 2a+b=35 \\ a+3b=30 \end{cases}$
由第一个方程得$b=35-2a$，将其代入第二个方程：
$a+3(35-2a)=30$
$a+105-6a=30$
$-5a=-75$
解得$a=15$，
将$a=15$代入$b=35-2a$，得$b=35-2×15=5$，
所以方程组的解为$\begin{cases} a=15 \\ b=5 \end{cases}$。
答：购买一个甲种文具需15元，购买一个乙种文具需5元。
(2) 设购买甲种文具$x$个，则购买乙种文具$(120-x)$个，
依题意得：
$\begin{cases} 15x+5(120-x)≥955 \\ 15x+5(120-x)≤1000 \end{cases}$
化简第一个不等式：
$15x+600-5x≥955$
$10x≥355$
$x≥35.5$
化简第二个不等式：
$15x+600-5x≤1000$
$10x≤400$
$x≤40$
所以不等式组的解集为$35.5≤x≤40$。
∵$x$为文具个数，是正整数，
∴$x$可取36、37、38、39、40，共5个值，即共有5种购买方案。
答：一共有5种购买方案。
【答案】
(1) 购买一个甲种文具需15元，一个乙种文具需5元；
(2) 共有5种购买方案。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，核心考查学生从题干提取等量关系、不等量关系的能力，解题时需注意结合未知数的实际意义取整数解，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7

13.若不等式(组)只有$n$个正整数解($n$为自然数),则称这个不等式(组)为$n$阶不等式(组).我们规定:当$n=0$时,这个不等式(组)为0阶不等式(组).例如:不等式$x+1＜6$有4个正整数解,故这个不等式为4阶不等式.不等式组$2＜x+1＜6$有3个正整数解,故这个不等式组为3阶不等式组.请根据定义完成下列问题:
(1)$x＜\frac{1}{2}$是阶不等式;$-3＜-x+1＜1$是阶不等式组;
(2)若关于$x$的不等式组$1≤x＜a$是4阶不等式组,则$a$的取值范围为;
(3)关于$x$的不等式组$b≤x＜m$的正整数解有$a_1,a_2,a_3,a_4,···$,其中$a_1＜a_2＜a_3＜a_4＜···$.如果$b≤x＜m$是$(m-3)$阶不等式组,且关于$x$的方程$2x-m=0$的解是不等式组$b≤x＜m$的正整数解$a_3$,求$m$的值以及$b$的取值范围.

13. 解:(1)0 3
(2)$4＜a≤5$
(3)
∵关于x的方程2x-m=0的解是不等式组$b≤x＜m$的正整数解$a_3$,
∴2x=m,
∴$x=\frac{m}{2}$,$a_3=\frac{m}{2}$,
∴m为偶数.
∵$b≤x＜m$是(m-3)阶不等式组,
∴该不等式组的整数解为(从大到小)m-1,m-2,…,m-(m-3)=3,
∴$a_1=3$,$a_3=5$,
∴$\frac{m}{2}=5$,
∴m=10,
∴将解集$b≤x＜m$表示在数轴上如下:

∴b的取值范围是$2＜b≤3$.

【分析】
解题首先要准确理解“n阶不等式（组）”的定义：即不等式（组）的正整数解的个数为n，n=0时表示没有正整数解。
(1) 先判断$x＜\frac{1}{2}$的正整数解：正整数最小为1，$1＞\frac{1}{2}$，没有正整数解，对应阶数为0；再解不等式$-3＜-x+1＜1$，求出解集后统计正整数解的个数即可得到阶数。
(2) $1≤x＜a$是4阶不等式组，说明有4个正整数解，依次为1、2、3、4，据此确定a的边界：a要大于4才能包含4，同时a≤5才不会包含5，避免正整数解个数超过4个。
(3) 首先解方程$2x-m=0$得$x=\frac{m}{2}$，即第三个正整数解$a_3=\frac{m}{2}$，说明m是偶数；再根据不等式是$(m-3)$阶，即有$(m-3)$个正整数解，不等式解集为$b≤x＜m$，最大的正整数解是$m-1$，可推得最小的正整数解$a_1=3$，依次得$a_3=5$，因此$\frac{m}{2}=5$即可求出m=10；最后根据解集$b≤x＜10$的正整数解从3开始，确定b的范围：b要大于2，小于等于3，才能保证最小正整数解为3。
【解析】
(1) 对于$x＜\frac{1}{2}$，正整数为1、2、3……，没有满足$x＜\frac{1}{2}$的正整数，正整数解个数为0，故是0阶不等式；
解不等式$-3＜-x+1＜1$：
不等式各部分同时减1，得$-4＜-x＜0$，
各部分同时乘-1，不等号方向改变，得$0＜x＜4$，
正整数解为1、2、3，共3个，故是3阶不等式。
(2) 不等式组$1≤x＜a$是4阶不等式组，即有4个正整数解，分别为1、2、3、4，
因此a需要满足：$4 ＜ a ≤5$（若$a≤4$，则不含4，正整数解不足4个；若$a＞5$，则包含5，正整数解超过4个）。
(3) ① 解方程$2x - m = 0$：
移项得$2x=m$，解得$x = \frac{m}{2}$，
由题意$x=\frac{m}{2}$是不等式组$b≤x＜m$的第三个正整数解$a_3$，因此m为偶数。
② 已知$b≤x＜m$是$(m-3)$阶不等式组，即该不等式组有$(m-3)$个正整数解，
不等式的解集上限为m，因此最大的正整数解为$m-1$，
那么最小的正整数解$a_1 = (m-1) - (m-3) + 1 = 3$，
正整数解依次为$a_1=3$，$a_2=4$，$a_3=5$，
因此$\frac{m}{2} = 5$，解得$m=10$。
③ 此时不等式组为$b≤x＜10$，其正整数解为3、4、5、6、7、8、9（共7个，符合$m-3=10-3=7$阶），
要保证最小正整数解为3，结合数轴可得b的取值范围为$2 ＜ b ≤3$。
解集在数轴上表示如下：

【答案】
(1) $0$；$3$
(2) $4＜a≤5$
(3) $m=10$，$b$的取值范围是$2＜b≤3$，解集数轴表示：
【知识点】
新定义问题，解一元一次不等式（组），不等式的整数解
【点评】
本题结合新定义考察一元一次不等式（组）的整数解应用，解题关键是准确理解新定义的含义，结合正整数解的个数确定参数的边界值，借助数轴分析参数范围更直观，注重对逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.6