1 [江苏无锡中考]下列4组数中，不是二元一次方程 $2x + y = 4$ 的解的是()

A.$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0.5,\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -2,\\y = 4\end{cases}$

1. D 【解析】
A 当$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$时，$2x + y = 4$，则$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$是二元一次方程$2x + y = 4$的解，不合题意
B 当$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$时，$2x + y = 4$，则$\begin{cases}x = 2,\\y = 0\end{cases}$是二元一次方程$2x + y = 4$的解，不合题意
C 当$\begin{cases}x = 0.5,\\y = 3\end{cases}$时，$2x + y = 4$，则$\begin{cases}x = 0.5,\\y = 3\end{cases}$是二元一次方程$2x + y = 4$的解，不合题意
D 当$\begin{cases}x = -2,\\y = 4\end{cases}$时，$2x + y = 0$，则$\begin{cases}x = -2,\\y = 4\end{cases}$不是二元一次方程$2x + y = 4$的解，符合题意

2 [新考向 传统文化][2025四川泸州中考]《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程 $x + 2y = 3$ 恰有一个正整数解 $x = 1$，$y = 1$.类似地，方程 $2x + 3y = 21$ 的正整数解的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

2. C 【解析】因为$2x + 3y = 21$，所以$y = 7-\frac{2}{3}x$，所以正整数解有$x = 3$，$y = 5$；$x = 6$，$y = 3$；$x = 9$，$y = 1$，共$3$个，故选 C.

3 [2024江苏宿迁中考]若关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + y = b,\\cx - y = d\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 3,\\y = -2,\end{cases}$ 则关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + 2y = 2a + b,\\cx - 2y = 2c + d\end{cases}$ 的解是 ______ .

3. $\begin{cases}x = 5,\\y = -1\end{cases}$ 【解析】把$\begin{cases}x = 3,\\y = -2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + y = b,\\cx - y = d,\end{cases}$得$\begin{cases}3a - 2 = b,\\3c + 2 = d.\end{cases}$因为$\begin{cases}ax + 2y = 2a + b,\\cx - 2y = 2c + d,\end{cases}$所以$\begin{cases}ax + 2y = 2a + 3a - 2,\\cx - 2y = 2c + 3c + 2,\end{cases}$即$\begin{cases}ax + 2y = 5a - 2,①\\cx - 2y = 5c + 2,②\end{cases}$① + ②，得$(a + c)x = 5(a + c)$. 因为方程组$\begin{cases}ax + y = b,\\cx - y = d\end{cases}$有解，所以$a + c≠0$，所以$x = 5$. 把$x = 5$代入①，得$5a + 2y = 5a - 2$，解得$y = -1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = -1.\end{cases}$故答案为$\begin{cases}x = 5,\\y = -1.\end{cases}$

4 解方程组：
（1）[2023江苏徐州中考]$\begin{cases}x = 4y + 1,\\2x - 5y = 8.\end{cases}$
（2）[2024江苏苏州中考]$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3.\end{cases}$
（3）[2023四川乐山中考]$\begin{cases}x - y = 1,\\3x + 2y = 8.\end{cases}$

4. 【解】(1)$\begin{cases}x = 4y + 1,①\\2x - 5y = 8,②\end{cases}$把①代入②，得$2(4y + 1)-5y = 8$，解得$y = 2$. 把$y = 2$代入①，得$x = 4×2 + 1 = 9$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 9,\\y = 2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x + y = 7,①\\2x - 3y = 3,②\end{cases}$① - ②，得$4y = 4$，解得$y = 1$. 将$y = 1$代入①，得$x = 3$，所以方程组的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 1.\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x - y = 1,①\\3x + 2y = 8,②\end{cases}$①×2，得$2x - 2y = 2$，③② + ③，得$5x = 10$，解得$x = 2$. 将$x = 2$代入①，得$y = 1$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$

5 [2025吉林中考]吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.

5. 【解】设该游客购买甲种商品$x$盒，乙种商品$y$盒.
由题意得$\begin{cases}x + y = 10,\\25x + 20y = 230,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 4.\end{cases}$
答：该游客购买甲种商品$6$盒，乙种商品$4$盒.

6 [2025广西中考]自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：

（1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为 $a$ 元、$b$ 元和 $c$ 元.求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示）
（2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.

6. 【解】(1)此行程的高速费原价为$(a + b + c)$元，实付$(0.95a + 0.5c)$元，比原价优惠了$a + b + c-(0.95a + 0.5c) = (0.05a + b + 0.5c)$元.
(2)设此行程中$A$市与$K$市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是$x$元和$y$元.
由题意得$\begin{cases}0.5y = 27.55,\\0.95x + 0.95y = 95.95,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 45.9,\\y = 55.1.\end{cases}$
故此行程中$A$市与$K$市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是$45.9$元和$55.1$元.