1 [2025河南新乡期中]若方程组 $\begin{cases}x + y = 10,\\......\end{cases}$ 为二元一次方程组，则“……”表示的方程可以是( )
A.$y^{2} - 1 = 0$
B.$\pm x$
C.$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$
D.$x = y$

1. D 【解析】A 选项，$y^{2}-1 = 0$不是一次方程，故该选项不符合题意；B 选项，$\pm x$不是方程，故该选项不符合题意；C 选项，$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$不是整式方程，故该选项不符合题意；D 选项，$x = y$是二元一次方程，故该选项符合题意. 故选 D.

2 [2025江苏苏州期末]如图，在三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等.图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态，现要使得图(3)所示的天平也保持平衡，且在该天平的右盘中只放置○，则右盘中需放入○的个数为()


A.7
B.8
C.9
D.10

2. B 【解析】设一个○的质量为$x$，一个□的质量为$y$，一个△的质量为$z$. 根据题图(1)、题图(2)，得$\begin{cases}5x + 2y = x + 3z,\\3x + 3y = 2y + 2z,\end{cases}$整理得$\begin{cases}4x + 2y = 3z,①\\3x + y = 2z,②\end{cases}$① - ②，得$x + y = z$，即$z = x + y$. 将$z = x + y$代入②，得$x = y$，所以$z = 2x$，所以$x + 3y + 2z = 8x$，所以右盘中需放入○的个数为$8$. 故选 B.

3 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = m + 3,\\x - 3y = 2m,\end{cases}$ 给出下列结论：(1)$\begin{cases}x = 1,\\y = \frac{1}{3}\end{cases}$ 是方程组的一个解；(2)当 $m = -2$ 时，$x$，$y$ 的值互为相反数；(3)$x$，$y$ 的数量关系是 $x - 3y = 2$；(4)$-3xy + x$ 有最小值 $-\frac{1}{4}$，其中正确的是( )

A.(2)(3)
B.(1)(4)
C.(1)(2)(4)
D.(1)(2)(3)(4)

3. C 【解析】(1)将$x = 1$，$y=\frac{1}{3}$代入方程组得$\begin{cases}2 + 1 = m + 3,\\1 - 1 = 2m,\end{cases}$解得$m = 0$，故(1)正确. (2)将$m = -2$代入方程组得$\begin{cases}2x + 3y = 1,①\\x - 3y = -4,②\end{cases}$① + ②得$3x = -3$，解得$x = -1$. 将$x = -1$代入②得$-1 - 3y = -4$，解得$y = 1$，则$x$与$y$互为相反数，故(2)正确. (3)$\begin{cases}2x + 3y = m + 3,③\\x - 3y = 2m,④\end{cases}$③×2 - ④，得$3x + 9y = 6$，整理得$x + 3y = 2$，故(3)错误. (4)由$x + 3y = 2$得$x = 2 - 3y$. 因为$x(1 - 3y)=-3xy + x$，所以$-3xy + x=(2 - 3y)(1 - 3y)=9y^{2}-9y + 2 = 9(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$. 因为$(y-\frac{1}{2})^{2}≥0$，所以$-3xy + x$的最小值是$-\frac{1}{4}$，故(4)正确，则正确的为(1)(2)(4). 故选 C.

4 已知 $\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$ 是二元一次方程 $mx + 2y = 1$ 的解，则 $m =$ ______ .

4. 3 【解析】已知$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$是二元一次方程$mx + 2y = 1$的解，则$-m + 2×2 = 1$，解得$m = 3$.

5 [2025江苏泰州期中]如图，直线 $CD$ 向右平移至直线 $EF$，$AB$ 与 $CD$，$EF$ 相交，$∠ 1 = (x + 2y)^{\circ}$，$∠ 2 = (4x - 2y)^{\circ}$，$∠ 3 = (2x + 10)^{\circ}$，则 $x - y =$.

]

5. 5 【解析】因为直线$CD$向右平移至直线$EF$，所以$CD// EF$，所以$∠1 = ∠3$. 因为$∠1 = ∠2$，所以$∠1 = ∠2 = ∠3$. 因为$∠1=(x + 2y)^{\circ}$，$∠2=(4x - 2y)^{\circ}$，$∠3=(2x + 10)^{\circ}$，所以$x + 2y = 4x - 2y = 2x + 10$，即$\begin{cases}x + 2y = 4x - 2y,\\x + 2y = 2x + 10,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 20,\\y = 15,\end{cases}$所以$x - y = 20 - 15 = 5$，故答案为$5$.

6 [2025江苏南通调研]解关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + (b - 2)y = 1,①\\(2b - 1)x - ay = 4②\end{cases}$ 时，可以用 $①×2 - ②$ 消去未知数 $x$，也可以用 $①×4 + ②×3$ 消去未知数 $y$，则 $a + b$ 的值为 ______ .

6. $\frac{25}{2}$ 【解析】①×2 - ②得$(2a - 2b + 1)x + (2b + a - 4)y = -2$. 因为此时可以消去未知数$x$，所以$2a - 2b + 1 = 0$. ①×4 + ②×3得$(4a + 6b - 3)x + (4b - 3a - 8)y = 16$. 因为此时可以消去未知数$y$，所以$4b - 3a - 8 = 0$，所以$\begin{cases}2a - 2b + 1 = 0,\\4b - 3a - 8 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 6,\\b=\frac{13}{2},\end{cases}$所以$a + b = 6+\frac{13}{2}=\frac{25}{2}$. 故答案为$\frac{25}{2}$.

7 [2025江苏镇江质检]解下列二元一次方程组：
（1）$\begin{cases}x + 2y = 9,\\y - 3x = 1.\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{2x + 1}{5} - 1 = \frac{y - 1}{3},\\2(y - x) - 3(1 - y) = 6.\end{cases}$

7. 【解】(1)$\begin{cases}x + 2y = 9,①\\y - 3x = 1,②\end{cases}$由②得$y = 3x + 1$，③将③代入①得$x + 2(3x + 1) = 9$，解得$x = 1$. 将$x = 1$代入③得$y = 3×1 + 1 = 4$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 4.\end{cases}$
(2)把方程组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{5}-1=\frac{y - 1}{3},\\2(y - x)-3(1 - y)=6\end{cases}$整理为$\begin{cases}6x - 5y = 7,①\\5y - 2x = 9,②\end{cases}$
① + ②得$4x = 16$，解得$x = 4$.
把$x = 4$代入①得$24 - 5y = 7$，
解得$y=\frac{17}{5}$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y=\frac{17}{5}.\end{cases}$

8 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + 2y = 5,\\x - 2y + mx + 9 = 0.\end{cases}$
（1）请写出方程 $x + 2y = 5$ 的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足 $x + y = 0$，求 $m$ 的值.
（3）当 $m ≠ -1$ 时，方程 $x - 2y + mx + 9 = 0$ 总有一个固定的解，你能求出这个方程的固定的解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数 $m$ 的值.

8. 【解】(1)由$x + 2y = 5$，得$x = -2y + 5$.
当$y = 1$时，$x = 3$；
当$y = 2$时，$x = 1$，
所以方程的正整数解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1,\\y = 2.\end{cases}$
(2)联立得$\begin{cases}x + 2y = 5,\\x + y = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -5,\\y = 5.\end{cases}$
将其代入$x - 2y + mx + 9 = 0$，得$-5 - 10 - 5m + 9 = 0$，解得$m = -\frac{6}{5}$.
(3)由$x - 2y + mx + 9 = 0$总有一个固定的解，即$mx+(x - 2y + 9)=0$总有一个固定的解，得方程的解与$m$无关，则$x = 0$，$x - 2y + 9 = 0$，解得$y=\frac{9}{2}$.
所以方程的固定的解为$\begin{cases}x = 0,\\y=\frac{9}{2}.\end{cases}$
(4)$\begin{cases}x + 2y = 5,①\\x - 2y + mx + 9 = 0.②\end{cases}$
① + ②得$(m + 2)x = -4$，解得$x = -\frac{4}{m + 2}$.
把$x = -\frac{4}{m + 2}$代入①得$y=\frac{5m + 14}{2m + 4}$.
因为$x$为整数，所以整数$m$可以取$0$，$-1$，$-3$，$-4$，$2$，$-6$.
当$m = -1$时，$y=\frac{9}{2}$，不符合题意；
当$m = -3$时，$y=\frac{1}{2}$，不符合题意；
当$m = 2$时，$y = 3$，符合题意；
当$m = -6$时，$y = 2$，符合题意；
当$m = 0$时，$y=\frac{7}{2}$，不符合题意；
当$m = -4$时，$y=\frac{3}{2}$，不符合题意.
综上，整数$m$的值为$-6$或$2$.