9. (2026·葫芦岛期末) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $∠ B A C=90°, B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线, $B D=$ $C D, A E ⊥ B D$ 于点 $E$, 若 $D E=2$, 则 $B E$ 的长为
（）

A.4
B.6
C.8
D.10

9. B 解析: $\because BD=CD, \therefore ∠ DBC=∠ C. \because BD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ DBC=∠ ABD, \therefore ∠ ABD=∠ DBC=∠ C. \because ∠ BAC=$ $90°, \therefore ∠ ABD=30°, ∠ ADE=60°. \because AE⊥ BD, \therefore ∠ DAE=$ $30°, \therefore AD=2DE=4. \therefore BD=2AD=4DE=8, \therefore BE=8-2=6.$ 故选 B.

10. 如图, $△ A B C$ 是等边三角形, $A B=10, D$ 是 $B C$ 边上任意一点, $D E ⊥ A B$ 于点 $E, D F ⊥ A C$ 于点 $F$, 则 $B E+C F$ 的长是（）

A.5
B.6
C.8
D.10

10. A 解析: 设 $BD=x,$ 则 $CD=10-x, \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B=∠ C=60°. \because DE⊥ AB, DF⊥ AC, \therefore ∠ DEB=$ $∠ DFC=90°, \therefore ∠ EDB=∠ FDC=30°, \therefore BE=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{x}{2},$ 同理可得, $CF=\dfrac{10-x}{2}, \therefore BE+CF=\dfrac{x}{2}+\dfrac{10-x}{2}=5.$ 故选 A.

11. 如图，$∠ AOB=60°$，$OA=OB$，动点$C$从点$O$出发，沿射线$OB$方向移动，以$AC$为边在右侧作等边$△ ACD$，连接$BD$，则$BD$所在直线与$OA$所在直线的位置关系是（）

A.平行
B.相交
C.垂直
D.平行、相交或垂直

11. A 解析: $\because ∠ AOB=60°, OA=OB, \therefore △ OAB$ 是等边三角形, $\therefore OA=AB, ∠ OAB=∠ ABO=60°.$
①当点 $C$ 在线段 $OB$ 上时, 如图①, $\because △ ACD$ 是等边三角形, $\therefore AC=AD, ∠ CAD=60°, \therefore ∠ OAC=∠ BAD.$ 在 $△ AOC$ 和 $△ ABD$ 中, $\begin{cases} AO=AB, \\ ∠ OAC=∠ BAD, \\ AC=AD, \end{cases} \therefore △ AOC≌△ ABD. \therefore ∠ ABD=$ $∠ AOC=60°, \therefore ∠ DBE=180°-∠ ABO-∠ ABD=60°=$ $∠ AOB, \therefore BD// OA.$
②当点 $C$ 在 $OB$ 的延长线上时, 如图②, $\because △ ACD$ 是等边三角形, $\therefore AC=AD, ∠ CAD=60°, \therefore ∠ OAC=∠ BAD.$ 在 $△ AOC$ 和 $△ ABD$ 中, $\begin{cases} AO=AB, \\ ∠ OAC=∠ BAD, \\ AC=AD, \end{cases} \therefore △ AOC≌△ ABD,$ $\therefore ∠ ABD=∠ AOC=60°, \therefore ∠ DBE=180°-∠ ABO-∠ ABD=$ $60°=∠ AOB, \therefore BD// OA.$ 故选 A.

12. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=120°, AD$ 平分$∠ BAC, DE // AB, AD=3, CE=5$, 则 $AC$ 的长为.

12. 8 解析: $\because ∠ BAC=120°, AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ BAD=$ $∠ CAD=\dfrac{1}{2}∠ BAC=60°. \because DE// AB, \therefore ∠ BAD=∠ ADE=$ $60°, ∠ DEC=∠ BAC=120°, \therefore ∠ AED=60°, \therefore ∠ ADE=$ $∠ AED, \therefore △ ADE$ 是等边三角形, $\therefore AE=AD=3, \therefore AC=$ $AE+CE=3+5=8.$

13. (2025·东营中考) 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$6$,$∠ BAC=30^{ \circ }$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,$M$,$N$分别是$AD$和$AB$上的动点,则$BM+$$MN$的最小值是.

13. 3 解析: 如图, 作 $BH⊥ AC$ 于点 $H, \because AD$ 平分 $∠ BAC,$ 作点 $N$ 关于 $AD$ 的对称点 $K, \therefore BM+MN=BM+MK≥ BH.$ $\because AB=6, ∠ BAC=30°, \therefore BH=\dfrac{1}{2}AB=6×\dfrac{1}{2}=3, \therefore BM+$ $MN≥3, \therefore BM+MN$ 的最小值是 3.

14. 改编题 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$BC=DC$,$∠ A=60°$,点$E$为$AD$边上一点,连接$BD$,$CE$,$CE$与$BD$交于点$F$,且$CE// AB$,若$AB=8$,$CE=6$,则$CF$的长为.

14. 4 解析: 连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O. \because AB=AD, BC=DC,$ $∠ BAD=60°, \therefore AC$ 垂直平分 $BD, △ ABD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAO=∠ DAO=30°, AB=AD=BD=8, BO=OD=4.$ $\because CE// AB, \therefore ∠ BAO=∠ ACE=30°, ∠ CED=∠ BAD=$ $60°, \therefore ∠ DAO=∠ ACE=30°, \therefore AE=CE=6, \therefore DE=AD-$ $AE=2. \because ∠ CED=∠ ADB=60°, \therefore △ EDF$ 是等边三角形, $\therefore DE=EF=DF=2, \therefore CF=CE-EF=4.$

15. (2025·枣庄校级月考)如图,在等边三角形$ABC$中,$M$为$AB$边上任意一点,延长$BC$至点$N$,使$CN=AM$,连接$MN$交$AC$于点$P$,$MH ⊥ AC$于点$H$.
(1)求证:$MP=NP$;
(2)若$AB=a$,求线段$PH$的长.(结果用含$a$的代数式表示)

15. (1) 如图, 过点 $M$ 作 $MQ// BC,$ 交 $AC$ 于点 $Q,$ 在等边 $△ ABC$ 中, $∠ A=$ $∠ B=∠ ACB=60°. \because MQ// BC,$ $\therefore ∠ AMQ=∠ B=60°, ∠ AQM=$ $∠ ACB=60°, ∠ QMP=∠ N, \therefore △ AMQ$ 是等边三角形, $\therefore AM=QM. \because AM=CN, \therefore QM=CN.$ 在 $△ QMP$ 和 $△ CNP$ 中, $\begin{cases} ∠ QPM=∠ CPN, \\ ∠ QMP=∠ N, \\ QM=CN, \end{cases} \therefore △ QMP≌△ CNP(\mathrm{AAS}), \therefore MP=NP.$

(2) $\because △ AMQ$ 是等边三角形, 且 $MH⊥ AC, \therefore AH=HQ.$ $\because △ QMP≌△ CNP, \therefore QP=CP, \therefore PH=HQ+QP=$ $\dfrac{1}{2}AC. \because AB=a, AB=AC, \therefore PH=\dfrac{1}{2}a.$