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9. 现有一列式子:①$55^{2}-45^{2}$,②$555^{2}-445^{2}$,③$5555^{2}-4445^{2}$,…,则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为 (
A.$1.1111111×10^{16}$
B.$1.1111111×10^{27}$
C.$1.111111×10^{56}$
D.$1.1111111×10^{17}$
D
)A.$1.1111111×10^{16}$
B.$1.1111111×10^{27}$
C.$1.111111×10^{56}$
D.$1.1111111×10^{17}$
答案
9.D 【解析】由题意,得第⑧个式子为$555\ 555\ 555^2 - 444\ 444\ 445^2 = (555\ 555\ 555 + 444\ 444\ 445)×(555\ 555\ 555 - 444\ 444\ 445) = 1.111\ 111\ 1×10^{17}$。
解析
【分析】首先观察给出的式子，总结第n个式子的规律：第n个式子为“由n个5组成的数的平方”减去“由n个4组成的数加5的平方”；接着利用平方差公式对第⑧个式子因式分解，简化大数运算；最后将结果转化为科学记数法，匹配选项。
【解析】解：观察式子规律：第①个式子对应n=1，为1个5组成的数（55）的平方减（1个4组成的数+5）（45）的平方；第②个式子对应n=2，为2个5组成的数（555）的平方减（2个4组成的数+5）（445）的平方；……因此第⑧个式子为：8个5组成的数（555555555）的平方减（8个4组成的数+5）（444444445）的平方。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=(555555555 + 444444445)×(555555555 - 444444445)$
计算括号内的值：
$555555555 + 444444445 = 1000000000$，$555555555 - 444444445 = 111111110$
则原式$=1000000000×111111110 = 1.1111111×10^{17}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】平方差公式、科学记数法、找规律
【点评】本题结合找规律、平方差公式与科学记数法，核心是先通过数字特征总结式子规律，再用公式简化大数运算，避免直接计算大数平方，降低运算难度，是一道中等难度的代数规律题。
【难度系数】0.5
【解析】解：观察式子规律：第①个式子对应n=1，为1个5组成的数（55）的平方减（1个4组成的数+5）（45）的平方；第②个式子对应n=2，为2个5组成的数（555）的平方减（2个4组成的数+5）（445）的平方；……因此第⑧个式子为：8个5组成的数（555555555）的平方减（8个4组成的数+5）（444444445）的平方。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=(555555555 + 444444445)×(555555555 - 444444445)$
计算括号内的值：
$555555555 + 444444445 = 1000000000$，$555555555 - 444444445 = 111111110$
则原式$=1000000000×111111110 = 1.1111111×10^{17}$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】平方差公式、科学记数法、找规律
【点评】本题结合找规律、平方差公式与科学记数法，核心是先通过数字特征总结式子规律，再用公式简化大数运算，避免直接计算大数平方，降低运算难度，是一道中等难度的代数规律题。
【难度系数】0.5
10. (2025·湖州市期末)创新探究一次数学探究活动中,老师给出了两个二次多项式$2x^2 + px + c, -x^2 + qx + c$(其中$p,q,c$均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息,如下表所示:
| 二次多项式 | 对二次多项式进行因式分解 |
| ---- | ---- |
| $2x^2 + px + c$ |
$(x + a)(x + b)$ |
| $-x^2 + qx + c$ | $(x + a)(-x + 2b)$ |
(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c = 2b$时,则$p - q = 3$;②当$\frac{p}{q} = 3$时,则$5a = 4b$;③当$a^2 + b^2 = 2$时,则$p^2 = 8 + 4c$;④当$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$时,则$p^2 = 8 + 4c$。以上结论中正确的序号是 (
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
| 二次多项式 | 对二次多项式进行因式分解 |
| ---- | ---- |
| $2x^2 + px + c$ |
$(x + a)(x + b)$ || $-x^2 + qx + c$ | $(x + a)(-x + 2b)$ |
(说明:$a,b$均为不等于零的常数)
有学生探究得到以下四个结论:①当$c = 2b$时,则$p - q = 3$;②当$\frac{p}{q} = 3$时,则$5a = 4b$;③当$a^2 + b^2 = 2$时,则$p^2 = 8 + 4c$;④当$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$时,则$p^2 = 8 + 4c$。以上结论中正确的序号是 (
A
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
10.A 【解析】因为$2x^2 + px + c = 2(x + a)(x + b) = 2x^2 + 2(a + b)x + 2ab$,所以$p = 2a + 2b$,$c = 2ab$。因为$-x^2 + qx + c = (x + a)(-x + 2b) = -x^2 + (2b - a)x + 2ab$,所以$q = 2b - a$,$c = 2ab$。①当$c = 2b$时,代入$c = 2ab$得$a = 1$,此时$p = 2 + 2b$,$q = 2b - 1$,则$p - q = 3$,故①正确;②当$\frac{p}{q} = 3$时,由$p = 2a + 2b$和$q = 2b - a$,解得$5a = 4b$,故②正确;③当$a^2 + b^2 = 2$时,$p^2 = (2a + 2b)^2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2$,得$p^2 = 8 + 4c$,故③正确;④当$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$时,则$a = \frac{b}{2}$,所以$p = 3b$,$c = b^2$,得$p^2 = 9b^2 = 9c$,故④错误。
解析
【分析】
要解决本题，需先将两个二次多项式的因式分解结果展开，根据“多项式相等则对应项系数相等”的性质，推导出$p、q、c$与$a、b$的关系，再代入四个结论的条件逐一验证，判断结论是否正确。
【解析】
1. 展开因式分解式，推导参数关系：
对$2x^2 + px + c = 2(x+a)(x+b)$，展开右边得：$2(x^2 + (a+b)x + ab)=2x^2 + 2(a+b)x + 2ab$，根据对应系数相等，得$p=2(a+b)$，$c=2ab$；
对$-x^2 + qx + c=(x+a)(-x+2b)$，展开右边得：$-x^2 + (2b - a)x + 2ab$，根据对应系数相等，得$q=2b - a$，$c=2ab$。
2. 逐一验证结论：
①当$c=2b$时，代入$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，故$a=1$。此时$p=2(1+b)=2+2b$，$q=2b -1$，则$p - q=(2+2b)-(2b -1)=3$，①正确；
②当$\frac{p}{q}=3$时，代入$p=2(a+b)$、$q=2b -a$得$\frac{2(a+b)}{2b -a}=3$，交叉相乘化简得$5a=4b$，②正确；
③当$a^2 + b^2=2$时，$p^2=[2(a+b)]^2=4(a^2 + 2ab + b^2)=4[(a^2 + b^2)+2ab]$，结合$c=2ab$，得$p^2=4(2 + c)=8 +4c$，③正确；
④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时，$a=\frac{b}{2}$，则$p=2(\frac{b}{2}+b)=3b$，$c=2ab=b^2$，故$p^2=9b^2=9c≠8+4c$，④错误。
综上，正确结论为①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、多项式系数对应关系
【点评】
本题通过因式分解建立参数间的关系，考查多项式相等性质的应用，需学生具备代数变形与逻辑推理能力，是中等难度的探究题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先将两个二次多项式的因式分解结果展开，根据“多项式相等则对应项系数相等”的性质，推导出$p、q、c$与$a、b$的关系，再代入四个结论的条件逐一验证，判断结论是否正确。
【解析】
1. 展开因式分解式，推导参数关系：
对$2x^2 + px + c = 2(x+a)(x+b)$，展开右边得：$2(x^2 + (a+b)x + ab)=2x^2 + 2(a+b)x + 2ab$，根据对应系数相等，得$p=2(a+b)$，$c=2ab$；
对$-x^2 + qx + c=(x+a)(-x+2b)$，展开右边得：$-x^2 + (2b - a)x + 2ab$，根据对应系数相等，得$q=2b - a$，$c=2ab$。
2. 逐一验证结论：
①当$c=2b$时，代入$c=2ab$得$2ab=2b$，因$b≠0$，故$a=1$。此时$p=2(1+b)=2+2b$，$q=2b -1$，则$p - q=(2+2b)-(2b -1)=3$，①正确；
②当$\frac{p}{q}=3$时，代入$p=2(a+b)$、$q=2b -a$得$\frac{2(a+b)}{2b -a}=3$，交叉相乘化简得$5a=4b$，②正确；
③当$a^2 + b^2=2$时，$p^2=[2(a+b)]^2=4(a^2 + 2ab + b^2)=4[(a^2 + b^2)+2ab]$，结合$c=2ab$，得$p^2=4(2 + c)=8 +4c$，③正确；
④当$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$时，$a=\frac{b}{2}$，则$p=2(\frac{b}{2}+b)=3b$，$c=2ab=b^2$，故$p^2=9b^2=9c≠8+4c$，④错误。
综上，正确结论为①②③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、多项式系数对应关系
【点评】
本题通过因式分解建立参数间的关系，考查多项式相等性质的应用，需学生具备代数变形与逻辑推理能力，是中等难度的探究题。
【难度系数】
0.5
11. (2025·温州市龙湾区期末)因式分解：$a^2b - 5ab^2 =$ $\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
11.$ab(a - 5b)$
解析
【分析】
本题考查因式分解，需运用提公因式法解题。首先观察多项式的两项$a^2b$和$-5ab^2$，确定公因式：系数的最大公约数为1，相同字母$a$的最低次幂是1次，相同字母$b$的最低次幂是1次，因此公因式为$ab$；再将公因式提取出来，剩余部分分别为$a$和$-5b$，即可完成因式分解。
【解析】
解：对$a^2b - 5ab^2$提取公因式$ab$，
得：$a^2b - 5ab^2 = ab · a - ab · 5b = ab(a - 5b)$。
【答案】
$ab(a - 5b)$
【知识点】
因式分解-提公因式法
【点评】
本题是基础的因式分解题，核心考查提公因式法的运用，关键在于准确找出多项式各项的公因式，属于巩固因式分解基础的典型题型。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解，需运用提公因式法解题。首先观察多项式的两项$a^2b$和$-5ab^2$，确定公因式：系数的最大公约数为1，相同字母$a$的最低次幂是1次，相同字母$b$的最低次幂是1次，因此公因式为$ab$；再将公因式提取出来，剩余部分分别为$a$和$-5b$，即可完成因式分解。
【解析】
解：对$a^2b - 5ab^2$提取公因式$ab$，
得：$a^2b - 5ab^2 = ab · a - ab · 5b = ab(a - 5b)$。
【答案】
$ab(a - 5b)$
【知识点】
因式分解-提公因式法
【点评】
本题是基础的因式分解题，核心考查提公因式法的运用，关键在于准确找出多项式各项的公因式，属于巩固因式分解基础的典型题型。
【难度系数】
0.9
12.若$x+y=3,xy=2$,则$x^2y+xy^2$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
12.6
解析
【分析】首先观察所求代数式$x^2y + xy^2$，可通过提取公因式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】对$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=3$，$xy=2$，代入上式得：
原式$=2×3=6$
【答案】6
【知识点】因式分解（提公因式）、代数式求值
【点评】本题考查整式的因式分解与代数式求值，通过提公因式简化所求式子，再代入已知条件计算，是基础的代数运算题，注重对基本运算方法的应用。
【难度系数】0.8
【解析】对$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=3$，$xy=2$，代入上式得：
原式$=2×3=6$
【答案】6
【知识点】因式分解（提公因式）、代数式求值
【点评】本题考查整式的因式分解与代数式求值，通过提公因式简化所求式子，再代入已知条件计算，是基础的代数运算题，注重对基本运算方法的应用。
【难度系数】0.8
13. 已知多项式$2x^2 + bx + c$分解因式的结果为$2(x - 3)(x + 1)$，则$b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$。
答案
13.$-4$ $-6$
解析
【分析】本题利用因式分解与整式乘法的互逆关系解题，分解因式的结果与原多项式是恒等变形，将分解后的式子展开，与原多项式对应项的系数相等，即可求出b和c的值。
【解析】先展开分解因式的结果：
$\begin{aligned}2(x - 3)(x + 1)&=2(x^2 + x - 3x - 3)\\&=2(x^2 - 2x - 3)\\&=2x^2 - 4x - 6\end{aligned}$
因为原多项式为$2x^2 + bx + c$，根据对应项系数相等，可得$b=-4$，$c=-6$。
【答案】-4；-6
【知识点】因式分解、多项式乘法
【点评】本题考查因式分解与整式乘法的互逆性，属于基础题型，通过展开分解后的式子对比系数即可求解，能帮助学生巩固因式分解与整式乘法的关系。
【难度系数】0.7
【解析】先展开分解因式的结果：
$\begin{aligned}2(x - 3)(x + 1)&=2(x^2 + x - 3x - 3)\\&=2(x^2 - 2x - 3)\\&=2x^2 - 4x - 6\end{aligned}$
因为原多项式为$2x^2 + bx + c$，根据对应项系数相等，可得$b=-4$，$c=-6$。
【答案】-4；-6
【知识点】因式分解、多项式乘法
【点评】本题考查因式分解与整式乘法的互逆性，属于基础题型，通过展开分解后的式子对比系数即可求解，能帮助学生巩固因式分解与整式乘法的关系。
【难度系数】0.7
14.(2025·金华市兰溪市期末)在对多项式$a^2 - 4ab + 4b^2 - 1$进行因式分解时,我们可以把它先分组再分解:原式$=(a^2 - 4ab + 4b^2) - 1=(a - 2b)^2 - 1=(a - 2b + 1)(a - 2b - 1)$,这种方法叫作分组分解法。请你用以上方法,写出多项式$4x^2 + 4x - y^2 + 1$因式分解的结果为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
14.$(2x + y + 1)(2x - y + 1)$
解析
【分析】
要对多项式$4x^2 + 4x - y^2 + 1$因式分解，需参考题目给出的分组分解法思路：先观察多项式的项，发现前三项$4x^2 + 4x + 1$符合完全平方公式的结构，因此先将这三项分组凑成完全平方，再与剩余的$-y^2$组成平方差公式，最后用平方差公式继续分解即可。
【解析】
解：原式$=(4x^2 + 4x + 1) - y^2$
$=(2x + 1)^2 - y^2$
$=(2x + 1 + y)(2x + 1 - y)$
$=(2x + y + 1)(2x - y + 1)$
【答案】
$(2x + y + 1)(2x - y + 1)$
【知识点】
因式分解-分组分解法；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查分组分解法结合公式法因式分解，核心是合理分组凑出公式结构，属于基础题型，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的特征。
【难度系数】
0.6
要对多项式$4x^2 + 4x - y^2 + 1$因式分解，需参考题目给出的分组分解法思路：先观察多项式的项，发现前三项$4x^2 + 4x + 1$符合完全平方公式的结构，因此先将这三项分组凑成完全平方，再与剩余的$-y^2$组成平方差公式，最后用平方差公式继续分解即可。
【解析】
解：原式$=(4x^2 + 4x + 1) - y^2$
$=(2x + 1)^2 - y^2$
$=(2x + 1 + y)(2x + 1 - y)$
$=(2x + y + 1)(2x - y + 1)$
【答案】
$(2x + y + 1)(2x - y + 1)$
【知识点】
因式分解-分组分解法；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查分组分解法结合公式法因式分解，核心是合理分组凑出公式结构，属于基础题型，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的特征。
【难度系数】
0.6
15. (2025·杭州市滨江区期末)已知$\begin{cases}am^2 + bm + c = n, \\ an^2 + bn + c = m,\end{cases}$其中$m,n$为互不相等的实数,且满足$m + n = 3$,则$b=$ ______ (结果用只含$a$的代数式表示)。
答案
15.$-3a - 1$ 【解析】$\begin{cases}am^2 + bm + c = n,① \\ an^2 + bn + c = m,②\end{cases}$ 由①$-$②,得$a(m^2 - n^2) + b(m - n) = -(m - n)$,即$a(m - n)(m + n) + b(m - n) = -(m - n)$,所以$(m - n)[a(m + n) + b + 1] = 0$。因为$m,n$为互不相等的实数,$m + n = 3$,所以$3a + b + 1 = 0$,解得$b = -3a - 1$。
解析
【分析】
本题给出两个含参数的方程，结合m、n互不相等且m+n=3的条件，解题关键是通过两式相减消去常数项c，对所得式子因式分解，利用m≠n的特点约去非零因子，再代入已知的m+n=3，即可求出用a表示的b。
【解析】
已知$\begin{cases}am^2 + bm + c = n,① \\ an^2 + bn + c = m,②\end{cases}$
用①减去②，得：
$a(m^2 - n^2) + b(m - n) = -(m - n)$
对左边因式分解，利用平方差公式：
$a(m - n)(m + n) + b(m - n) = -(m - n)$
提取公因式$(m - n)$，整理得：
$(m - n)[a(m + n) + b + 1] = 0$
因为m、n为互不相等的实数，所以$m - n ≠ 0$，因此括号内的式子等于0，即：
$a(m + n) + b + 1 = 0$
又已知$m + n = 3$，代入上式得：
$3a + b + 1 = 0$
解得：$b = -3a - 1$
【答案】
$-3a -1$
【知识点】
二元方程组变形、因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过两式相减消去常数项，结合因式分解简化计算，利用m≠n的条件约去非零因子，代入已知条件快速求解，是代数变形的典型应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题给出两个含参数的方程，结合m、n互不相等且m+n=3的条件，解题关键是通过两式相减消去常数项c，对所得式子因式分解，利用m≠n的特点约去非零因子，再代入已知的m+n=3，即可求出用a表示的b。
【解析】
已知$\begin{cases}am^2 + bm + c = n,① \\ an^2 + bn + c = m,②\end{cases}$
用①减去②，得：
$a(m^2 - n^2) + b(m - n) = -(m - n)$
对左边因式分解，利用平方差公式：
$a(m - n)(m + n) + b(m - n) = -(m - n)$
提取公因式$(m - n)$，整理得：
$(m - n)[a(m + n) + b + 1] = 0$
因为m、n为互不相等的实数，所以$m - n ≠ 0$，因此括号内的式子等于0，即：
$a(m + n) + b + 1 = 0$
又已知$m + n = 3$，代入上式得：
$3a + b + 1 = 0$
解得：$b = -3a - 1$
【答案】
$-3a -1$
【知识点】
二元方程组变形、因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过两式相减消去常数项，结合因式分解简化计算，利用m≠n的条件约去非零因子，代入已知条件快速求解，是代数变形的典型应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
16. (2025·杭州市八县区期末)生活中我们经常用到密码,如手机解锁、密码支付等。为方便记忆,有一种用“因式分解”法产生的密码,其原理是:将一个多项式分解成多个因式,如:将多项式$x^3 - 9x$因式分解的结果为$x(x + 3)(x - 3)$。当$x = 20$时,$x + 3 = 23$,$x - 3 = 17$,此时可得到数字密码202317。将多项式$x^3 + mx^2 + nx$因式分解后,利用题目中所示的方法,当$x = 12$时,可得到密码121415,则$mn=$
30
。答案
16.30 【解析】由题意,得$x^3 + mx^2 + nx = x(x^2 + mx + n)$。因为当$x = 12$时,可得到密码121415,所以因式分解的结果应为$x(x + 2)(x + 3)$。因为$x(x + 2)(x + 3) = x(x^2 + 5x + 6)$,所以$m = 5$,$n = 6$,所以$mn = 30$。
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确密码与因式分解的对应关系：多项式因式分解后，各因式在给定x值下的数值按顺序组合成密码。已知x=12时密码为121415，说明分解后的三个因式对应数值12、14、15，其中一个因式是x=12，另外两个因式需满足当x=12时分别为14和15，由此确定多项式的分解式，再通过多项式展开对比系数求出m、n，最终计算mn的值。
【解析】
1. 对多项式$x^3 + mx^2 + nx$提取公因式$x$，得：$x^3 + mx^2 + nx = x(x^2 + mx + n)$。
2. 根据密码规则，当$x=12$时，密码为121415，说明三个因式对应的数值为12、14、15，因此另外两个因式为$(x + a)$和$(x + b)$，代入$x=12$：
$12 + a = 14$，解得$a=2$；
$12 + b = 15$，解得$b=3$。
3. 因此多项式因式分解结果为：$x(x + 2)(x + 3)$。
4. 展开该式：
$x(x + 2)(x + 3) = x[(x + 2)(x + 3)] = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$。
5. 将展开式与原式$x^3 + mx^2 + nx$对比，对应系数相等，得：$m=5$，$n=6$。
6. 计算$mn$：$mn = 5×6 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
因式分解、多项式系数
【点评】
本题结合生活中的密码应用，考查因式分解的实际运用，核心是理解密码与因式的对应关系，通过多项式展开对比系数求解参数，属于基础应用题，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确密码与因式分解的对应关系：多项式因式分解后，各因式在给定x值下的数值按顺序组合成密码。已知x=12时密码为121415，说明分解后的三个因式对应数值12、14、15，其中一个因式是x=12，另外两个因式需满足当x=12时分别为14和15，由此确定多项式的分解式，再通过多项式展开对比系数求出m、n，最终计算mn的值。
【解析】
1. 对多项式$x^3 + mx^2 + nx$提取公因式$x$，得：$x^3 + mx^2 + nx = x(x^2 + mx + n)$。
2. 根据密码规则，当$x=12$时，密码为121415，说明三个因式对应的数值为12、14、15，因此另外两个因式为$(x + a)$和$(x + b)$，代入$x=12$：
$12 + a = 14$，解得$a=2$；
$12 + b = 15$，解得$b=3$。
3. 因此多项式因式分解结果为：$x(x + 2)(x + 3)$。
4. 展开该式：
$x(x + 2)(x + 3) = x[(x + 2)(x + 3)] = x(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x$。
5. 将展开式与原式$x^3 + mx^2 + nx$对比，对应系数相等，得：$m=5$，$n=6$。
6. 计算$mn$：$mn = 5×6 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
因式分解、多项式系数
【点评】
本题结合生活中的密码应用，考查因式分解的实际运用，核心是理解密码与因式的对应关系，通过多项式展开对比系数求解参数，属于基础应用题，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
