登录
8.用代入法解方程组$\begin{cases}3x +4y=2①, \\x -2y=-5②,\end{cases}$代入后比较容易化简的变形是 （ ）
A.由①得$x=\frac{2-4y}{3}$
B.由①得$y=\frac{2-3x}{4}$
C.由②得$y=\frac{x+5}{2}$
D.由②得$x=2y-5$
A.由①得$x=\frac{2-4y}{3}$
B.由①得$y=\frac{2-3x}{4}$
C.由②得$y=\frac{x+5}{2}$
D.由②得$x=2y-5$
答案
8. D
解析
【分析】
要判断哪种代入变形更容易化简，首先明确代入法的变形技巧：优先选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，代入后计算无需通分，化简更简便。观察方程组，方程②中x的系数为1，是最简单的变形对象，对其变形时若直接用y表示x，不会出现分数，代入后的计算量最小。
【解析】
代入法解方程组时，优先对含系数为±1的未知数的方程变形，可避免出现分数，降低计算难度。
观察方程组：
方程①中x的系数为3，y的系数为4，变形为用一个未知数表示另一个未知数时，都会出现分母，代入后需要通分化简，比较麻烦，因此A、B选项不符合要求；
方程②中x的系数为1，若变形为用y表示x，移项可得$x=2y-5$，无分母，代入①后直接展开即可计算，非常简便；若变形为用x表示y，需要两边除以2，得到$y=\frac{x+5}{2}$，存在分母，代入后计算更繁琐，因此C选项不如D选项简便。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、等式的基本性质
【点评】
本题考查代入法解二元一次方程组的变形技巧，解题时优先选择系数为±1的未知数进行变形，可有效减少计算量，提升解题速度与正确率。
【难度系数】
0.85
要判断哪种代入变形更容易化简，首先明确代入法的变形技巧：优先选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，代入后计算无需通分，化简更简便。观察方程组，方程②中x的系数为1，是最简单的变形对象，对其变形时若直接用y表示x，不会出现分数，代入后的计算量最小。
【解析】
代入法解方程组时，优先对含系数为±1的未知数的方程变形，可避免出现分数，降低计算难度。
观察方程组：
方程①中x的系数为3，y的系数为4，变形为用一个未知数表示另一个未知数时，都会出现分母，代入后需要通分化简，比较麻烦，因此A、B选项不符合要求；
方程②中x的系数为1，若变形为用y表示x，移项可得$x=2y-5$，无分母，代入①后直接展开即可计算，非常简便；若变形为用x表示y，需要两边除以2，得到$y=\frac{x+5}{2}$，存在分母，代入后计算更繁琐，因此C选项不如D选项简便。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、等式的基本性质
【点评】
本题考查代入法解二元一次方程组的变形技巧，解题时优先选择系数为±1的未知数进行变形，可有效减少计算量，提升解题速度与正确率。
【难度系数】
0.85
9.用代入法解方程组$\begin{cases}2x -5y=7①, \\3x +2y=3②\end{cases}$时，可转化为一元一次方程的问题，若消去y，则含x的一元一次方程为（ ）
A.$x=1$
B.$19x=29$
C.$19x=39$
D.$11x=29$
A.$x=1$
B.$19x=29$
C.$19x=39$
D.$11x=29$
答案
9. B
解析
【分析】
本题要求用代入法消去y得到含x的一元一次方程，解题思路如下：首先需要从其中一个方程中变形得到用含x的代数式表示y的形式，再将这个式子代入另一个方程，即可消去y，最后按照整式运算的规则整理方程，就能得到对应的一元一次方程。
【解析】
第一步，对①式进行变形，用含x的代数式表示y：
由①$2x -5y=7$移项得：$-5y=7-2x$，两边同时除以-5得：$y=\frac{2x-7}{5}$③；
第二步，将③代入②式消去y：
把$y=\frac{2x-7}{5}$代入②$3x +2y=3$，可得：$3x + 2×\frac{2x-7}{5}=3$；
第三步，整理方程得到只含x的一元一次方程：
两边同时乘5去分母得：$15x + 2(2x-7)=15$，
去括号得：$15x +4x -14=15$，
移项、合并同类项得：$19x=29$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组解法，等式的性质
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本操作，核心是正确完成“用一个未知数表示另一个未知数”和“代入消元”两个步骤，计算时要注意去分母、去括号时的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题要求用代入法消去y得到含x的一元一次方程，解题思路如下：首先需要从其中一个方程中变形得到用含x的代数式表示y的形式，再将这个式子代入另一个方程，即可消去y，最后按照整式运算的规则整理方程，就能得到对应的一元一次方程。
【解析】
第一步，对①式进行变形，用含x的代数式表示y：
由①$2x -5y=7$移项得：$-5y=7-2x$，两边同时除以-5得：$y=\frac{2x-7}{5}$③；
第二步，将③代入②式消去y：
把$y=\frac{2x-7}{5}$代入②$3x +2y=3$，可得：$3x + 2×\frac{2x-7}{5}=3$；
第三步，整理方程得到只含x的一元一次方程：
两边同时乘5去分母得：$15x + 2(2x-7)=15$，
去括号得：$15x +4x -14=15$，
移项、合并同类项得：$19x=29$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组解法，等式的性质
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本操作，核心是正确完成“用一个未知数表示另一个未知数”和“代入消元”两个步骤，计算时要注意去分母、去括号时的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
10. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x + y = 3①, \\ 2x - y = 6②; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 3①, \\ x + 2y = -2②. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x + y = 3①, \\ 2x - y = 6②; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 3①, \\ x + 2y = -2②. \end{cases}$
答案
10. (1) ①+②,得3x=9,解得x=3.把x=3代入①,得y=0,所以,原方程组的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 0. \end{cases}$
(2) ②×2 -①,得7y = -7,解得y = -1.把y = -1代入②,得x + 2×(-1) = -2,解得x = 0,所以,原方程组的解为$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$
(2) ②×2 -①,得7y = -7,解得y = -1.把y = -1代入②,得x + 2×(-1) = -2,解得x = 0,所以,原方程组的解为$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。(1)观察两个方程中y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求y即可；(2)观察两个方程中x的系数分别为2和1，成整数倍关系，可将方程②乘2后减去方程①消去x，先求出y的值，再代入任意一个方程求x即可。
【解析】
(1) ①+②，得：$(x+y)+(2x-y)=3+6$
化简得$3x=9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$3+y=3$，解得$y=0$。
(2) 先将②×2，得$2x+4y=-4$ ③，
③-①，得：$(2x+4y)-(2x-3y)=-4-3$
化简得$7y=-7$，解得$y=-1$。
把$y=-1$代入②，得$x+2×(-1)=-2$，解得$x=0$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 0; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，解题关键是观察未知数的系数特征，选择简便的消元方式降低计算出错概率，属于方程组模块的基础题型，需熟练掌握消元方法。
【难度系数】
0.85
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。(1)观察两个方程中y的系数分别为1和-1，互为相反数，可直接将两个方程相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求y即可；(2)观察两个方程中x的系数分别为2和1，成整数倍关系，可将方程②乘2后减去方程①消去x，先求出y的值，再代入任意一个方程求x即可。
【解析】
(1) ①+②，得：$(x+y)+(2x-y)=3+6$
化简得$3x=9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①，得$3+y=3$，解得$y=0$。
(2) 先将②×2，得$2x+4y=-4$ ③，
③-①，得：$(2x+4y)-(2x-3y)=-4-3$
化简得$7y=-7$，解得$y=-1$。
把$y=-1$代入②，得$x+2×(-1)=-2$，解得$x=0$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 0; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 0, \\ y = -1. \end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，解题关键是观察未知数的系数特征，选择简便的消元方式降低计算出错概率，属于方程组模块的基础题型，需熟练掌握消元方法。
【难度系数】
0.85
11.学校举行书法和美术比赛,其中书法组人数的2倍比美术组的人数多5,书法组人数的3倍比美术组人数的2倍少10.设书法组的人数为$x$,美术组的人数为$y$,可列方程组为 (
A.$\begin{cases}2x +5 = y, \\3x +10 =2y\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +2y =10\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x +5 = y, \\3x -2y =10\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +10 =2y\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}2x +5 = y, \\3x +10 =2y\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +2y =10\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x +5 = y, \\3x -2y =10\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +10 =2y\end{cases}$
答案
11. D
解析
【分析】
解题时需要先从题干中提取两个独立的等量关系，再将文字描述转化为数学等式。第一步处理第一个条件：“书法组人数的2倍比美术组的人数多5”，即2倍书法组人数减去美术组人数等于5；第二步处理第二个条件：“书法组人数的3倍比美术组人数的2倍少10”，即3倍书法组人数加上10等于2倍美术组人数，最后将两个等式联立，匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意逐个转化等量关系：
1. 由“书法组人数的2倍比美术组的人数多5”，可得等式：$2x = y + 5$，移项后为$2x - y = 5$；
2. 由“书法组人数的3倍比美术组人数的2倍少10”，可得等式：$3x = 2y - 10$，移项后为$3x + 10 = 2y$。
将两个等式联立，得到方程组$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +10 =2y\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是准确理解“多”“少”这类表述对应的数量逻辑，将文字语言正确转化为数学等式即可，注意移项时不要混淆符号。
【难度系数】
0.8
解题时需要先从题干中提取两个独立的等量关系，再将文字描述转化为数学等式。第一步处理第一个条件：“书法组人数的2倍比美术组的人数多5”，即2倍书法组人数减去美术组人数等于5；第二步处理第二个条件：“书法组人数的3倍比美术组人数的2倍少10”，即3倍书法组人数加上10等于2倍美术组人数，最后将两个等式联立，匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意逐个转化等量关系：
1. 由“书法组人数的2倍比美术组的人数多5”，可得等式：$2x = y + 5$，移项后为$2x - y = 5$；
2. 由“书法组人数的3倍比美术组人数的2倍少10”，可得等式：$3x = 2y - 10$，移项后为$3x + 10 = 2y$。
将两个等式联立，得到方程组$\begin{cases}2x - y =5, \\3x +10 =2y\end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是准确理解“多”“少”这类表述对应的数量逻辑，将文字语言正确转化为数学等式即可，注意移项时不要混淆符号。
【难度系数】
0.8
12.某工厂现有105名工人，一名工人每天可生产8个螺杆或26个螺母，2个螺母和1个螺杆为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套没有剩余，设安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 8x = 26y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 4x = 26y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 26y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 13y \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 8x = 26y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 4x = 26y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 26y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 13y \end{cases}$
答案
12. C
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的配套类应用题，解题时先找两个核心等量关系：第一，生产螺杆和螺母的工人总数为105人；第二，生产的螺母和螺杆要满足2个螺母配1个螺杆的配套要求，即螺母总数量是螺杆总数量的2倍。按照这两个等量关系分别列方程，就能得到所求方程组。
【解析】
1. 根据总人数列方程：已知安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，总共有105名工人，因此可得方程：$x + y = 105$。
2. 根据配套关系列方程：一名工人每天生产8个螺杆，因此每天生产的螺杆总数量为$8x$个；一名工人每天生产26个螺母，因此每天生产的螺母总数量为$26y$个。由于2个螺母和1个螺杆为一套，要刚好配套则螺母总数量是螺杆总数量的2倍，即：$26y = 2 × 8x$，整理得$16x = 26y$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 26y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，尤其要理清配套时两种产品的数量倍数关系，避免将倍数关系写反导致错误。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的配套类应用题，解题时先找两个核心等量关系：第一，生产螺杆和螺母的工人总数为105人；第二，生产的螺母和螺杆要满足2个螺母配1个螺杆的配套要求，即螺母总数量是螺杆总数量的2倍。按照这两个等量关系分别列方程，就能得到所求方程组。
【解析】
1. 根据总人数列方程：已知安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，总共有105名工人，因此可得方程：$x + y = 105$。
2. 根据配套关系列方程：一名工人每天生产8个螺杆，因此每天生产的螺杆总数量为$8x$个；一名工人每天生产26个螺母，因此每天生产的螺母总数量为$26y$个。由于2个螺母和1个螺杆为一套，要刚好配套则螺母总数量是螺杆总数量的2倍，即：$26y = 2 × 8x$，整理得$16x = 26y$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x + y = 105, \\ 16x = 26y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系，尤其要理清配套时两种产品的数量倍数关系，避免将倍数关系写反导致错误。
【难度系数】
0.7
13. 下列是三元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases}2x = 5, \\ x^2 + y = 7, \\ x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\frac{3}{x} - y + z = -2, \\ x - 2y + z = 9, \\ y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7, \\ xyz = 1, \\ x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2, \\ y + z = 1, \\ x + z = 9\end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}2x = 5, \\ x^2 + y = 7, \\ x + y + z = 6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\frac{3}{x} - y + z = -2, \\ x - 2y + z = 9, \\ y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z = 7, \\ xyz = 1, \\ x - 3y = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2, \\ y + z = 1, \\ x + z = 9\end{cases}$
答案
13. D
解析
【分析】
解决这道题的核心是先明确三元一次方程组的三个判定要点：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程里含未知数的项的次数都是1。接下来对照这三个要点逐一排查选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有三个不同的未知数，每个含未知数的项的次数都是1，且所有方程都是整式方程的方程组，叫做三元一次方程组。
我们逐一分析选项：
选项A：第二个方程中$x^2$的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项B：第一个方程分母含未知数$x$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不属于三元一次方程组；
选项C：第二个方程中$xyz$的次数是3，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项D：方程组共含$x、y、z$三个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题是概念类基础题，解题关键是紧扣三元一次方程组的核心判定要点逐一排查，注意不要忽略“整式方程”“项的次数为1”这些容易出错的细节。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是先明确三元一次方程组的三个判定要点：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；③每个方程里含未知数的项的次数都是1。接下来对照这三个要点逐一排查选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确三元一次方程组的定义：含有三个不同的未知数，每个含未知数的项的次数都是1，且所有方程都是整式方程的方程组，叫做三元一次方程组。
我们逐一分析选项：
选项A：第二个方程中$x^2$的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项B：第一个方程分母含未知数$x$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不属于三元一次方程组；
选项C：第二个方程中$xyz$的次数是3，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项D：方程组共含$x、y、z$三个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义
【点评】
本题是概念类基础题，解题关键是紧扣三元一次方程组的核心判定要点逐一排查，注意不要忽略“整式方程”“项的次数为1”这些容易出错的细节。
【难度系数】
0.8
