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3. 数据1,4,3,0,2的标准差是(
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
)A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
3. C
解析
【分析】
要计算一组数据的标准差，我们可以按照固定步骤求解：①先计算这组数据的平均数；②计算每个数据与平均数的差的平方，再求和得到平方和；③用平方和除以数据的总个数，得到方差；④标准差是方差的算术平方根，计算出结果即可对应选项。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
数据共有5个，平均数$\bar{x}=\frac{1+4+3+0+2}{5}=\frac{10}{5}=2$
步骤2：计算每个数据与平均数差的平方和
$(1-2)^2+(4-2)^2+(3-2)^2+(0-2)^2+(2-2)^2$
$=(-1)^2+2^2+1^2+(-2)^2+0^2$
$=1+4+1+4+0=10$
步骤3：计算方差
方差$s^2=\frac{10}{5}=2$
步骤4：计算标准差
标准差是方差的算术平方根，即$s=\sqrt{2}$
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】平均数的计算、方差的计算、标准差的定义
【点评】本题考查数据波动程度相关的基础计算，核心是牢记标准差的计算步骤，计算时细心即可顺利得分。
【难度系数】0.8
要计算一组数据的标准差，我们可以按照固定步骤求解：①先计算这组数据的平均数；②计算每个数据与平均数的差的平方，再求和得到平方和；③用平方和除以数据的总个数，得到方差；④标准差是方差的算术平方根，计算出结果即可对应选项。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
数据共有5个，平均数$\bar{x}=\frac{1+4+3+0+2}{5}=\frac{10}{5}=2$
步骤2：计算每个数据与平均数差的平方和
$(1-2)^2+(4-2)^2+(3-2)^2+(0-2)^2+(2-2)^2$
$=(-1)^2+2^2+1^2+(-2)^2+0^2$
$=1+4+1+4+0=10$
步骤3：计算方差
方差$s^2=\frac{10}{5}=2$
步骤4：计算标准差
标准差是方差的算术平方根，即$s=\sqrt{2}$
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】平均数的计算、方差的计算、标准差的定义
【点评】本题考查数据波动程度相关的基础计算，核心是牢记标准差的计算步骤，计算时细心即可顺利得分。
【难度系数】0.8
4. 已知一组数据1,3,2,5,x的平均数是3,这组数据的离差平方和是
10
.答案
4. 10
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据平均数的定义，平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，利用已知的平均数先求出未知数据x的值；第二步，明确离差平方和的含义，即每个数据与平均数的差的平方的总和，将所有数据代入计算求和即可得到结果。
【解析】
1. 求未知数据x：
已知这组数据的平均数是3，共有5个数据，根据平均数公式可得：
数据总和 = 平均数×数据个数 = 3×5 = 15
已知4个数据的和为1+3+2+5 = 11，因此x = 15 - 11 = 4
2. 计算离差平方和：
离差平方和是每个数据与平均数3的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(1-3)^2 + (3-3)^2 + (2-3)^2 + (5-3)^2 + (4-3)^2\\=&(-2)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2\\=&4 + 0 + 1 + 4 + 1\\=&10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平均数的计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心是对平均数和离差平方和概念的理解与应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照离差平方和的定义计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据平均数的定义，平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，利用已知的平均数先求出未知数据x的值；第二步，明确离差平方和的含义，即每个数据与平均数的差的平方的总和，将所有数据代入计算求和即可得到结果。
【解析】
1. 求未知数据x：
已知这组数据的平均数是3，共有5个数据，根据平均数公式可得：
数据总和 = 平均数×数据个数 = 3×5 = 15
已知4个数据的和为1+3+2+5 = 11，因此x = 15 - 11 = 4
2. 计算离差平方和：
离差平方和是每个数据与平均数3的差的平方之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(1-3)^2 + (3-3)^2 + (2-3)^2 + (5-3)^2 + (4-3)^2\\=&(-2)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2\\=&4 + 0 + 1 + 4 + 1\\=&10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平均数的计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心是对平均数和离差平方和概念的理解与应用，解题的关键是先通过平均数求出未知数据，再严格按照离差平方和的定义计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
5. 将数据2,3,4,8,9,10分成前3个一组,后3个一组,这两组数据的组内离差平方和为
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
要计算两组数据的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与本组平均数的差的平方，将这些平方值求和得到单组的离差平方和，最后把两组的离差平方和相加就是最终结果。解题步骤依次为：①按要求拆分两组数据；②分别计算两组的平均数；③分别计算两组的离差平方和；④求和得到答案。
【解析】
首先按要求拆分两组数据：
第一组数据为2，3，4：
1. 计算第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{2+3+4}{3}=3$
2. 计算第一组离差平方和：$(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2=1+0+1=2$
第二组数据为8，9，10：
1. 计算第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{8+9+10}{3}=9$
2. 计算第二组离差平方和：$(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2=1+0+1=2$
两组的组内离差平方和总和为：$2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础统计计算类题目，核心是掌握离差平方和的计算规则，解题时细心计算平均数和平方值，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
要计算两组数据的组内离差平方和，首先明确计算逻辑：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与本组平均数的差的平方，将这些平方值求和得到单组的离差平方和，最后把两组的离差平方和相加就是最终结果。解题步骤依次为：①按要求拆分两组数据；②分别计算两组的平均数；③分别计算两组的离差平方和；④求和得到答案。
【解析】
首先按要求拆分两组数据：
第一组数据为2，3，4：
1. 计算第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{2+3+4}{3}=3$
2. 计算第一组离差平方和：$(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2=1+0+1=2$
第二组数据为8，9，10：
1. 计算第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{8+9+10}{3}=9$
2. 计算第二组离差平方和：$(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2=1+0+1=2$
两组的组内离差平方和总和为：$2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础统计计算类题目，核心是掌握离差平方和的计算规则，解题时细心计算平均数和平方值，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 一次期中考试中，A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩如下表所示：
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差.
（2）可以通过标准分表比较不同学科考试成绩的优劣，标准分大的成绩更好。标准分的计算公式为：标准分＝$\frac{个人成绩－平均成绩}{标准差}$.
请问A同学在本次考试中，数学和英语这两个学科中哪个考得更好？
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差.
（2）可以通过标准分表比较不同学科考试成绩的优劣，标准分大的成绩更好。标准分的计算公式为：标准分＝$\frac{个人成绩－平均成绩}{标准差}$.
请问A同学在本次考试中，数学和英语这两个学科中哪个考得更好？
答案
6. (1) 数学平均分: $\frac{1}{5}×(71+72+\dots+70)=70$(分);英语标准差:
$\sqrt{\frac{1}{5}[(88-85)^2+(82-85)^2+(94-85)^2+(85-85)^2+(76-85)^2]}=\sqrt{36}=6$(分).
(2) $\because$ 数学标准分$=\frac{71-70}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(分),英语标准分$=\frac{88-85}{6}=0.5$(分),
$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0.5,\therefore$数学考得更好.
$\sqrt{\frac{1}{5}[(88-85)^2+(82-85)^2+(94-85)^2+(85-85)^2+(76-85)^2]}=\sqrt{36}=6$(分).
(2) $\because$ 数学标准分$=\frac{71-70}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(分),英语标准分$=\frac{88-85}{6}=0.5$(分),
$\frac{\sqrt{2}}{2}＞0.5,\therefore$数学考得更好.
解析
【分析】
（1）计算数学平均分可直接用算术平均数公式，即所有数学成绩总和除以总人数即可求解；计算英语标准差时，需先算出英语成绩的平均分，再计算各英语成绩与平均分差值的平方的平均数得到方差，最后对方差取算术平方根就是标准差。
（2）要比较A同学两科成绩优劣，先求出数学成绩的标准差，再分别将A同学的数学、英语成绩代入题干给出的标准分公式计算对应标准分，标准分更大的学科成绩更好。
【解析】
（1）计算数学成绩平均分：
$\overline{x}_\mathrm{数学}=\frac{1}{5}×(71+72+69+68+70)=\frac{350}{5}=70$（分）
先计算英语成绩平均分：
$\overline{x}_\mathrm{英语}=\frac{1}{5}×(88+82+94+85+76)=\frac{425}{5}=85$（分）
计算英语成绩的方差：
$s^2_\mathrm{英语}=\frac{1}{5}×[(88-85)^2+(82-85)^2+(94-85)^2+(85-85)^2+(76-85)^2]=\frac{180}{5}=36$
英语成绩的标准差：
$s_\mathrm{英语}=\sqrt{36}=6$（分）
（2）先计算数学成绩的标准差：
数学成绩的方差$s^2_\mathrm{数学}=\frac{1}{5}×[(71-70)^2+(72-70)^2+(69-70)^2+(68-70)^2+(70-70)^2]=\frac{10}{5}=2$，故$s_\mathrm{数学}=\sqrt{2}$
A同学数学标准分：$\frac{71-70}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
A同学英语标准分：$\frac{88-85}{6}=0.5$
$\because \frac{\sqrt{2}}{2}＞0.5$，$\therefore$A同学数学考得更好。
【答案】
(1) 数学平均分是70分，英语标准差是6分；
(2) A同学数学考得更好。
【知识点】
平均数计算，标准差计算，标准分应用
【点评】
本题属于统计类基础应用题，考查平均数、标准差的基础计算方法，同时需要结合题干给出的新定义公式进行比较判断，计算时注意运算准确性即可完成求解。
【难度系数】
0.7
（1）计算数学平均分可直接用算术平均数公式，即所有数学成绩总和除以总人数即可求解；计算英语标准差时，需先算出英语成绩的平均分，再计算各英语成绩与平均分差值的平方的平均数得到方差，最后对方差取算术平方根就是标准差。
（2）要比较A同学两科成绩优劣，先求出数学成绩的标准差，再分别将A同学的数学、英语成绩代入题干给出的标准分公式计算对应标准分，标准分更大的学科成绩更好。
【解析】
（1）计算数学成绩平均分：
$\overline{x}_\mathrm{数学}=\frac{1}{5}×(71+72+69+68+70)=\frac{350}{5}=70$（分）
先计算英语成绩平均分：
$\overline{x}_\mathrm{英语}=\frac{1}{5}×(88+82+94+85+76)=\frac{425}{5}=85$（分）
计算英语成绩的方差：
$s^2_\mathrm{英语}=\frac{1}{5}×[(88-85)^2+(82-85)^2+(94-85)^2+(85-85)^2+(76-85)^2]=\frac{180}{5}=36$
英语成绩的标准差：
$s_\mathrm{英语}=\sqrt{36}=6$（分）
（2）先计算数学成绩的标准差：
数学成绩的方差$s^2_\mathrm{数学}=\frac{1}{5}×[(71-70)^2+(72-70)^2+(69-70)^2+(68-70)^2+(70-70)^2]=\frac{10}{5}=2$，故$s_\mathrm{数学}=\sqrt{2}$
A同学数学标准分：$\frac{71-70}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
A同学英语标准分：$\frac{88-85}{6}=0.5$
$\because \frac{\sqrt{2}}{2}＞0.5$，$\therefore$A同学数学考得更好。
【答案】
(1) 数学平均分是70分，英语标准差是6分；
(2) A同学数学考得更好。
【知识点】
平均数计算，标准差计算，标准分应用
【点评】
本题属于统计类基础应用题，考查平均数、标准差的基础计算方法，同时需要结合题干给出的新定义公式进行比较判断，计算时注意运算准确性即可完成求解。
【难度系数】
0.7
