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1. 已知一元二次方程$3x^{2}+1=6x$的一次项系数为$-6$，则它的二次项系数和常数项分别为（
A.3，1
B.$-3$，$-1$
C.3，$-1$
D.$-3x^{2}$，$-1$
A
）A.3，1
B.$-3$，$-1$
C.3，$-1$
D.$-3x^{2}$，$-1$
答案
∵$3x^{2}+1=6x,\therefore 3x^{2}-6x+1=0.\because$ 一次项系数为$-6,\therefore$ 二次项系数为 3,常数项为 1.
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数和常数项，首先要明确识别各项系数的前提是把方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。首先对给定的原方程做移项操作，把右侧的$6x$移到等号左侧，移项时注意变号，得到标准形式后直接对应提取二次项系数和常数项，再匹配选项即可得到结果。
【解析】
1. 整理原方程为一元二次方程的标准一般形式：
原方程为$3x^2+1=6x$，将等号右侧的$6x$移到左侧，移项变号后可得：
$3x^2 -6x +1 = 0$
2. 对应标准形式识别系数：
题目已经给出一次项系数为$-6$，和整理后的方程完全匹配，因此二次项系数为$3$，常数项为$1$。
3. 匹配选项，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程一般形式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程章节的入门基础题，易错点是部分学生没有先将方程整理为右侧为0的标准形式就直接提取系数，或是移项时忘记变号导致出错，解题时要牢记识别各项系数必须先将方程化为标准形式，所有系数都要连同自身前面的符号一起判定。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的二次项系数和常数项，首先要明确识别各项系数的前提是把方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。首先对给定的原方程做移项操作，把右侧的$6x$移到等号左侧，移项时注意变号，得到标准形式后直接对应提取二次项系数和常数项，再匹配选项即可得到结果。
【解析】
1. 整理原方程为一元二次方程的标准一般形式：
原方程为$3x^2+1=6x$，将等号右侧的$6x$移到左侧，移项变号后可得：
$3x^2 -6x +1 = 0$
2. 对应标准形式识别系数：
题目已经给出一次项系数为$-6$，和整理后的方程完全匹配，因此二次项系数为$3$，常数项为$1$。
3. 匹配选项，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程一般形式，一元二次方程系数识别
【点评】
本题是一元二次方程章节的入门基础题，易错点是部分学生没有先将方程整理为右侧为0的标准形式就直接提取系数，或是移项时忘记变号导致出错，解题时要牢记识别各项系数必须先将方程化为标准形式，所有系数都要连同自身前面的符号一起判定。
【难度系数】
0.9
2. 已知 $a$ 是方程 $x^{2}-2026x+1=0$ 的一个根,则 $a^{2}-2025a+\dfrac{2026}{a^{2}+1}$ 的值为（
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
B
）A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
答案
$\because a$ 是方程 $x^{2}-2026x+1=0$ 的一个根,$\therefore a^{2}-2026a+1=0. \therefore a^{2}+1=2026a,a^{2}=2026a-1,a ≠ 0.$
$\therefore a-2026+\dfrac{1}{a}=0,$即 $a+\dfrac{1}{a}=2026. \therefore a^{2}-2025a+\dfrac{2026}{a^{2}+1}=2026a-1-2025a+\dfrac{2026}{2026a}=a-1+\dfrac{1}{a}=2026-1=2025.$
$\therefore a-2026+\dfrac{1}{a}=0,$即 $a+\dfrac{1}{a}=2026. \therefore a^{2}-2025a+\dfrac{2026}{a^{2}+1}=2026a-1-2025a+\dfrac{2026}{2026a}=a-1+\dfrac{1}{a}=2026-1=2025.$
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用方程根的性质做整体代换，不需要硬求a的具体值：第一步，先把根a代入给定的一元二次方程，得到关于a的恒等式；第二步，对这个恒等式做变形，推导出a²=2026a-1、a²+1=2026a，同时因为a≠0，等式两边同除以a还能得到a+1/a=2026的关系；第三步，把要求值的代数式里的高次项a²用一次式替换实现降次，同时把分式的分母a²+1替换为2026a进行约分，最后凑出a+1/a的整体代入就能快速算出结果。
【解析】
∵ a是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根
∴ 将x=a代入方程可得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$
对等式变形可得：
1. $a^2 = 2026a - 1$
2. $a^2 + 1 = 2026a$
3. 若a=0，代入等式左边为1≠0，因此a≠0，将等式$a^2 - 2026a + 1 = 0$两边同时除以a，得：
$a - 2026 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 2026$
将上述变形结果代入所求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2025a + \frac{2026}{a^2 + 1} &= (2026a - 1) - 2025a + \frac{2026}{2026a}\\&= a - 1 + \frac{1}{a}\\&= (a + \frac{1}{a}) - 1\\&= 2026 - 1\\&= 2025\end{aligned}$
【答案】
B.2025
【知识点】
一元二次方程的根，整体代入求值，代数式降次化简
【点评】
本题是一元二次方程求值的经典题型，刻意设置了较大的系数，引导学生避开直接求解方程根的复杂运算，核心考察学生对整体代换思想的运用，通过降次将二次代数式全部转化为一次形式，大幅简化计算，解题时要注意隐含条件a≠0，才能顺利推导得到$a+\frac{1}{a}$的关系式。
【难度系数】
0.6
这道题的核心思路是利用方程根的性质做整体代换，不需要硬求a的具体值：第一步，先把根a代入给定的一元二次方程，得到关于a的恒等式；第二步，对这个恒等式做变形，推导出a²=2026a-1、a²+1=2026a，同时因为a≠0，等式两边同除以a还能得到a+1/a=2026的关系；第三步，把要求值的代数式里的高次项a²用一次式替换实现降次，同时把分式的分母a²+1替换为2026a进行约分，最后凑出a+1/a的整体代入就能快速算出结果。
【解析】
∵ a是方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根
∴ 将x=a代入方程可得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$
对等式变形可得：
1. $a^2 = 2026a - 1$
2. $a^2 + 1 = 2026a$
3. 若a=0，代入等式左边为1≠0，因此a≠0，将等式$a^2 - 2026a + 1 = 0$两边同时除以a，得：
$a - 2026 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 2026$
将上述变形结果代入所求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2025a + \frac{2026}{a^2 + 1} &= (2026a - 1) - 2025a + \frac{2026}{2026a}\\&= a - 1 + \frac{1}{a}\\&= (a + \frac{1}{a}) - 1\\&= 2026 - 1\\&= 2025\end{aligned}$
【答案】
B.2025
【知识点】
一元二次方程的根，整体代入求值，代数式降次化简
【点评】
本题是一元二次方程求值的经典题型，刻意设置了较大的系数，引导学生避开直接求解方程根的复杂运算，核心考察学生对整体代换思想的运用，通过降次将二次代数式全部转化为一次形式，大幅简化计算，解题时要注意隐含条件a≠0，才能顺利推导得到$a+\frac{1}{a}$的关系式。
【难度系数】
0.6
3. 易错题 若$(m+3)x^{|m|-1}-(m-3)x-5=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为
3
。答案
$\because (m+3)x^{|m|-1}-(m-3)x-5=0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,$\therefore \begin{cases} m+3 ≠ 0,\\ |m|-1=2,\\ \end{cases}$ 解得 $m=3.$
解析
【分析】
要确定m的值，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项系数不能为0。我们可以分两步推导：第一步先让方程中x的最高次项的次数等于2，列出关于m的绝对值方程，解出m的所有可能取值；第二步要保证二次项的系数不为0，排除掉会让二次项系数为0的m值，最终就能得到符合要求的m。
【解析】
解：
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴需要同时满足两个核心条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m|-1=2$
2. 二次项的系数不为0，即$m+3≠0$
联立得到不等式组：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m+3 ≠ 0\end{cases}$
先解绝对值方程$|m|-1=2$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；
再结合$m+3≠0$即$m≠-3$，排除$m=-3$，最终得到$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值运算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易只关注未知数最高次数为2的要求，忽略了“二次项系数不能为0”这个隐藏的必要条件，从而误得到m=±3的错误结果，判定一元二次方程时必须同时满足所有限定条件，不能遗漏系数非零的要求。
【难度系数】
0.5
要确定m的值，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项系数不能为0。我们可以分两步推导：第一步先让方程中x的最高次项的次数等于2，列出关于m的绝对值方程，解出m的所有可能取值；第二步要保证二次项的系数不为0，排除掉会让二次项系数为0的m值，最终就能得到符合要求的m。
【解析】
解：
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴需要同时满足两个核心条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m|-1=2$
2. 二次项的系数不为0，即$m+3≠0$
联立得到不等式组：
$\begin{cases}|m|-1=2 \\m+3 ≠ 0\end{cases}$
先解绝对值方程$|m|-1=2$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；
再结合$m+3≠0$即$m≠-3$，排除$m=-3$，最终得到$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值运算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易只关注未知数最高次数为2的要求，忽略了“二次项系数不能为0”这个隐藏的必要条件，从而误得到m=±3的错误结果，判定一元二次方程时必须同时满足所有限定条件，不能遗漏系数非零的要求。
【难度系数】
0.5
4. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}-ax+a^{2}=0$的一个根为1，则$a$的值为
-1
。答案
把 $x=1$ 代入 $(a-1)x^{2}-ax+a^{2}=0,$得 $a^{2}=1.$
$\therefore a= \pm 1.$ 由题意,得 $a-1 ≠ 0,$即 $a ≠ 1. \therefore a=-1.$
$\therefore a= \pm 1.$ 由题意,得 $a-1 ≠ 0,$即 $a ≠ 1. \therefore a=-1.$
解析
【分析】
我们解题时可以分两步走：首先已知x=1是方程的根，根据方程根的性质，把根代入原方程后等式必然成立，这样就能得到关于a的方程，解出a的所有可能取值；其次题干明确说明这是一元二次方程，一元二次方程的二次项系数不能为0，我们需要从刚才解出的a的取值里，剔除掉让二次项系数为0的不符合条件的值，就能得到最终正确的a值。
【解析】
1. 代入已知根计算：
将x=1代入方程$(a-1)x^{2}-ax+a^{2}=0$，可得：
$(a-1)×1^2 - a×1 + a^2 = 0$
展开化简后得到：$a^2=1$
2. 求解关于a的方程：
由$a^2=1$，解得$a=\pm1$，即a=1或a=-1。
3. 根据一元二次方程定义筛选取值：
因为原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$a-1≠0$，也就是$a≠1$，因此舍去不符合要求的a=1，最终得到a=-1。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义
【点评】
本题属于易错题，很多同学代入根求出a的两个取值后，很容易忽略题干给出的“一元二次方程”的隐藏限制，忘记二次项系数不能为0，误将a=1也作为正确结果，解题时要注意这类带限定条件的方程题，做完后要验证结果是否满足题干所有要求。
【难度系数】
0.6
我们解题时可以分两步走：首先已知x=1是方程的根，根据方程根的性质，把根代入原方程后等式必然成立，这样就能得到关于a的方程，解出a的所有可能取值；其次题干明确说明这是一元二次方程，一元二次方程的二次项系数不能为0，我们需要从刚才解出的a的取值里，剔除掉让二次项系数为0的不符合条件的值，就能得到最终正确的a值。
【解析】
1. 代入已知根计算：
将x=1代入方程$(a-1)x^{2}-ax+a^{2}=0$，可得：
$(a-1)×1^2 - a×1 + a^2 = 0$
展开化简后得到：$a^2=1$
2. 求解关于a的方程：
由$a^2=1$，解得$a=\pm1$，即a=1或a=-1。
3. 根据一元二次方程定义筛选取值：
因为原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$a-1≠0$，也就是$a≠1$，因此舍去不符合要求的a=1，最终得到a=-1。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义
【点评】
本题属于易错题，很多同学代入根求出a的两个取值后，很容易忽略题干给出的“一元二次方程”的隐藏限制，忘记二次项系数不能为0，误将a=1也作为正确结果，解题时要注意这类带限定条件的方程题，做完后要验证结果是否满足题干所有要求。
【难度系数】
0.6
5. 新情境 体育比赛 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设邀请$x$支球队参加比赛，则下列方程符合题意的是 （
A.$\dfrac{1}{2}x(x+1)=15$
B.$x(x+1)=15$
C.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=15$
D.$x(x-1)=15$
C
）A.$\dfrac{1}{2}x(x+1)=15$
B.$x(x+1)=15$
C.$\dfrac{1}{2}x(x-1)=15$
D.$x(x-1)=15$
答案
根据题意,得 $\dfrac{1}{2}x(x-1)=15.$
解析
【分析】
我们先抓住题目给出的单循环赛制核心规则：每两队之间只赛1场。已知设邀请x支球队参赛，首先可以思考：每支球队不能和自己比赛，所以每支球队要和剩下的(x-1)支球队各赛1场，此时如果直接用x乘(x-1)得到的总场次，会把每一场比赛都重复计算2次——比如甲队和乙队的比赛，统计甲的参赛场次时算1次，统计乙的参赛场次时又会多算1次，因此需要去掉重复计数的部分，也就是给累计总场次乘1/2，结合题目给出的总比赛场数15，就能列出符合题意的方程。
【解析】
解：已知共有x支球队参加比赛：
1. 每支球队需要与除自身之外的其余(x-1)支球队各进行1场比赛，若不考虑重复计数，所有球队累计的比赛场次为$x(x-1)$；
2. 由于单循环赛制下任意两队之间仅赛1场，上述累计的场次中每一场比赛都被重复计算了2次，因此实际的总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 题目要求总比赛场数为15场，因此可列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单循环计数，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是体育比赛情境下的基础应用题，易错点是容易忽略单循环赛制的重复计数问题，误选D选项，解题时要注意区分单循环（每两队仅赛1场，需除以2）和双循环（分主客场，每两队赛2场，无需除以2）的计数差异。
【难度系数】
0.7
我们先抓住题目给出的单循环赛制核心规则：每两队之间只赛1场。已知设邀请x支球队参赛，首先可以思考：每支球队不能和自己比赛，所以每支球队要和剩下的(x-1)支球队各赛1场，此时如果直接用x乘(x-1)得到的总场次，会把每一场比赛都重复计算2次——比如甲队和乙队的比赛，统计甲的参赛场次时算1次，统计乙的参赛场次时又会多算1次，因此需要去掉重复计数的部分，也就是给累计总场次乘1/2，结合题目给出的总比赛场数15，就能列出符合题意的方程。
【解析】
解：已知共有x支球队参加比赛：
1. 每支球队需要与除自身之外的其余(x-1)支球队各进行1场比赛，若不考虑重复计数，所有球队累计的比赛场次为$x(x-1)$；
2. 由于单循环赛制下任意两队之间仅赛1场，上述累计的场次中每一场比赛都被重复计算了2次，因此实际的总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 题目要求总比赛场数为15场，因此可列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=15$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单循环计数，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是体育比赛情境下的基础应用题，易错点是容易忽略单循环赛制的重复计数问题，误选D选项，解题时要注意区分单循环（每两队仅赛1场，需除以2）和双循环（分主客场，每两队赛2场，无需除以2）的计数差异。
【难度系数】
0.7
6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax+b=0$有一个非零实数根$-b$,则$a-b$的值为 （
A.1
B.$-1$
C.0
D.$-2$
A
）A.1
B.$-1$
C.0
D.$-2$
答案
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+ax+b=0$ 有一个非零实数根 $-b,\therefore b^{2}-ab+b=0. \because -b ≠ 0,$即 $b ≠ 0,\therefore$ 方程两边同时除以 $b,$得 $b-a+1=0. \therefore a-b=1.$
解析
【分析】
这道题的解题思路非常明确：首先根据一元二次方程根的性质，方程的根代入方程后左右两边必然相等，所以第一步直接把已知的根x=-b代入原方程，得到关于a、b的等式。接着题目明确说明这个根是非零实数，也就是-b≠0，由此可以推出b≠0，我们就可以对得到的等式两边同时除以不为0的b，再对式子做移项变形，就能直接求出a-b的数值。
【解析】
解：
1. 将已知根$x=-b$代入一元二次方程$x^2+ax+b=0$，可得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理后得到：$b^2 - ab + b = 0$
2. 由题意可知该根为非零实数，即$-b≠0$，因此$b≠0$。
3. 因为b不等于0，等式$b^2 - ab + b = 0$两边可以同时除以b，得到：
$b - a + 1 = 0$
4. 对上述等式移项变形，最终可得：$a - b = 1$。
【答案】A
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考察方程根的定义，易错点是忽略“非零实数根”的条件，没有说明b≠0就直接约去b，本题计算量很小，只要掌握根代入的基本方法就能快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路非常明确：首先根据一元二次方程根的性质，方程的根代入方程后左右两边必然相等，所以第一步直接把已知的根x=-b代入原方程，得到关于a、b的等式。接着题目明确说明这个根是非零实数，也就是-b≠0，由此可以推出b≠0，我们就可以对得到的等式两边同时除以不为0的b，再对式子做移项变形，就能直接求出a-b的数值。
【解析】
解：
1. 将已知根$x=-b$代入一元二次方程$x^2+ax+b=0$，可得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理后得到：$b^2 - ab + b = 0$
2. 由题意可知该根为非零实数，即$-b≠0$，因此$b≠0$。
3. 因为b不等于0，等式$b^2 - ab + b = 0$两边可以同时除以b，得到：
$b - a + 1 = 0$
4. 对上述等式移项变形，最终可得：$a - b = 1$。
【答案】A
【知识点】
1. 一元二次方程的根
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考察方程根的定义，易错点是忽略“非零实数根”的条件，没有说明b≠0就直接约去b，本题计算量很小，只要掌握根代入的基本方法就能快速推导得到结果。
【难度系数】
0.8
7. 若关于 $x$ 的两个不同的方程 $x^2+ax+1=0$ 和 $x^2-x-a=0$ 恰有一个公共根,则 $a$ 的值为
（
A.2
B.$-3$
C.$-3$ 或 2
D.2 或 3
（
A
）A.2
B.$-3$
C.$-3$ 或 2
D.2 或 3
答案
$\because$ 关于 $x$ 的两个不同的方程 $x^{2}+ax+1=0$ 和 $x^{2}-x-a=0$ 恰有一个公共根,$\therefore x^{2}+ax+1=x^{2}-x-a,$即$(a+1)x+a+1=0. \because$ 易得 $a ≠ -1,\therefore a+1 ≠ 0.$
$\therefore x=-1. \therefore x=-1$ 是公共根. 把 $x=-1$ 代入 $x^{2}+ax+1=0,$得 $1-a+1=0,$解得 $a=2.$
$\therefore x=-1. \therefore x=-1$ 是公共根. 把 $x=-1$ 代入 $x^{2}+ax+1=0,$得 $1-a+1=0,$解得 $a=2.$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据“公共根同时满足两个方程”的性质，设两个方程的公共根为α，将α代入两个原方程后，把两个方程相减消去二次项，得到关于α的一次式，先求解公共根的可能取值；再结合题目给出的“两个不同的方程”的限制条件，排除不符合题意的参数取值，之后将得到的公共根代回原方程求出a，最后验证所得a是否满足“恰有一个公共根”的要求，避免出现多解错误。
【解析】
解：设两个方程的公共根为$α$，则$α$同时满足两个方程，可得：
$\begin{cases}α^2 + aα + 1 = 0 \quad ① \\α^2 - α - a = 0 \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式，消去二次项$α^2$，整理得：
$(a+1)α + a + 1 = 0$
提取公因式可得：$(a+1)(α + 1)=0$
若$a+1=0$即$a=-1$，此时两个方程均为$x^2 -x +1=0$，是完全相同的方程，不符合题干“两个不同的方程”的要求，因此$a+1≠0$，可得$α=-1$，即两个方程的公共根为$x=-1$。
将$x=-1$代入方程$x^2+ax+1=0$，得：
$(-1)^2 + a·(-1) + 1 = 0$
化简得$2 - a = 0$，解得$a=2$。
验证：当$a=2$时，第一个方程为$x^2+2x+1=0$，根为$x=-1$（二重根），第二个方程为$x^2 -x -2=0$，根为$x=2$和$x=-1$，两个方程不同，且仅存在一个公共根$x=-1$，完全符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程公共根，一元二次方程定义
【点评】
本题设置了易错陷阱，很多同学会忽略题干“两个不同的方程”的限制条件，也没有对求出的参数进行验证，进而误选包含多余解的C选项，解题时要注意审题，排除不符合题意的多余解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据“公共根同时满足两个方程”的性质，设两个方程的公共根为α，将α代入两个原方程后，把两个方程相减消去二次项，得到关于α的一次式，先求解公共根的可能取值；再结合题目给出的“两个不同的方程”的限制条件，排除不符合题意的参数取值，之后将得到的公共根代回原方程求出a，最后验证所得a是否满足“恰有一个公共根”的要求，避免出现多解错误。
【解析】
解：设两个方程的公共根为$α$，则$α$同时满足两个方程，可得：
$\begin{cases}α^2 + aα + 1 = 0 \quad ① \\α^2 - α - a = 0 \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式，消去二次项$α^2$，整理得：
$(a+1)α + a + 1 = 0$
提取公因式可得：$(a+1)(α + 1)=0$
若$a+1=0$即$a=-1$，此时两个方程均为$x^2 -x +1=0$，是完全相同的方程，不符合题干“两个不同的方程”的要求，因此$a+1≠0$，可得$α=-1$，即两个方程的公共根为$x=-1$。
将$x=-1$代入方程$x^2+ax+1=0$，得：
$(-1)^2 + a·(-1) + 1 = 0$
化简得$2 - a = 0$，解得$a=2$。
验证：当$a=2$时，第一个方程为$x^2+2x+1=0$，根为$x=-1$（二重根），第二个方程为$x^2 -x -2=0$，根为$x=2$和$x=-1$，两个方程不同，且仅存在一个公共根$x=-1$，完全符合题意。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程公共根，一元二次方程定义
【点评】
本题设置了易错陷阱，很多同学会忽略题干“两个不同的方程”的限制条件，也没有对求出的参数进行验证，进而误选包含多余解的C选项，解题时要注意审题，排除不符合题意的多余解。
【难度系数】
0.6
8. 若 $x=2025$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+1=0$ 的一个根，则关于 $x$ 的方程 $a(x+2)^2+bx+2b=-1$ 必有一个根为
2023
.答案
关于 $x$ 的方程 $a(x+2)^{2}+bx+2b=-1$ 变形为 $a(x+2)^{2}+b(x+2)+1=0,$此方程可看作关于 $(x+2)$ 的一元二次方程,$\because x=2025$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx+1=0$ 的一个根,$\therefore x+2=2025$ 是关于 $(x+2)$ 的方程 $a(x+2)^{2}+b(x+2)+1=0$ 的一个根. $\therefore x+2=2025,$解得 $x=2023. \therefore$ 关于 $x$ 的方程 $a(x+2)^{2}+bx+2b=-1$ 必有一个根为 $x=2023.$
解析
【分析】
我们的解题思路是通过变形待求方程，构造和已知方程完全一致的结构，利用整体换元的方法快速得到根，不需要额外求解a、b的数值：第一步先对目标方程移项、提取公因式，将其整理为$a(x+2)^2 + b(x+2) +1=0$的形式；第二步把$(x+2)$看作一个整体，它就对应已知方程$ax^2+bx+1=0$里的未知数，已知原方程的一个根是2025，因此这个整体$(x+2)$的取值就等于2025，直接解出x即可得到对应根。
【解析】
1. 对目标方程进行变形：
将方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$移项得：
$a(x+2)^2 + bx + 2b +1 = 0$
对含b的项提取公因式b，整理得：
$a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0$
2. 整体换元：
令$t = x+2$，则变形后的方程可写为$at^2 + bt + 1 = 0$，该方程和已知方程$ax^2+bx+1=0$的结构完全相同。
3. 利用已知条件推导：
已知$x=2025$是方程$ax^2+bx+1=0$的根，因此$t=2025$是方程$at^2+bt+1=0$的一个根。
4. 回代求解x：
即$x+2 = 2025$，解得$x=2025-2=2023$。
【答案】
2023
【知识点】
一元二次方程的根，整体换元法
【点评】
本题没有要求计算参数a、b的具体数值，核心考察对一元二次方程根的定义的灵活运用，通过凑整体的换元思路可以大幅简化计算，避免了代入已知根推导a、b关系的冗余步骤，部分同学容易想不到构造相同结构的方程，走弯路增加计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
我们的解题思路是通过变形待求方程，构造和已知方程完全一致的结构，利用整体换元的方法快速得到根，不需要额外求解a、b的数值：第一步先对目标方程移项、提取公因式，将其整理为$a(x+2)^2 + b(x+2) +1=0$的形式；第二步把$(x+2)$看作一个整体，它就对应已知方程$ax^2+bx+1=0$里的未知数，已知原方程的一个根是2025，因此这个整体$(x+2)$的取值就等于2025，直接解出x即可得到对应根。
【解析】
1. 对目标方程进行变形：
将方程$a(x+2)^2+bx+2b=-1$移项得：
$a(x+2)^2 + bx + 2b +1 = 0$
对含b的项提取公因式b，整理得：
$a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0$
2. 整体换元：
令$t = x+2$，则变形后的方程可写为$at^2 + bt + 1 = 0$，该方程和已知方程$ax^2+bx+1=0$的结构完全相同。
3. 利用已知条件推导：
已知$x=2025$是方程$ax^2+bx+1=0$的根，因此$t=2025$是方程$at^2+bt+1=0$的一个根。
4. 回代求解x：
即$x+2 = 2025$，解得$x=2025-2=2023$。
【答案】
2023
【知识点】
一元二次方程的根，整体换元法
【点评】
本题没有要求计算参数a、b的具体数值，核心考察对一元二次方程根的定义的灵活运用，通过凑整体的换元思路可以大幅简化计算，避免了代入已知根推导a、b关系的冗余步骤，部分同学容易想不到构造相同结构的方程，走弯路增加计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
9. 已知$m$为方程$x^{2}+x-4=0$的一个根，则代数式$m^{3}+2m^{2}-3m+6$的值为
10
.答案
根据一元二次方程的解的定义把 $x=m$ 代入方程得到 $m^{2}+m-4=0. \therefore m^{2}+2m=m+4. \therefore m^{3}+2m^{2}-3m+6=m(m^{2}+2m)-3m+6=m(m+4)-3m+6=m^{2}+m+6.$ 由 $m^{2}+m-4=0$ 可知,$m^{2}+m=4,\therefore m^{3}+2m^{2}-3m+6=m^{2}+m+6=4+6=10.$
解析
【分析】
首先，已知m是一元二次方程的根，我们可以利用方程根的定义，将m代入原方程得到关于m的二次等式$m^2+m=4$。观察所求代数式是三次多项式，如果直接解出m的无理根再代入计算，过程繁琐且容易出错，因此我们选择「降次+整体代入」的思路：把高次的三次项、二次项逐步替换为低次的整式，将所求代数式转化为仅含已知整式$m^2+m$的形式，不需要求出m的具体值，直接整体代入就能快速得到结果。
【解析】
解：
1. 代入根得到基础等式
因为m是方程$x^2+x-4=0$的根，将$x=m$代入原方程可得：
$m^2 + m - 4 = 0$，整理得$m^2 + m = 4$，进一步变形可得$m^2 + 2m = m + 4$。
2. 对所求代数式降次变形
对$m^3+2m^2-3m+6$的前两项提取公因式m：
$m^3 + 2m^2 - 3m + 6 = m(m^2 + 2m) - 3m + 6$
将$m^2 + 2m = m+4$代入上式：
原式$= m(m+4) - 3m + 6$
展开并合并同类项：
原式$= m^2 + 4m - 3m + 6 = m^2 + m + 6$
3. 整体代入计算最终结果
把$m^2 + m = 4$代入化简后的式子：
原式$= 4 + 6 = 10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的根，整体代入法，代数式降次
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型代数式求值题型，核心考察降次转化的数学思想，规避了直接求解无理根的复杂计算，通过方程根的性质把高次多项式逐步降维，转化为已知整式直接整体代入，是这类高次代数式求值问题的通用解题思路。
【难度系数】
0.6
首先，已知m是一元二次方程的根，我们可以利用方程根的定义，将m代入原方程得到关于m的二次等式$m^2+m=4$。观察所求代数式是三次多项式，如果直接解出m的无理根再代入计算，过程繁琐且容易出错，因此我们选择「降次+整体代入」的思路：把高次的三次项、二次项逐步替换为低次的整式，将所求代数式转化为仅含已知整式$m^2+m$的形式，不需要求出m的具体值，直接整体代入就能快速得到结果。
【解析】
解：
1. 代入根得到基础等式
因为m是方程$x^2+x-4=0$的根，将$x=m$代入原方程可得：
$m^2 + m - 4 = 0$，整理得$m^2 + m = 4$，进一步变形可得$m^2 + 2m = m + 4$。
2. 对所求代数式降次变形
对$m^3+2m^2-3m+6$的前两项提取公因式m：
$m^3 + 2m^2 - 3m + 6 = m(m^2 + 2m) - 3m + 6$
将$m^2 + 2m = m+4$代入上式：
原式$= m(m+4) - 3m + 6$
展开并合并同类项：
原式$= m^2 + 4m - 3m + 6 = m^2 + m + 6$
3. 整体代入计算最终结果
把$m^2 + m = 4$代入化简后的式子：
原式$= 4 + 6 = 10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的根，整体代入法，代数式降次
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型代数式求值题型，核心考察降次转化的数学思想，规避了直接求解无理根的复杂计算，通过方程根的性质把高次多项式逐步降维，转化为已知整式直接整体代入，是这类高次代数式求值问题的通用解题思路。
【难度系数】
0.6
10. 新考向 探究题 如图,数轴上点 A 与点 C 表示的数分别为 1 和 3,O 为原点,宸宸同学以 C 为直角顶点作 $\mathrm{Rt}△ ABC$,$BC=1$,再以点 A 为圆心,AB 长为半径画圆,交数轴于 D,E 两点. 莲莲同学说:“若点 D,E 分别表示数 m 和 n,我发现 $x=m$ 是一元二次方程 $x^2+bx-4=0$ 的一个根.”琮琮说:“$x=n$ 一定不是此方程的根.”
(1) 请写出 m 与 n 的值.
(2) 求出 b 的值.
(3) 你认为琮琮说得对吗? 为什么?
(第 10 题)
(1) 请写出 m 与 n 的值.
(2) 求出 b 的值.
(3) 你认为琮琮说得对吗? 为什么?
(第 10 题)
答案
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because BC=1,AC=2,\therefore AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. \therefore AE=AD=AB=\sqrt{5}. \because$ 点 $A$ 表示的数为 $1,\therefore OE=AE-OA=\sqrt{5}-1,OD=AD+OA=\sqrt{5}+1.$
$\therefore$ 点 $D$ 表示的数为 $\sqrt{5}+1,$即 $m=\sqrt{5}+1,$点 $E$ 表示的数为 $-\sqrt{5}+1,$即 $n=-\sqrt{5}+1.$
(2) 把 $x=\sqrt{5}+1$ 代入方程 $x^{2}+bx-4=0,$得 $(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}+1)b-4=0,$解得 $b=-2,$即 $b$ 的值为 $-2.$
(3) 琮琮说得不对. 由(2),得方程为 $x^{2}-2x-4=0.$ 把 $x=-\sqrt{5}+1$ 代入方程 $x^{2}-2x-4=0,$$\because$ 左边 $=(-\sqrt{5}+1)^{2}-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0,\therefore$ 左边 $=$ 右边. $\therefore x=n$ 是此方程的根. $\therefore$ 琮琮说得不对.
$\therefore$ 点 $D$ 表示的数为 $\sqrt{5}+1,$即 $m=\sqrt{5}+1,$点 $E$ 表示的数为 $-\sqrt{5}+1,$即 $n=-\sqrt{5}+1.$
(2) 把 $x=\sqrt{5}+1$ 代入方程 $x^{2}+bx-4=0,$得 $(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}+1)b-4=0,$解得 $b=-2,$即 $b$ 的值为 $-2.$
(3) 琮琮说得不对. 由(2),得方程为 $x^{2}-2x-4=0.$ 把 $x=-\sqrt{5}+1$ 代入方程 $x^{2}-2x-4=0,$$\because$ 左边 $=(-\sqrt{5}+1)^{2}-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0,\therefore$ 左边 $=$ 右边. $\therefore x=n$ 是此方程的根. $\therefore$ 琮琮说得不对.
解析
【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 求m、n的值：首先根据数轴上点A、C的坐标算出AC的长度，结合已知的BC长度，用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长；由于圆A的半径等于AB，因此AD=AE=AB，再结合点A在数轴上表示的数是1，向右叠加半径得到右侧交点D对应的数m，向左减去半径得到左侧交点E对应的数n。
2. 求b的值：根据一元二次方程根的定义，已知x=m是方程的根，直接将x=m代入给定方程，解关于b的一元一次方程即可得到b的结果。
3. 判断琮琮的说法是否正确：先把求出的b代入得到完整的一元二次方程，再将x=n代入方程计算左右两边，验证两边是否相等，若相等则说明n也是方程的根，即可判断琮琮的说法错误。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，点A表示数1，点C表示数3，因此$AC=3-1=2$，已知$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
由题意可知，以点A为圆心、AB长为半径画弧，因此$AD=AE=AB=\sqrt{5}$：
点D在点A的右侧，因此点D对应的数$m=1+\sqrt{5}$；
点E在点A的左侧，因此点E对应的数$n=1-\sqrt{5}$。
(2) 把$x=m=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$：
$(\sqrt{5}+1)^2 + b(\sqrt{5}+1) -4 = 0$
展开完全平方整理得：$6+2\sqrt{5} + b(\sqrt{5}+1) -4 = 0$，即$2(\sqrt{5}+1)+b(\sqrt{5}+1)=0$
因为$\sqrt{5}+1≠0$，两边同时除以$\sqrt{5}+1$，解得$b=-2$。
(3) 琮琮说得不对，理由如下：
由(2)可得该一元二次方程为$x^2-2x-4=0$，将$x=n=-\sqrt{5}+1$代入方程左边：
左边$=(-\sqrt{5}+1)^2 -2(-\sqrt{5}+1)-4$
$=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$
左边等于右边，因此$x=n$也是该一元二次方程的根，所以琮琮的说法错误。
【答案】
(1) $m=\sqrt{5}+1$，$n=-\sqrt{5}+1$；
(2) $b=-2$；
(3) 琮琮说得不对，代入验证可知$x=n$也是该方程的根。
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，一元二次方程的根
【点评】
本题是几何与代数结合的小综合题，将勾股定理求无理数长度、数轴上点的表示、一元二次方程根的验证三个知识点结合，既考察基础运算能力，也考察跨模块知识的综合应用能力。学生容易出错的地方是计算数轴上D、E对应的数时，误将半径直接作为点的数值，忽略圆心A对应的数是1而非原点，代入方程展开完全平方时也容易出现计算错误。
【难度系数】
0.6
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 求m、n的值：首先根据数轴上点A、C的坐标算出AC的长度，结合已知的BC长度，用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB长；由于圆A的半径等于AB，因此AD=AE=AB，再结合点A在数轴上表示的数是1，向右叠加半径得到右侧交点D对应的数m，向左减去半径得到左侧交点E对应的数n。
2. 求b的值：根据一元二次方程根的定义，已知x=m是方程的根，直接将x=m代入给定方程，解关于b的一元一次方程即可得到b的结果。
3. 判断琮琮的说法是否正确：先把求出的b代入得到完整的一元二次方程，再将x=n代入方程计算左右两边，验证两边是否相等，若相等则说明n也是方程的根，即可判断琮琮的说法错误。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，点A表示数1，点C表示数3，因此$AC=3-1=2$，已知$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
由题意可知，以点A为圆心、AB长为半径画弧，因此$AD=AE=AB=\sqrt{5}$：
点D在点A的右侧，因此点D对应的数$m=1+\sqrt{5}$；
点E在点A的左侧，因此点E对应的数$n=1-\sqrt{5}$。
(2) 把$x=m=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2+bx-4=0$：
$(\sqrt{5}+1)^2 + b(\sqrt{5}+1) -4 = 0$
展开完全平方整理得：$6+2\sqrt{5} + b(\sqrt{5}+1) -4 = 0$，即$2(\sqrt{5}+1)+b(\sqrt{5}+1)=0$
因为$\sqrt{5}+1≠0$，两边同时除以$\sqrt{5}+1$，解得$b=-2$。
(3) 琮琮说得不对，理由如下：
由(2)可得该一元二次方程为$x^2-2x-4=0$，将$x=n=-\sqrt{5}+1$代入方程左边：
左边$=(-\sqrt{5}+1)^2 -2(-\sqrt{5}+1)-4$
$=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$
左边等于右边，因此$x=n$也是该一元二次方程的根，所以琮琮的说法错误。
【答案】
(1) $m=\sqrt{5}+1$，$n=-\sqrt{5}+1$；
(2) $b=-2$；
(3) 琮琮说得不对，代入验证可知$x=n$也是该方程的根。
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，一元二次方程的根
【点评】
本题是几何与代数结合的小综合题，将勾股定理求无理数长度、数轴上点的表示、一元二次方程根的验证三个知识点结合，既考察基础运算能力，也考察跨模块知识的综合应用能力。学生容易出错的地方是计算数轴上D、E对应的数时，误将半径直接作为点的数值，忽略圆心A对应的数是1而非原点，代入方程展开完全平方时也容易出现计算错误。
【难度系数】
0.6
