21.(10分)如图7-2-12,在$△ ABC$中,$∠ ABC$是钝角.
(1)作线段AB的垂直平分线MN.(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)设MN交AC于点P,若$PC=2PA$,$AB=\sqrt{2}$,$∠ A=45°$,求BC边的长.

图7-2-12

21. 提示:(1) 如图，MN垂直平分AB.
(2) 连结BP. 则$PB = PA.$
又$\because ∠ A = 45°,$
$\therefore ∠ PBA = 45°,$
$∠ APB = 90°.$
$\therefore PA^2 + PB^2 = AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2.$
$\therefore PA = PB = 1.\ \therefore PC = 2PA = 2.$
在$\mathrm{Rt}△ BCP$中，$BC^2 = PB^2 + PC^2 = 5,$
$\therefore BC = \sqrt{5}.$

22. (10分)【解决问题】
(1) 如图7-2-13,在等边$△ ABC$中,点M是BC边上的任意一点(不含端点B,C),连结AM,以AM为边作等边$△ AMN$,连结CN. $∠ ABC$与$∠ ACN$的大小关系如何?请说明理由.

图7-2-13
【类比探究】
(2) 如图7-2-14,在等边$△ ABC$中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中结论还成立吗?请说明理由.

图7-2-14
(3) 若点M是CB延长线上的任意一点(不含端点B),直接写出$∠ ACN$的度数.

22. 提示:(1)$∠ ACN = ∠ ABC$. 理由如下：
由等边$△ ABC$和等边$△ AMN$可得，
$AB = AC, AM = AN,$
$∠ BAM = ∠ CAN,$
$\therefore △ ABM ≌ △ ACN (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ ACN = ∠ ABC.$
(2) 可仿照(1)证明$△ ABM ≌ △ ACN$，从而可得结论仍然成立.
(3) 类似(1)(2)，可证$△ ABM ≌ △ ACN$，从而可得$∠ ACN = 120°.$