登录
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于.
三角形的内角和等于.
答案
解：$180°$
解析
【分析】
本题是基础概念识记类题目，直接考查三角形内角和定理的内容，解题时只需准确回忆该定理的固定结论，直接填写即可，无需复杂推导或计算。
【解析】
根据三角形内角和定理的内容：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对基础几何定理的识记掌握程度，该定理是三角形角度计算、相关几何证明的重要基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.95
本题是基础概念识记类题目，直接考查三角形内角和定理的内容，解题时只需准确回忆该定理的固定结论，直接填写即可，无需复杂推导或计算。
【解析】
根据三角形内角和定理的内容：任意三角形的三个内角的和等于180°，因此横线处应填入180°。
【答案】
$180°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对基础几何定理的识记掌握程度，该定理是三角形角度计算、相关几何证明的重要基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.95
【例1】一个三角形三个内角的度数之比为2:4:7，这个三角形一定是().
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，核心用到三角形内角和定理。解题思路如下：首先根据三个内角的度数比，设每份角度为x，将三个内角分别用含x的代数式表示；再结合三角形内角和为180°列方程，求出x的值；最后计算最大内角的度数，三角形按角分类由最大内角的类型决定：最大角＜90°为锐角三角形，=90°为直角三角形，＞90°为钝角三角形，据此即可判断三角形的类型。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为2x、4x、7x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
2x + 4x + 7x = 180°
合并同类项得：13x = 180°
解得：$x=\frac{180°}{13}$
则最大的内角度数为$7x=7×\frac{180°}{13}\approx96.9°$，96.9°＞90°，属于钝角。
因此这个三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形内角和应用的基础题型，解题关键是通过比例设未知数求出最大内角的度数，再根据最大角的类型判断三角形的种类，熟练掌握内角和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，核心用到三角形内角和定理。解题思路如下：首先根据三个内角的度数比，设每份角度为x，将三个内角分别用含x的代数式表示；再结合三角形内角和为180°列方程，求出x的值；最后计算最大内角的度数，三角形按角分类由最大内角的类型决定：最大角＜90°为锐角三角形，=90°为直角三角形，＞90°为钝角三角形，据此即可判断三角形的类型。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为2x、4x、7x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
2x + 4x + 7x = 180°
合并同类项得：13x = 180°
解得：$x=\frac{180°}{13}$
则最大的内角度数为$7x=7×\frac{180°}{13}\approx96.9°$，96.9°＞90°，属于钝角。
因此这个三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形内角和应用的基础题型，解题关键是通过比例设未知数求出最大内角的度数，再根据最大角的类型判断三角形的种类，熟练掌握内角和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【变式 1】如图，$∠ A = 65°$，$∠ ABD=30°$，$∠ ACB=72°$，且$CE$平分$∠ ACB$. 求$∠ BEC$的度数.
答案
解：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 65° - 72° = 43°
∵ ∠ABD = 30°
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABD = 43° - 30° = 13°
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=72°
∴ ∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
在△BEC中，由三角形内角和定理得：
∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - 13° - 36° = 131°
答：∠BEC的度数为131°。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 65° - 72° = 43°
∵ ∠ABD = 30°
∴ ∠EBC = ∠ABC - ∠ABD = 43° - 30° = 13°
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=72°
∴ ∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×72° = 36°
在△BEC中，由三角形内角和定理得：
∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - 13° - 36° = 131°
答：∠BEC的度数为131°。
解析
【分析】
要计算∠BEC的度数，首先观察到∠BEC是△BEC的内角，根据三角形内角和定理，只需要先求出△BEC中另外两个内角∠EBC和∠ECB的度数即可。第一步：先在△ABC中，利用三角形内角和求出∠ABC的度数，再减去已知的∠ABD得到∠EBC；第二步：根据CE平分∠ACB，结合已知的∠ACB的度数求出∠ECB的度数；最后再在△BEC中用内角和定理计算出∠BEC的度数。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 65° - 72° = 43°$
$\because ∠ ABD = 30°$
$\therefore ∠ EBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 43° - 30° = 13°$
$\because CE$平分$∠ ACB$，$∠ ACB=72°$
$\therefore ∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×72° = 36°$
在△BEC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BEC = 180° - ∠ EBC - ∠ ECB = 180° - 13° - 36° = 131°$
【答案】
$131°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的基础综合题，解题关键是逐步推导求出目标三角形中未知内角的度数，属于几何计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠BEC的度数，首先观察到∠BEC是△BEC的内角，根据三角形内角和定理，只需要先求出△BEC中另外两个内角∠EBC和∠ECB的度数即可。第一步：先在△ABC中，利用三角形内角和求出∠ABC的度数，再减去已知的∠ABD得到∠EBC；第二步：根据CE平分∠ACB，结合已知的∠ACB的度数求出∠ECB的度数；最后再在△BEC中用内角和定理计算出∠BEC的度数。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 65° - 72° = 43°$
$\because ∠ ABD = 30°$
$\therefore ∠ EBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 43° - 30° = 13°$
$\because CE$平分$∠ ACB$，$∠ ACB=72°$
$\therefore ∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×72° = 36°$
在△BEC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BEC = 180° - ∠ EBC - ∠ ECB = 180° - 13° - 36° = 131°$
【答案】
$131°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线的基础综合题，解题关键是逐步推导求出目标三角形中未知内角的度数，属于几何计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
【例2】如图,经测量,B处在A处的南偏西$60°$的方向,C处在A处的南偏东$20°$方向,BE为正北方向,且$∠ CBE = 100°$.求$∠ ACB$的度数.
答案
解：
由题意得，BE//AD，
∵ B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，
∴ ∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD = 60° + 20° = 80°。
∵ BE//AD，
∴ ∠EBA=∠BAD=60°（两直线平行，内错角相等），
又∵ ∠CBE=100°，
∴ ∠ABC=∠CBE - ∠EBA = 100° - 60° = 40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 80° - 40° = 60°。
答：∠ACB的度数为60°。
由题意得，BE//AD，
∵ B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，
∴ ∠BAD=60°，∠CAD=20°，
∴ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD = 60° + 20° = 80°。
∵ BE//AD，
∴ ∠EBA=∠BAD=60°（两直线平行，内错角相等），
又∵ ∠CBE=100°，
∴ ∠ABC=∠CBE - ∠EBA = 100° - 60° = 40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 80° - 40° = 60°。
答：∠ACB的度数为60°。
解析
【分析】
解题时先明确正北、正南方向线互相平行，第一步根据方向角的定义先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步利用平行线的内错角相等性质求出∠EBA，结合已知的∠CBE求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
由题意得，$BE// AD$，
∵ B处在A处的南偏西$60°$方向，C处在A处的南偏东$20°$方向，
∴ $∠ BAD=60°$，$∠ CAD=20°$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD + ∠ CAD = 60° + 20° = 80°$。
∵ $BE// AD$，
∴ $∠ EBA=∠ BAD=60°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠ CBE=100°$，
∴ $∠ ABC=∠ CBE - ∠ EBA = 100° - 60° = 40°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 80° - 40° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和的综合题，解题核心是准确理解方向角的含义，理清图形中角的和差关系，结合平行线性质和三角形内角和定理即可求解，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先明确正北、正南方向线互相平行，第一步根据方向角的定义先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步利用平行线的内错角相等性质求出∠EBA，结合已知的∠CBE求出∠ABC的度数；最后利用三角形内角和定理即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
由题意得，$BE// AD$，
∵ B处在A处的南偏西$60°$方向，C处在A处的南偏东$20°$方向，
∴ $∠ BAD=60°$，$∠ CAD=20°$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD + ∠ CAD = 60° + 20° = 80°$。
∵ $BE// AD$，
∴ $∠ EBA=∠ BAD=60°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠ CBE=100°$，
∴ $∠ ABC=∠ CBE - ∠ EBA = 100° - 60° = 40°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 80° - 40° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
方向角识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与三角形内角和的综合题，解题核心是准确理解方向角的含义，理清图形中角的和差关系，结合平行线性质和三角形内角和定理即可求解，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，$∠ A=35°$，则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4$的度数为。
答案
$\boldsymbol{290°}$
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和定理解题。先分别观察△AED和△ABC的内角构成：在△AED中，三个内角和为180°，可推出∠1+∠2与∠A的数量关系；同理在△ABC中可推出∠3+∠4与∠A的数量关系，将两个关系相加，代入已知∠A的度数即可求出四个角的总和。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。
在△AED中：$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，因此$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$；
在△ABC中：$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$，因此$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - ∠ A$；
将两式相加得：
$∠1+∠2+∠3+∠4=(180°-∠ A)+(180°-∠ A)=360°-2∠ A$
代入$∠ A=35°$，得：
$360° - 2×35° = 360° - 70° = 290°$
【答案】
$\boldsymbol{290°}$
【知识点】
三角形内角和定理、角度和差运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是灵活运用三角形内角和定理，找到所求角度和与已知角的关联，通过拆分两个三角形分别推导关系再合并计算即可，解题时注意不要漏乘2倍的∠A。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形内角和定理解题。先分别观察△AED和△ABC的内角构成：在△AED中，三个内角和为180°，可推出∠1+∠2与∠A的数量关系；同理在△ABC中可推出∠3+∠4与∠A的数量关系，将两个关系相加，代入已知∠A的度数即可求出四个角的总和。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。
在△AED中：$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，因此$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$；
在△ABC中：$∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$，因此$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - ∠ A$；
将两式相加得：
$∠1+∠2+∠3+∠4=(180°-∠ A)+(180°-∠ A)=360°-2∠ A$
代入$∠ A=35°$，得：
$360° - 2×35° = 360° - 70° = 290°$
【答案】
$\boldsymbol{290°}$
【知识点】
三角形内角和定理、角度和差运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是灵活运用三角形内角和定理，找到所求角度和与已知角的关联，通过拆分两个三角形分别推导关系再合并计算即可，解题时注意不要漏乘2倍的∠A。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ ABC$中，$∠ A = 35°$，$∠ B = 60°$，$∠ C$等于（）.
A.$115°$
B.$85°$
C.$75°$
D.$55°$
A.$115°$
B.$85°$
C.$75°$
D.$55°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出三角形中两个内角的度数，要求第三个角的度数，直接用内角和180°减去已知两个角的度数即可，最后将计算结果和选项匹配即可得到答案。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，在任意三角形中，三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A=35°$，$∠ B=60°$代入上式可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 35° - 60° = 85°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，直接考查三角形内角和定理的应用，计算难度低，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。本题已经给出三角形中两个内角的度数，要求第三个角的度数，直接用内角和180°减去已知两个角的度数即可，最后将计算结果和选项匹配即可得到答案。
【解析】
根据三角形内角和定理可知，在任意三角形中，三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A=35°$，$∠ B=60°$代入上式可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 35° - 60° = 85°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，直接考查三角形内角和定理的应用，计算难度低，掌握基础定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中,若$∠ A=36°,∠ B:∠ C=1:5$,则$∠ C$等于().
A.$120°$
B.$100°$
C.$24°$
D.$20°$
A.$120°$
B.$100°$
C.$24°$
D.$20°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知∠A的度数，可先求出∠B与∠C的度数和；再结合∠B和∠C的比例关系，通过设未知数或者按比例分配的方法即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为180°。
已知∠A=36°，则∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 36° = 144°。
∵∠B:∠C=1:5，设∠B的度数为x，则∠C的度数为5x，可得：
$x + 5x = 144°$
$6x = 144°$
解得$x=24°$
∴$∠ C=5x=5×24°=120°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用三角形内角和定理，结合角度的比例关系进行计算，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。已知∠A的度数，可先求出∠B与∠C的度数和；再结合∠B和∠C的比例关系，通过设未知数或者按比例分配的方法即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，△ABC的内角和为180°。
已知∠A=36°，则∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 36° = 144°。
∵∠B:∠C=1:5，设∠B的度数为x，则∠C的度数为5x，可得：
$x + 5x = 144°$
$6x = 144°$
解得$x=24°$
∴$∠ C=5x=5×24°=120°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用三角形内角和定理，结合角度的比例关系进行计算，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
