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9. 由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体,从正面和上面看到的形状图如图所示,则它最少需要个小立方块搭成,最多需要个小立方块搭成。
答案
7；9
解析
【分析】
解题时先明确两个视图的作用：从上面看到的形状图能确定几何体底层的小立方块数量，每个对应方格位置至少有1个小立方块；从正面看到的形状图能确定每一列的最大层数。再分别对每一列分析最少、最多需要的小立方块数量，求和即可得到结果。
【解析】
1. 观察从上面看到的形状图：共有4个小正方形，说明几何体的底层固定有4个小立方块，每个方格对应位置至少有1个小立方块。
2. 观察从正面看到的形状图：共有3列，左列最高3层，中列最高2层，右列最高1层。
3. 分列计算数量：
右列：从上面看仅对应1个位置，所以该位置只能是1层，共1个小立方块；
中列：从上面看仅对应1个位置，所以该位置只能是2层，共2个小立方块；
左列：从上面看对应2个位置：
最少情况：仅1个位置达到3层，另1个位置为1层，合计$3+1=4$个；
最多情况：2个位置都达到3层，合计$3+3=6$个。
4. 计算总个数：
最少需要小立方块：$4+2+1=7$个；
最多需要小立方块：$6+2+1=9$个。
【答案】
7；9
【知识点】
三视图识别，小立方块计数
【点评】
本题是三视图的典型考题，核心是理解俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度的规律，解题时注意分类讨论最多和最少的组合情况，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个视图的作用：从上面看到的形状图能确定几何体底层的小立方块数量，每个对应方格位置至少有1个小立方块；从正面看到的形状图能确定每一列的最大层数。再分别对每一列分析最少、最多需要的小立方块数量，求和即可得到结果。
【解析】
1. 观察从上面看到的形状图：共有4个小正方形，说明几何体的底层固定有4个小立方块，每个方格对应位置至少有1个小立方块。
2. 观察从正面看到的形状图：共有3列，左列最高3层，中列最高2层，右列最高1层。
3. 分列计算数量：
右列：从上面看仅对应1个位置，所以该位置只能是1层，共1个小立方块；
中列：从上面看仅对应1个位置，所以该位置只能是2层，共2个小立方块；
左列：从上面看对应2个位置：
最少情况：仅1个位置达到3层，另1个位置为1层，合计$3+1=4$个；
最多情况：2个位置都达到3层，合计$3+3=6$个。
4. 计算总个数：
最少需要小立方块：$4+2+1=7$个；
最多需要小立方块：$6+2+1=9$个。
【答案】
7；9
【知识点】
三视图识别，小立方块计数
【点评】
本题是三视图的典型考题，核心是理解俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度的规律，解题时注意分类讨论最多和最少的组合情况，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图是由11个小正方体搭成的几何体。
(1)请分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图；
(2)小正方体的棱长为3 cm，现要给该几何体表面涂色(不含底面)，求涂上颜色部分的总面积；
(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，分别从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有种添加方法，画出添加正方体后，从上面看到的形状图的一种画法，并在小正方形中用数字表示该位置小正方体的个数。
(1)请分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图；
(2)小正方体的棱长为3 cm，现要给该几何体表面涂色(不含底面)，求涂上颜色部分的总面积；
(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，分别从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有种添加方法，画出添加正方体后，从上面看到的形状图的一种画法，并在小正方形中用数字表示该位置小正方体的个数。
答案
解：
(1) 绘制形状图如下：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，所有小正方形底部对齐；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形底部对齐；
从上面看：共3行4列，第一行（最后排）第1、4列有小正方形，第二行（中间排）第1、2、3、4列有小正方形，第三行（最前排）第2列有小正方形。
(2) 单个小正方形面的面积为：$3 × 3 = 9\ \mathrm{cm}^2$
统计涂色面总数（不含底面）：正面7个面，背面7个面，左面6个面，右面6个面，上面7个面，总面数为 $7+7+6+6+7=33$
涂上颜色部分的总面积为：$33 × 9 = 297\ \mathrm{cm}^2$
(3) $\boldsymbol{4}$
添加正方体后从上面看的一种画法：
| 3 | 1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| | 1 | | |
（注：表格对应3行4列的网格，数字代表对应位置小正方体的个数，新增正方体放置在最后排左数第2列位置，符合要求即可）
答：涂上颜色部分的总面积为$297\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 绘制形状图如下：
从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，所有小正方形底部对齐；
从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形底部对齐；
从上面看：共3行4列，第一行（最后排）第1、4列有小正方形，第二行（中间排）第1、2、3、4列有小正方形，第三行（最前排）第2列有小正方形。
(2) 单个小正方形面的面积为：$3 × 3 = 9\ \mathrm{cm}^2$
统计涂色面总数（不含底面）：正面7个面，背面7个面，左面6个面，右面6个面，上面7个面，总面数为 $7+7+6+6+7=33$
涂上颜色部分的总面积为：$33 × 9 = 297\ \mathrm{cm}^2$
(3) $\boldsymbol{4}$
添加正方体后从上面看的一种画法：
| 3 | 1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| | 1 | | |
（注：表格对应3行4列的网格，数字代表对应位置小正方体的个数，新增正方体放置在最后排左数第2列位置，符合要求即可）
答：涂上颜色部分的总面积为$297\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 画三视图思路：①从正面看：站在几何体正前方观察，统计横向列数和每列小正方体的最高层数，底部对齐绘制即可；②从左面看：站在几何体左侧观察，同样统计横向列数和每列最高层数，底部对齐绘制；③从上面看：站在几何体上方观察，对应画出每行每列有正方体的位置即可。
(2) 求涂色面积思路：先算出单个小正方形面的面积，再统计不含底面的前、后、左、右、上5个方向的面的总数量，其中前后方向面数和正视图正方形数相等，左右方向面数和左视图正方形数相等，上面面数和俯视图正方形数相等，总面数乘单个面的面积即可得到涂色总面积。
(3) 求添加方法数思路：添加正方体后正视图、左视图和原来相同，说明添加后各列的最高层数不能超过原来正视图、左视图对应列的最高层数。结合俯视图的各个位置，逐一判断哪些位置添加正方体后不改变两个视图的最高层数，符合条件的位置数就是添加方法数。
【解析】
(1) 三视图绘制：
①从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，所有小正方形底部对齐；
②从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形底部对齐；
③从上面看：共3行4列，第一行（最后排）第1、4列有小正方形，第二行（中间排）第1、2、3、4列有小正方形，第三行（最前排）第2列有小正方形。
(2) 计算涂色面积：
单个小正方形面的面积：$3×3=9\ \mathrm{cm}^2$
统计各方向涂色面数：正面7个面，背面和正面面数相同为7个，左面6个面，右面和左面面数相同为6个，上面7个面，总面数为$7+7+6+6+7=33$
涂色总面积：$33×9=297\ \mathrm{cm}^2$
(3) 经判断符合要求的添加位置共4种，其中一种添加后从上面看的形状图如下（数字代表对应位置小正方体的个数）：
| 3 | 1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| | 1 | | |
（添加位置不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) 见解析中三视图描述；
(2) 涂上颜色部分的总面积为$297\ \mathrm{cm}^2$；
(3) $\boldsymbol{4}$，添加后的俯视图示例见解析。
【知识点】
三视图的画法，几何体表面积计算，三视图的应用
【点评】
本题综合考查了三视图的绘制、几何体表面积计算以及三视图的逆向应用，要求学生具备基础的空间想象能力，能准确分析几何体的结构特征。第三问需要结合正、左视图的层数限制判断可添加位置，容易出现漏数的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 画三视图思路：①从正面看：站在几何体正前方观察，统计横向列数和每列小正方体的最高层数，底部对齐绘制即可；②从左面看：站在几何体左侧观察，同样统计横向列数和每列最高层数，底部对齐绘制；③从上面看：站在几何体上方观察，对应画出每行每列有正方体的位置即可。
(2) 求涂色面积思路：先算出单个小正方形面的面积，再统计不含底面的前、后、左、右、上5个方向的面的总数量，其中前后方向面数和正视图正方形数相等，左右方向面数和左视图正方形数相等，上面面数和俯视图正方形数相等，总面数乘单个面的面积即可得到涂色总面积。
(3) 求添加方法数思路：添加正方体后正视图、左视图和原来相同，说明添加后各列的最高层数不能超过原来正视图、左视图对应列的最高层数。结合俯视图的各个位置，逐一判断哪些位置添加正方体后不改变两个视图的最高层数，符合条件的位置数就是添加方法数。
【解析】
(1) 三视图绘制：
①从正面看：共4列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、1、2，所有小正方形底部对齐；
②从左面看：共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形底部对齐；
③从上面看：共3行4列，第一行（最后排）第1、4列有小正方形，第二行（中间排）第1、2、3、4列有小正方形，第三行（最前排）第2列有小正方形。
(2) 计算涂色面积：
单个小正方形面的面积：$3×3=9\ \mathrm{cm}^2$
统计各方向涂色面数：正面7个面，背面和正面面数相同为7个，左面6个面，右面和左面面数相同为6个，上面7个面，总面数为$7+7+6+6+7=33$
涂色总面积：$33×9=297\ \mathrm{cm}^2$
(3) 经判断符合要求的添加位置共4种，其中一种添加后从上面看的形状图如下（数字代表对应位置小正方体的个数）：
| 3 | 1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| | 1 | | |
（添加位置不唯一，符合要求即可）
【答案】
(1) 见解析中三视图描述；
(2) 涂上颜色部分的总面积为$297\ \mathrm{cm}^2$；
(3) $\boldsymbol{4}$，添加后的俯视图示例见解析。
【知识点】
三视图的画法，几何体表面积计算，三视图的应用
【点评】
本题综合考查了三视图的绘制、几何体表面积计算以及三视图的逆向应用，要求学生具备基础的空间想象能力，能准确分析几何体的结构特征。第三问需要结合正、左视图的层数限制判断可添加位置，容易出现漏数的错误。
【难度系数】
0.6
