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引入 计算：
(1)$(x+4)^2=(x+4)(x+4)=$
(1)$(x+4)^2=(x+4)(x+4)=$
$x^2 + 8x + 16$
；(2)$(m-2)^2=(m-2)(m-2)=$$m^2 - 4m + 4$
.答案
1. $x^2 + 8x + 16$ 2. $m^2 - 4m + 4$
解析
【分析】
本题考查整式乘法运算，有两种解题思路：一是利用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所得的积相加、合并同类项得到结果；二是直接套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先确定式子中对应$a$、$b$的部分，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 利用多项式乘多项式法则计算：
$(x+4)(x+4)=x· x + x· 4 + 4· x + 4×4=x^2+4x+4x+16=x^2+8x+16$
也可直接用完全平方公式：把$a$看作$x$、$b$看作$4$，代入得$(x+4)^2=x^2+2· x·4 +4^2=x^2+8x+16$。
(2) 利用多项式乘多项式法则计算：
$(m-2)(m-2)=m· m + m×(-2) + (-2)· m + (-2)×(-2)=m^2-2m-2m+4=m^2-4m+4$
也可直接用完全平方公式：把$a$看作$m$、$b$看作$2$，代入得$(m-2)^2=m^2-2· m·2 +2^2=m^2-4m+4$。
【答案】
(1)$x^2 + 8x + 16$；(2)$m^2 - 4m + 4$
【知识点】
完全平方公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，既可以用多项式乘法的通用方法计算，也可以直接套用公式求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征，能有效提高整式乘法的运算速度和准确率，是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查整式乘法运算，有两种解题思路：一是利用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所得的积相加、合并同类项得到结果；二是直接套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，先确定式子中对应$a$、$b$的部分，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 利用多项式乘多项式法则计算：
$(x+4)(x+4)=x· x + x· 4 + 4· x + 4×4=x^2+4x+4x+16=x^2+8x+16$
也可直接用完全平方公式：把$a$看作$x$、$b$看作$4$，代入得$(x+4)^2=x^2+2· x·4 +4^2=x^2+8x+16$。
(2) 利用多项式乘多项式法则计算：
$(m-2)(m-2)=m· m + m×(-2) + (-2)· m + (-2)×(-2)=m^2-2m-2m+4=m^2-4m+4$
也可直接用完全平方公式：把$a$看作$m$、$b$看作$2$，代入得$(m-2)^2=m^2-2· m·2 +2^2=m^2-4m+4$。
【答案】
(1)$x^2 + 8x + 16$；(2)$m^2 - 4m + 4$
【知识点】
完全平方公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，既可以用多项式乘法的通用方法计算，也可以直接套用公式求解，熟练掌握完全平方公式的结构特征，能有效提高整式乘法的运算速度和准确率，是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
归纳 完全平方公式:(1)$(a+b)^2 =$
几何意义 你能根据
、中图形的面积说明完全平方公式吗？完成下列问题.
(1)分别在、的横线上写出各部分的面积；
(2)根据总面积与各部分面积之间的关系,写出两个等式.由写出的等式是$(a+b)^2 =$
$a^2 + 2ab + b^2$
;(2)$(a-b)^2 =$$a^2 - 2ab + b^2$
,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和
,加上(或减去)它们的积的2
倍.(口诀:首平方加尾平方,首尾乘积2倍放中央)几何意义 你能根据
、中图形的面积说明完全平方公式吗？完成下列问题.(1)分别在、的横线上写出各部分的面积；
(2)根据总面积与各部分面积之间的关系,写出两个等式.由写出的等式是$(a+b)^2 =$
$a^2 + 2ab + b^2$
,由写出的等式是$(a-b)^2 =$$a^2 - 2b(a - b) - b^2$
=$a^2 - 2ab + b^2$
.答案
(1)
、
(2) $a^2 + 2ab + b^2$ $a^2 - 2b(a - b) - b^2$ $a^2 - 2ab + b^2$解析
【分析】
解题时先结合完全平方公式的口诀记忆其结构特征，再通过几何面积法推导验证：①图1是边长为$(a+b)$的大正方形，总面积等于分割的4个小图形面积之和，将各部分面积相加即可得到$(a+b)^2$的展开式；②图2是边长为$a$的大正方形，总面积等于中间边长为$(a-b)$的正方形面积加周边3个小图形的面积，通过移项、化简即可得到$(a-b)^2$的展开式，文字描述部分对应口诀填写即可。
【解析】
归纳部分
根据完全平方公式的定义：
1. 两个数的和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 两个数的差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，与口诀“首平方加尾平方，首尾乘积2倍放中央”对应。
几何意义部分
1. 面积标注：图1中空白区域面积分别为上左$ab$、下左$a^2$、下右$ab$，对应；图2中空白区域面积分别为上左$b(a-b)$、下右$b(a-b)$，对应。
2. 面积关系推导：
图1总面积为$(a+b)^2$，等于4块小图形面积之和：$(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
图2总面积为$a^2$，满足$a^2=(a-b)^2+2b(a-b)+b^2$，移项得$(a-b)^2=a^2-2b(a-b)-b^2$，展开化简得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
【答案】
归纳：(1)$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2}$；(2)$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$，和，$\boldsymbol{2}$
几何意义：(1)、
(2) $\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2}$；$\boldsymbol{a^2 - 2b(a - b) - b^2}$；$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2}$
【知识点】
完全平方公式；面积法推导公式；整式乘法
【点评】
本题借助几何图形的面积关系推导完全平方公式，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生直观理解完全平方公式的结构特征，是乘法公式模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合完全平方公式的口诀记忆其结构特征，再通过几何面积法推导验证：①图1是边长为$(a+b)$的大正方形，总面积等于分割的4个小图形面积之和，将各部分面积相加即可得到$(a+b)^2$的展开式；②图2是边长为$a$的大正方形，总面积等于中间边长为$(a-b)$的正方形面积加周边3个小图形的面积，通过移项、化简即可得到$(a-b)^2$的展开式，文字描述部分对应口诀填写即可。
【解析】
归纳部分
根据完全平方公式的定义：
1. 两个数的和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. 两个数的差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，与口诀“首平方加尾平方，首尾乘积2倍放中央”对应。
几何意义部分
1. 面积标注：图1中空白区域面积分别为上左$ab$、下左$a^2$、下右$ab$，对应
；图2中空白区域面积分别为上左$b(a-b)$、下右$b(a-b)$，对应。2. 面积关系推导：
图1总面积为$(a+b)^2$，等于4块小图形面积之和：$(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
图2总面积为$a^2$，满足$a^2=(a-b)^2+2b(a-b)+b^2$，移项得$(a-b)^2=a^2-2b(a-b)-b^2$，展开化简得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
【答案】
归纳：(1)$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2}$；(2)$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$，和，$\boldsymbol{2}$
几何意义：(1)
、(2) $\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2}$；$\boldsymbol{a^2 - 2b(a - b) - b^2}$；$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2}$
【知识点】
完全平方公式；面积法推导公式；整式乘法
【点评】
本题借助几何图形的面积关系推导完全平方公式，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生直观理解完全平方公式的结构特征，是乘法公式模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
1.【例1】根据完全平方公式填空：
(1)$(4m + n)^2 = ($
(2)$(y - \frac{1}{2})^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2 - 2 × (\_\_\_\_\_\_) × (\_\_\_\_\_\_) + (\_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
(1)$(4m + n)^2 = ($
$4m$
$)^2 + 2 · ($$4m$
$) · ($$n$
$) + ($$n$
$)^2 = $$16m^2 + 8mn + n^2$
$;$(2)$(y - \frac{1}{2})^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2 - 2 × (\_\_\_\_\_\_) × (\_\_\_\_\_\_) + (\_\_\_\_\_\_)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
1. (1) $4m$ $4m$ $n$ $n$ $16m^2 + 8mn + n^2$ (2) $y$ $y$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $y^2 - y + \frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题首先要熟记完全平方公式的结构：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们乘积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题时先确定每个式子中对应公式里的“a”和“b”，再按公式结构依次填空，最后展开化简得到结果即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$计算：
(1) 式子$(4m + n)^2$对应和的平方公式，其中$a=4m$，$b=n$，代入得：
$(4m + n)^2 = (4m)^2 + 2·4m·n + n^2 = 16m^2 + 8mn + n^2$
(2) 式子$(y - \frac{1}{2})^2$对应差的平方公式，其中$a=y$，$b=\frac{1}{2}$，代入得：
$(y - \frac{1}{2})^2 = y^2 - 2·y·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = y^2 - y + \frac{1}{4}$
【答案】
(1) $4m$；$4m$；$n$；$n$；$16m^2 + 8mn + n^2$
(2) $y$；$y$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；$y^2 - y + \frac{1}{4}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是准确匹配公式中的a、b项，熟练掌握和、差平方的公式结构，能帮助使用者夯实完全平方公式的记忆，避免后续使用时出现符号错误、漏乘2倍项等常见问题。
【难度系数】
0.9
解题首先要熟记完全平方公式的结构：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们乘积的2倍，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题时先确定每个式子中对应公式里的“a”和“b”，再按公式结构依次填空，最后展开化简得到结果即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$计算：
(1) 式子$(4m + n)^2$对应和的平方公式，其中$a=4m$，$b=n$，代入得：
$(4m + n)^2 = (4m)^2 + 2·4m·n + n^2 = 16m^2 + 8mn + n^2$
(2) 式子$(y - \frac{1}{2})^2$对应差的平方公式，其中$a=y$，$b=\frac{1}{2}$，代入得：
$(y - \frac{1}{2})^2 = y^2 - 2·y·\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = y^2 - y + \frac{1}{4}$
【答案】
(1) $4m$；$4m$；$n$；$n$；$16m^2 + 8mn + n^2$
(2) $y$；$y$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；$y^2 - y + \frac{1}{4}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心是准确匹配公式中的a、b项，熟练掌握和、差平方的公式结构，能帮助使用者夯实完全平方公式的记忆，避免后续使用时出现符号错误、漏乘2倍项等常见问题。
【难度系数】
0.9
3.【例2】计算：
(1)$(-3x + 2)^2$； (2)$(2 - 3x)^2$.
思考：比较(1)和(2)，你发现了什么？
(1)$(-3x + 2)^2$； (2)$(2 - 3x)^2$.
思考：比较(1)和(2)，你发现了什么？
答案
1. 解:原式 = $(-3x)^2 + 2 · (-3x) · 2 + 2^2$
= $9x^2 - 12x + 4$.
2. 解:原式 = $2^2 - 2 × 2 · (3x) + (3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$.
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$
= $9x^2 - 12x + 4$.
2. 解:原式 = $2^2 - 2 × 2 · (3x) + (3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$.
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：1. 先明确完全平方公式的结构：和的完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，差的完全平方公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；2. 第(1)题将$-3x$看作公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，套用和的完全平方公式计算；3. 第(2)题将$2$看作公式中的$a$，$3x$看作公式中的$b$，套用差的完全平方公式计算；4. 对比两个式子的计算结果，总结规律即可。
【解析】
(1) 计算$(-3x + 2)^2$：
原式 = $(-3x)^2 + 2 · (-3x) · 2 + 2^2$
= $9x^2 - 12x + 4$
(2) 计算$(2 - 3x)^2$：
原式 = $2^2 - 2 × 2 · (3x) + (3x)^2$
= $4 - 12x + 9x^2$
对比两个计算结果可发现：两个式子的计算结果相等，即$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$。
【答案】
(1) $9x^2 - 12x + 4$；
(2) $9x^2 - 12x + 4$；
发现：$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$，互为相反数的两个代数式的平方相等。
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算、平方的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查完全平方公式的应用，通过两组式子的计算对比，能帮助理解完全平方公式的结构特征，同时强化“互为相反数的两数平方相等”的规律，计算时需注意识别公式中的对应项，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：1. 先明确完全平方公式的结构：和的完全平方公式为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，差的完全平方公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；2. 第(1)题将$-3x$看作公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，套用和的完全平方公式计算；3. 第(2)题将$2$看作公式中的$a$，$3x$看作公式中的$b$，套用差的完全平方公式计算；4. 对比两个式子的计算结果，总结规律即可。
【解析】
(1) 计算$(-3x + 2)^2$：
原式 = $(-3x)^2 + 2 · (-3x) · 2 + 2^2$
= $9x^2 - 12x + 4$
(2) 计算$(2 - 3x)^2$：
原式 = $2^2 - 2 × 2 · (3x) + (3x)^2$
= $4 - 12x + 9x^2$
对比两个计算结果可发现：两个式子的计算结果相等，即$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$。
【答案】
(1) $9x^2 - 12x + 4$；
(2) $9x^2 - 12x + 4$；
发现：$(-3x+2)^2=(2-3x)^2$，互为相反数的两个代数式的平方相等。
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算、平方的性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查完全平方公式的应用，通过两组式子的计算对比，能帮助理解完全平方公式的结构特征，同时强化“互为相反数的两数平方相等”的规律，计算时需注意识别公式中的对应项，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.85
2. 根据完全平方公式填空：
(1)$(3 + a)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(5 - a)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(7 - 2x)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{3}y)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
(1)$(3 + a)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(5 - a)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(7 - 2x)^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{3}y)^2 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
1. $9 + 6a + a^2$ 2. $25 - 10a + a^2$ 3. $49 - 28x + 4x^2$ 4. $\frac{9}{4}x^2 - xy + \frac{1}{9}y^2$
解析
【分析】
解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式：①两数和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；②两数差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题时先判断每个式子属于“和的平方”还是“差的平方”，再准确对应找到公式中的a、b两个项（可以是常数、单项式），最后代入公式计算即可，计算时要注意项的系数也要参与平方运算，中间项的符号和系数不要出错。
【解析】
(1) 式子为两数和的平方，对应$a=3$，$b=a$，代入和的完全平方公式：
$(3+a)^2=3^2 + 2×3× a + a^2=9+6a+a^2$
(2) 式子为两数差的平方，对应$a=5$，$b=a$，代入差的完全平方公式：
$(5-a)^2=5^2 - 2×5× a + a^2=25-10a+a^2$
(3) 式子为两数差的平方，对应$a=7$，$b=2x$，代入差的完全平方公式：
$(7-2x)^2=7^2 - 2×7×2x + (2x)^2=49-28x+4x^2$
(4) 式子为两数差的平方，对应$a=\frac{3}{2}x$，$b=\frac{1}{3}y$，代入差的完全平方公式：
$(\frac{3}{2}x - \frac{1}{3}y)^2=(\frac{3}{2}x)^2 - 2×\frac{3}{2}x×\frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2=\frac{9}{4}x^2 - xy + \frac{1}{9}y^2$
【答案】
(1)$9 + 6a + a^2$；(2)$25 - 10a + a^2$；(3)$49 - 28x + 4x^2$；(4)$\frac{9}{4}x^2 - xy + \frac{1}{9}y^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的对应项，牢记“首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方”的计算口诀，可有效避免中间项符号错误、系数漏乘等常见问题。
【难度系数】
0.85
解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式：①两数和的平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；②两数差的平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题时先判断每个式子属于“和的平方”还是“差的平方”，再准确对应找到公式中的a、b两个项（可以是常数、单项式），最后代入公式计算即可，计算时要注意项的系数也要参与平方运算，中间项的符号和系数不要出错。
【解析】
(1) 式子为两数和的平方，对应$a=3$，$b=a$，代入和的完全平方公式：
$(3+a)^2=3^2 + 2×3× a + a^2=9+6a+a^2$
(2) 式子为两数差的平方，对应$a=5$，$b=a$，代入差的完全平方公式：
$(5-a)^2=5^2 - 2×5× a + a^2=25-10a+a^2$
(3) 式子为两数差的平方，对应$a=7$，$b=2x$，代入差的完全平方公式：
$(7-2x)^2=7^2 - 2×7×2x + (2x)^2=49-28x+4x^2$
(4) 式子为两数差的平方，对应$a=\frac{3}{2}x$，$b=\frac{1}{3}y$，代入差的完全平方公式：
$(\frac{3}{2}x - \frac{1}{3}y)^2=(\frac{3}{2}x)^2 - 2×\frac{3}{2}x×\frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2=\frac{9}{4}x^2 - xy + \frac{1}{9}y^2$
【答案】
(1)$9 + 6a + a^2$；(2)$25 - 10a + a^2$；(3)$49 - 28x + 4x^2$；(4)$\frac{9}{4}x^2 - xy + \frac{1}{9}y^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的对应项，牢记“首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方”的计算口诀，可有效避免中间项符号错误、系数漏乘等常见问题。
【难度系数】
0.85
4. 计算:
(1) $(4a + b)^2$；
(2) $(-4a - b)^2$.
思考:比较(1)和(2),你发现了什么？
(1) $(4a + b)^2$；
(2) $(-4a - b)^2$.
思考:比较(1)和(2),你发现了什么？
答案
1. 解:原式 = $(4a)^2 + 2 · (4a) · b + b^2$
= $16a^2 + 8ab + b^2$.
2. 解:原式 = $(-4a)^2 - 2 · (-4a) · b + b^2$
= $16a^2 + 8ab + b^2$.
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-4a-b)^2=(4a+b)^2$
= $16a^2 + 8ab + b^2$.
2. 解:原式 = $(-4a)^2 - 2 · (-4a) · b + b^2$
= $16a^2 + 8ab + b^2$.
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-4a-b)^2=(4a+b)^2$
解析
【分析】
这两道题考查完全平方公式的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时先确定公式中对应的两个项，再代入公式计算即可。第(1)题直接把$4a$、$b$分别看作公式里的$a$和$b$，套用两数和的完全平方公式计算；第(2)题可以把$-4a$看作公式里的$a$、$b$看作公式里的减数，套用两数差的完全平方公式计算，也可以先将原式变形为$[-(4a+b)]^2$，结合负数偶次幂为正的性质转化为第(1)题的形式计算，最后对比两个结果总结规律。
【解析】
(1) 计算$(4a + b)^2$，套用两数和的完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4a)^2 + 2·(4a)· b + b^2\\&=16a^2 + 8ab + b^2\end{aligned}$
(2) 计算$(-4a - b)^2$，将式子看作$[(-4a)-b]^2$，套用两数差的完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-4a)^2 - 2·(-4a)· b + b^2\\&=16a^2 + 8ab + b^2\end{aligned}$
对比两个计算结果，可发现规律。
【答案】
(1) $16a^2 + 8ab + b^2$；
(2) $16a^2 + 8ab + b^2$；
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-4a-b)^2=(4a+b)^2$
【知识点】
完全平方公式；偶次幂的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是准确识别公式对应的两项，注意符号的正确处理。通过两道题的对比，可以直观发现互为相反数的两个代数式的平方相等，有助于加深对完全平方公式和乘方性质的理解。
【难度系数】
0.8
这两道题考查完全平方公式的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时先确定公式中对应的两个项，再代入公式计算即可。第(1)题直接把$4a$、$b$分别看作公式里的$a$和$b$，套用两数和的完全平方公式计算；第(2)题可以把$-4a$看作公式里的$a$、$b$看作公式里的减数，套用两数差的完全平方公式计算，也可以先将原式变形为$[-(4a+b)]^2$，结合负数偶次幂为正的性质转化为第(1)题的形式计算，最后对比两个结果总结规律。
【解析】
(1) 计算$(4a + b)^2$，套用两数和的完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4a)^2 + 2·(4a)· b + b^2\\&=16a^2 + 8ab + b^2\end{aligned}$
(2) 计算$(-4a - b)^2$，将式子看作$[(-4a)-b]^2$，套用两数差的完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-4a)^2 - 2·(-4a)· b + b^2\\&=16a^2 + 8ab + b^2\end{aligned}$
对比两个计算结果，可发现规律。
【答案】
(1) $16a^2 + 8ab + b^2$；
(2) $16a^2 + 8ab + b^2$；
发现：两个式子的计算结果相等，即$(-4a-b)^2=(4a+b)^2$
【知识点】
完全平方公式；偶次幂的性质
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题关键是准确识别公式对应的两项，注意符号的正确处理。通过两道题的对比，可以直观发现互为相反数的两个代数式的平方相等，有助于加深对完全平方公式和乘方性质的理解。
【难度系数】
0.8
5.【例3】运用完全平方公式计算：$101^2$
答案
解:原式 = $(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 × 100 × 1 + 1^2$
= $10\ 000 + 200 + 1 = 10\ 201$.
= $10\ 000 + 200 + 1 = 10\ 201$.
解析
【分析】
计算$101^2$时，直接列竖式计算101×101计算量较大，观察可得101可以拆分为整百数100与1的和，拆分后的两个数都便于计算，此时可利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行简便运算，先完成数字拆分，再代入公式展开各项，最后合并计算结果即可。
【解析】
解:原式 = $(100 + 1)^2$
$= 100^2 + 2 × 100 × 1 + 1^2$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$
【答案】
$10201$
【知识点】
1.完全平方公式
2.凑整简便运算
【点评】
本题是完全平方公式在简便运算中的典型应用，核心思路是将接近整十、整百的数拆分为易计算的整数的和或差，再套用公式降低计算难度，是乘法公式的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
计算$101^2$时，直接列竖式计算101×101计算量较大，观察可得101可以拆分为整百数100与1的和，拆分后的两个数都便于计算，此时可利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行简便运算，先完成数字拆分，再代入公式展开各项，最后合并计算结果即可。
【解析】
解:原式 = $(100 + 1)^2$
$= 100^2 + 2 × 100 × 1 + 1^2$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$
【答案】
$10201$
【知识点】
1.完全平方公式
2.凑整简便运算
【点评】
本题是完全平方公式在简便运算中的典型应用，核心思路是将接近整十、整百的数拆分为易计算的整数的和或差，再套用公式降低计算难度，是乘法公式的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
6. 运用完全平方公式计算:$199^2$.
答案
解:原式 = $(200 - 1)^2 = 200^2 - 2 × 200 × 1 + 1^2$
= $40\ 000 - 400 + 1 = 39\ 601$.
= $40\ 000 - 400 + 1 = 39\ 601$.
解析
【分析】
观察到底数199接近整百数200，直接计算199×199计算量较大，因此可以将199拆成200-1的形式，再利用完全平方差公式展开计算，把复杂的两位数平方运算转化为简单的整数乘方、乘法和加减混合运算，降低计算难度，计算时注意完全平方公式展开后各项的符号不要出错。
【解析】
解：$199^2$
$=(200 - 1)^2$
$=200^2 - 2 × 200 × 1 + 1^2$
$=40000 - 400 + 1$
$=39601$
【答案】
$39601$
【知识点】
完全平方公式、有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的实际应用类题目，解题关键是合理拆分底数，通过凑整的方式将复杂运算简化，熟练掌握这类技巧能大幅提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.85
观察到底数199接近整百数200，直接计算199×199计算量较大，因此可以将199拆成200-1的形式，再利用完全平方差公式展开计算，把复杂的两位数平方运算转化为简单的整数乘方、乘法和加减混合运算，降低计算难度，计算时注意完全平方公式展开后各项的符号不要出错。
【解析】
解：$199^2$
$=(200 - 1)^2$
$=200^2 - 2 × 200 × 1 + 1^2$
$=40000 - 400 + 1$
$=39601$
【答案】
$39601$
【知识点】
完全平方公式、有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的实际应用类题目，解题关键是合理拆分底数，通过凑整的方式将复杂运算简化，熟练掌握这类技巧能大幅提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.85
