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一、仰角、俯角类问题
1. 如图，无人机在离地面 40 m 高的 D 处，测得操控者 A 的俯角为 $30°$，测得楼 BC 楼顶 C 处的俯角为 $45°$，又经过人工测量得到操控者 A 和大楼 BC 之间的水平距离是 80 m，则楼 BC 的高度是多少米（点 A,B,C,D 都在同一平面内，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）？
1. 如图，无人机在离地面 40 m 高的 D 处，测得操控者 A 的俯角为 $30°$，测得楼 BC 楼顶 C 处的俯角为 $45°$，又经过人工测量得到操控者 A 和大楼 BC 之间的水平距离是 80 m，则楼 BC 的高度是多少米（点 A,B,C,D 都在同一平面内，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$）？
答案
1. 解:如图,过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F，
则四边形 BCFE 是矩形.
由题意,得 $AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,$∠ CDF=90°-45°=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ AED=90°$.
$\because\tan∠ ADE=\dfrac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$,
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形,
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中,$∠ DFC=90°$,$∠ CDF=∠ DCF=45°$,
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-80+40\sqrt{3}\approx28(\mathrm{m})$.
答:楼 BC 的高度约为 28 m.
解析
【分析】
这是解直角三角形的俯角类实际应用问题，解题核心是把俯角转化为直角三角形的内角，通过作辅助线构造可解的直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题。首先过D作DE垂直AB于E、过C作CF垂直DE于F，得到矩形BCFE，此时BC的长度等于EF的长度，只需算出DF的长度即可求解：第一步在Rt△ADE中，由30°俯角推出∠ADE=60°，用正切函数算出AE的长度，进而得到BE（即CF）的长度；第二步在Rt△DCF中，由45°俯角可知△DCF是等腰直角三角形，得到DF=CF，最后用DE减去DF即可得到EF也就是BC的高度，代入参考数据算出近似值即可。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥ AB$ 于点 E，过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F，
则四边形 BCFE 是矩形。
由题意得：$AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,$∠ CDF=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$∠ AED=90°$，
$\because\tan∠ ADE=\dfrac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形，
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中，$∠ DFC=90°$，$∠ CDF=∠ DCF=45°$，
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-(80-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-40\approx40×1.7-40=28\ \mathrm{m}$。
答：楼 BC 的高度约为 28 m。
【答案】
楼BC的高度约为28米，辅助线做法如下图：
【知识点】
俯角的应用；锐角三角函数；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规应用题型，需要学生将实际场景中的角度、长度关系转化为几何图形的边角关系，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，同时考查了根式的近似计算能力，整体考查方向贴合课标要求。
【难度系数】
0.6
这是解直角三角形的俯角类实际应用问题，解题核心是把俯角转化为直角三角形的内角，通过作辅助线构造可解的直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题。首先过D作DE垂直AB于E、过C作CF垂直DE于F，得到矩形BCFE，此时BC的长度等于EF的长度，只需算出DF的长度即可求解：第一步在Rt△ADE中，由30°俯角推出∠ADE=60°，用正切函数算出AE的长度，进而得到BE（即CF）的长度；第二步在Rt△DCF中，由45°俯角可知△DCF是等腰直角三角形，得到DF=CF，最后用DE减去DF即可得到EF也就是BC的高度，代入参考数据算出近似值即可。
【解析】
如图，过点D作$DE⊥ AB$ 于点 E，过点 C 作 $CF⊥ DE$ 于点 F，
则四边形 BCFE 是矩形。
由题意得：$AB=80\ \mathrm{m},DE=40\ \mathrm{m},∠ ADE=90°-30°=60°$,$∠ CDF=90°-45°=45°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$∠ AED=90°$，
$\because\tan∠ ADE=\dfrac{AE}{DE}=\tan60°=\sqrt{3}$，
$\therefore AE=\sqrt{3}DE=40\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
$\because$ 四边形 BCFE 是矩形，
$\therefore CF=BE=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCF$ 中，$∠ DFC=90°$，$∠ CDF=∠ DCF=45°$，
$\therefore DF=CF=(80-40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=EF=DE-DF=40-(80-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-40\approx40×1.7-40=28\ \mathrm{m}$。
答：楼 BC 的高度约为 28 m。
【答案】
楼BC的高度约为28米，辅助线做法如下图：
【知识点】
俯角的应用；锐角三角函数；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规应用题型，需要学生将实际场景中的角度、长度关系转化为几何图形的边角关系，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形和矩形，同时考查了根式的近似计算能力，整体考查方向贴合课标要求。
【难度系数】
0.6
二、坡度类问题
2. 如图是某人行天桥的截面示意图，坡面AB的长度为10 m，坡度为$1:\frac{4}{3}$. 为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1)求新坡面AC的长度；
(2)若需在C点的左侧留出3 m的通道，判断距离B点5 m的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$).
2. 如图是某人行天桥的截面示意图，坡面AB的长度为10 m，坡度为$1:\frac{4}{3}$. 为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1)求新坡面AC的长度；
(2)若需在C点的左侧留出3 m的通道，判断距离B点5 m的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$).
答案
2. 解:(1)如图,过点 A 作 $AD⊥ CB$,交 CB 的延长线于点 D.
$\because$ 斜坡 AB 的坡度为 $1:\dfrac{4}{3}$,设 $AD=3x\ \mathrm{m}$,
则 $BD=4x\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB^2=AD^2+BD^2$,
即 $10^2=(3x)^2+(4x)^2$,解得 $x=2$(负值已舍),
$\therefore AD=3x=6\ \mathrm{m},BD=4x=8\ \mathrm{m}$.
$\because$ 斜坡 AC 的坡度为 $1:\sqrt{3}$,$\therefore\tan∠ ACD=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$\therefore∠ ACD=30°$,$\therefore AC=2AD=12\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 新坡面 AC 的长度为 12 m.
(2) 距离 B 点 5 m 的文化墙 PM 需要拆除.
理由如下:在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACD=30°$,
$\therefore CD=\dfrac{AD}{\tan∠ ACD}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\mathrm{m}$.
$\because 6\sqrt{3}-8+3\approx5.2＞5$,
$\therefore$ 距离 B 点 5 m 的文化墙 PM 需要拆除.
解析
【分析】
本题为坡度类的解直角三角形实际应用题，解题核心是构造直角三角形，将坡度转化为直角边的比例关系：
1. 处理坡度问题的通用方法是过坡面顶端作水平线的垂线，构造直角三角形，本题过点A作AD垂直CB延长线于D，得到共直角边AD的两个直角三角形；
2. 先根据AB的坡度设AD、BD的长度，结合AB的长度和勾股定理求出AD的长度，AD是两个直角三角形的公共边，是解题的关键中间量；
3. 第一问根据AC的坡度求出对应坡角的正切值，得到坡角度数，再利用直角三角形的性质即可求出AC的长度；
4. 第二问先求出CD的长度，计算BC的长度后，再结合预留3m通道的要求，算出需要的总长度，和5m比较即可判断文化墙是否需要拆除。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AD⊥CB$，交CB的延长线于点D。
$\because$ 斜坡AB的坡度为$1:\dfrac{4}{3}$，即$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3}{4}$，设$AD=3x\ \mathrm{m}$，则$BD=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2$，代入$AB=10\ \mathrm{m}$可得：
$10^2=(3x)^2+(4x)^2$，解得$x=2$（负值不符合实际，舍去）。
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{m}$，$BD=4×2=8\ \mathrm{m}$。
$\because$ 新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$，$\therefore \tan∠ACD=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$∠ACD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，$\therefore AC=2AD=2×6=12\ \mathrm{m}$。
(2) 文化墙PM需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$CD=\dfrac{AD}{\tan∠ACD}=\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\ \mathrm{m}$。
若C点左侧留出3m通道，则所需总长度为$BC+3\approx6×1.7-8+3=5.2\ \mathrm{m}$，
$\because 5.2＞5$，$\therefore$ 距离B点5m的文化墙PM需要拆除。
【答案】
(1) 新坡面AC的长度为12 m；
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除。
【知识点】
坡度坡角，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，将坡度的实际意义和直角三角形的边角关系相结合，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意结合实际情境对计算结果进行判断，属于常考的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
本题为坡度类的解直角三角形实际应用题，解题核心是构造直角三角形，将坡度转化为直角边的比例关系：
1. 处理坡度问题的通用方法是过坡面顶端作水平线的垂线，构造直角三角形，本题过点A作AD垂直CB延长线于D，得到共直角边AD的两个直角三角形；
2. 先根据AB的坡度设AD、BD的长度，结合AB的长度和勾股定理求出AD的长度，AD是两个直角三角形的公共边，是解题的关键中间量；
3. 第一问根据AC的坡度求出对应坡角的正切值，得到坡角度数，再利用直角三角形的性质即可求出AC的长度；
4. 第二问先求出CD的长度，计算BC的长度后，再结合预留3m通道的要求，算出需要的总长度，和5m比较即可判断文化墙是否需要拆除。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AD⊥CB$，交CB的延长线于点D。
$\because$ 斜坡AB的坡度为$1:\dfrac{4}{3}$，即$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{3}{4}$，设$AD=3x\ \mathrm{m}$，则$BD=4x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2$，代入$AB=10\ \mathrm{m}$可得：
$10^2=(3x)^2+(4x)^2$，解得$x=2$（负值不符合实际，舍去）。
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{m}$，$BD=4×2=8\ \mathrm{m}$。
$\because$ 新坡面AC的坡度为$1:\sqrt{3}$，$\therefore \tan∠ACD=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即$∠ACD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，30°角所对直角边等于斜边的一半，$\therefore AC=2AD=2×6=12\ \mathrm{m}$。
(2) 文化墙PM需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$CD=\dfrac{AD}{\tan∠ACD}=\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CD-BD=(6\sqrt{3}-8)\ \mathrm{m}$。
若C点左侧留出3m通道，则所需总长度为$BC+3\approx6×1.7-8+3=5.2\ \mathrm{m}$，
$\because 5.2＞5$，$\therefore$ 距离B点5m的文化墙PM需要拆除。
【答案】
(1) 新坡面AC的长度为12 m；
(2) 距离B点5 m的文化墙PM需要拆除。
【知识点】
坡度坡角，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，将坡度的实际意义和直角三角形的边角关系相结合，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意结合实际情境对计算结果进行判断，属于常考的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
