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11.如图是一个工件的横断面，它由两个长方形拼接而成。
（1）请用代数式表示横断面的面积（至少用两种不同的方法）；
（2）请你选取一组合适的a，b的值代入（1）中各代数式，计算并验证（1）中各代数式的值是否相等。
（1）请用代数式表示横断面的面积（至少用两种不同的方法）；
（2）请你选取一组合适的a，b的值代入（1）中各代数式，计算并验证（1）中各代数式的值是否相等。
答案
(1)$ab+(a−b)b$,$b^2+2b(a−b)$,$a^2−(a−b)^2$,$2ab−b^2$(任意两种即可) (2)略
解析
【分析】
（1）求该不规则图形的面积可采用两类思路：①分割法：将图形拆分为几个规则长方形，分别计算各部分面积后求和得到总面积；②补形法：将图形补为边长为a的大正方形，用大正方形面积减去空白部分的面积得到阴影总面积，两种思路列出的代数式化简后结果一致。
（2）验证代数式值是否相等时，选取满足$a＞b＞0$的合理数值，分别代入不同代数式计算，对比结果是否相同即可。
【解析】
(1) 方法1：分割为左侧竖长方形和右侧横长方形
左侧竖长方形长为$a$、宽为$b$，面积为$ab$；右侧横长方形长为$a-b$、宽为$b$，面积为$b(a-b)$，因此总面积$S=ab + b(a-b)$，化简得$S=2ab-b^2$。
方法2：补形为边长为$a$的大正方形
大正方形面积为$a^2$，右上角空白部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，因此总面积$S=a^2-(a-b)^2$，展开化简得$S=2ab-b^2$。
也可采用其他分割方式，如拆分为1个边长为$b$的正方形和2个长为$a-b$、宽为$b$的长方形，得到$S=b^2+2b(a-b)$，符合要求即可。
(2) 示例：选取$a=3$，$b=1$
代入$ab + b(a-b)$得：$3×1 + 1×(3-1)=3+2=5$
代入$a^2 - (a-b)^2$得：$3^2 - (3-1)^2=9-4=5$
代入$2ab-b^2$得：$2×3×1 -1^2=6-1=5$
计算结果一致，验证不同代数式的值相等。
【答案】
(1) $ab+(a−b)b$、$a^2−(a−b)^2$（任意两种即可，化简后均为$2ab-b^2$）
(2) 示例：取$a=3,b=2$，代入$ab+(a-b)b$得$3×2 + (3-2)×2=8$，代入$2ab-b^2$得$2×3×2 - 2^2=8$，两式值相等（取值合理即可）
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，通过多角度思考列代数式的过程，既能锻炼数形结合思维，也能加深对整式加减运算的理解。
【难度系数】
0.75
（1）求该不规则图形的面积可采用两类思路：①分割法：将图形拆分为几个规则长方形，分别计算各部分面积后求和得到总面积；②补形法：将图形补为边长为a的大正方形，用大正方形面积减去空白部分的面积得到阴影总面积，两种思路列出的代数式化简后结果一致。
（2）验证代数式值是否相等时，选取满足$a＞b＞0$的合理数值，分别代入不同代数式计算，对比结果是否相同即可。
【解析】
(1) 方法1：分割为左侧竖长方形和右侧横长方形
左侧竖长方形长为$a$、宽为$b$，面积为$ab$；右侧横长方形长为$a-b$、宽为$b$，面积为$b(a-b)$，因此总面积$S=ab + b(a-b)$，化简得$S=2ab-b^2$。
方法2：补形为边长为$a$的大正方形
大正方形面积为$a^2$，右上角空白部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，因此总面积$S=a^2-(a-b)^2$，展开化简得$S=2ab-b^2$。
也可采用其他分割方式，如拆分为1个边长为$b$的正方形和2个长为$a-b$、宽为$b$的长方形，得到$S=b^2+2b(a-b)$，符合要求即可。
(2) 示例：选取$a=3$，$b=1$
代入$ab + b(a-b)$得：$3×1 + 1×(3-1)=3+2=5$
代入$a^2 - (a-b)^2$得：$3^2 - (3-1)^2=9-4=5$
代入$2ab-b^2$得：$2×3×1 -1^2=6-1=5$
计算结果一致，验证不同代数式的值相等。
【答案】
(1) $ab+(a−b)b$、$a^2−(a−b)^2$（任意两种即可，化简后均为$2ab-b^2$）
(2) 示例：取$a=3,b=2$，代入$ab+(a-b)b$得$3×2 + (3-2)×2=8$，代入$2ab-b^2$得$2×3×2 - 2^2=8$，两式值相等（取值合理即可）
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，通过多角度思考列代数式的过程，既能锻炼数形结合思维，也能加深对整式加减运算的理解。
【难度系数】
0.75
12.蒲纹是中国玉器上的一种常见纹饰,来源于蒲席的纹样,寓意草木繁茂、欣欣向荣.下图是一组蒲纹纹样,它由若干个三角形和六边形有规律地排列而成.
(1)图①②③中各有多少个六边形,多少个三角形?
(2)若按此规律继续绘制蒲纹,当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
(3)请你参考蒲纹的设计方式,将三角形、六边形按一定规律排列,设计出一种新的纹样.当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
(1)图①②③中各有多少个六边形,多少个三角形?
(2)若按此规律继续绘制蒲纹,当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
(3)请你参考蒲纹的设计方式,将三角形、六边形按一定规律排列,设计出一种新的纹样.当纹样中有n个六边形时,三角形有多少个?
答案
(1)图①中有1个六边形和6个三角形,图②中有2个六边形和10个三角形,图③中有3个六边形和14个三角形;(2)当纹样中有$n$个六边形时,三角形有$(4n+2)$个;(3)略
解析
【分析】
(1)直接观察三个图形，分别计数每个图中的六边形和三角形数量即可；(2)先整理(1)中得到的六边形个数与对应三角形个数的关系，观察每增加1个六边形时三角形数量的变化规律，即可推导得出n个六边形对应的三角形数量的代数式；(3)为开放设计类问题，只要设计的排列规律清晰，能写出对应n个六边形时的三角形数量代数式即可。
【解析】
(1) 逐个观察图形计数：
观察图①，可得六边形有1个，三角形有6个；
观察图②，可得六边形有2个，三角形有10个；
观察图③，可得六边形有3个，三角形有14个。
(2) 整理已知的数量对应关系：
当六边形个数为1时，三角形个数$6=4×1+2$；
当六边形个数为2时，三角形个数$10=4×2+2$；
当六边形个数为3时，三角形个数$14=4×3+2$；
可知每增加1个六边形，三角形的数量增加4个，因此当纹样中有$n$个六边形时，三角形的个数为$4n+2$。
(3) 示例：可设计规律为每增加1个六边形，三角形数量增加3个，初始1个六边形对应5个三角形，则n个六边形时三角形有$(3n+2)$个，绘制的纹样符合设计规律即可，答案不唯一。
【答案】
(1)图①中有1个六边形和6个三角形，图②中有2个六边形和10个三角形，图③中有3个六边形和14个三角形；
(2)当纹样中有$n$个六边形时，三角形有$(4n+2)$个；
(3)略
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题结合传统蒲纹文化设计问题，既考查了学生观察图形、归纳通用规律的能力，也通过开放设计题锻炼了学生的创新思维，解题核心是掌握从特殊个例推导一般规律的思考方法。
【难度系数】
0.75
(1)直接观察三个图形，分别计数每个图中的六边形和三角形数量即可；(2)先整理(1)中得到的六边形个数与对应三角形个数的关系，观察每增加1个六边形时三角形数量的变化规律，即可推导得出n个六边形对应的三角形数量的代数式；(3)为开放设计类问题，只要设计的排列规律清晰，能写出对应n个六边形时的三角形数量代数式即可。
【解析】
(1) 逐个观察图形计数：
观察图①，可得六边形有1个，三角形有6个；
观察图②，可得六边形有2个，三角形有10个；
观察图③，可得六边形有3个，三角形有14个。
(2) 整理已知的数量对应关系：
当六边形个数为1时，三角形个数$6=4×1+2$；
当六边形个数为2时，三角形个数$10=4×2+2$；
当六边形个数为3时，三角形个数$14=4×3+2$；
可知每增加1个六边形，三角形的数量增加4个，因此当纹样中有$n$个六边形时，三角形的个数为$4n+2$。
(3) 示例：可设计规律为每增加1个六边形，三角形数量增加3个，初始1个六边形对应5个三角形，则n个六边形时三角形有$(3n+2)$个，绘制的纹样符合设计规律即可，答案不唯一。
【答案】
(1)图①中有1个六边形和6个三角形，图②中有2个六边形和10个三角形，图③中有3个六边形和14个三角形；
(2)当纹样中有$n$个六边形时，三角形有$(4n+2)$个；
(3)略
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题结合传统蒲纹文化设计问题，既考查了学生观察图形、归纳通用规律的能力，也通过开放设计题锻炼了学生的创新思维，解题核心是掌握从特殊个例推导一般规律的思考方法。
【难度系数】
0.75
