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1. 填空：$5^{-2}=$；$(-\dfrac{1}{2})^{-3}=$
答案
解：
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$
答案依次为：$\boldsymbol{\frac{1}{25}}$；$\boldsymbol{-8}$
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$
答案依次为：$\boldsymbol{\frac{1}{25}}$；$\boldsymbol{-8}$
解析
【分析】
这道题考查负整数指数幂的计算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。对于第一个算式$5^{-2}$，直接套用法则，将负指数转化为正指数的倒数，先计算$5^2$的值，再求倒数即可得到结果；对于第二个算式$(-\frac{1}{2})^{-3}$，同样先套用法则转化为正指数幂的倒数，计算$(-\frac{1}{2})^3$时要注意符号，负数的奇次幂为负，再计算除法得到最终结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）
1. 计算$5^{-2}$：
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$
2. 计算$(-\frac{1}{2})^{-3}$：
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{25}}$；$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数乘方计算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对负整数指数幂运算法则的理解与应用，计算时需注意负数乘方的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
这道题考查负整数指数幂的计算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。对于第一个算式$5^{-2}$，直接套用法则，将负指数转化为正指数的倒数，先计算$5^2$的值，再求倒数即可得到结果；对于第二个算式$(-\frac{1}{2})^{-3}$，同样先套用法则转化为正指数幂的倒数，计算$(-\frac{1}{2})^3$时要注意符号，负数的奇次幂为负，再计算除法得到最终结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数）
1. 计算$5^{-2}$：
$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$
2. 计算$(-\frac{1}{2})^{-3}$：
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{25}}$；$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数乘方计算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对负整数指数幂运算法则的理解与应用，计算时需注意负数乘方的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
2.若要使代数式$(x+2)^{-2}$有意义，则$x$的取值范围是。
答案
$x≠ -2$
解析
【分析】
要确定代数式有意义的x的取值范围，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂可以转化为正整数指数幂的倒数，此时作为分母的底数不能为0，否则分式无意义。因此我们只需要让本题中负指数的底数不等于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数，$a≠0$），可得：
$(x+2)^{-2}=\frac{1}{(x+2)^2}$
要使该代数式有意义，分母不能为0，即：
$(x+2)^2≠0$
因此$x+2≠0$，解得$x≠-2$。
【答案】
$x≠ -2$
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是基础类题目，核心考查负整数指数幂有意义的前提条件，解题的关键是牢记负整数指数幂的底数不能为0，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定代数式有意义的x的取值范围，首先回忆负整数指数幂的相关规定：负整数指数幂可以转化为正整数指数幂的倒数，此时作为分母的底数不能为0，否则分式无意义。因此我们只需要让本题中负指数的底数不等于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数，$a≠0$），可得：
$(x+2)^{-2}=\frac{1}{(x+2)^2}$
要使该代数式有意义，分母不能为0，即：
$(x+2)^2≠0$
因此$x+2≠0$，解得$x≠-2$。
【答案】
$x≠ -2$
【知识点】
1. 负整数指数幂的意义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是基础类题目，核心考查负整数指数幂有意义的前提条件，解题的关键是牢记负整数指数幂的底数不能为0，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.将代数式$5xy(x+y)^{-3}$表示成只含有正整数指数幂的形式是________.
答案
解：根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），可得
$(x+y)^{-3}=\frac{1}{(x+y)^3}$
因此
$5xy(x+y)^{-3}=5xy·\frac{1}{(x+y)^3}=\frac{5xy}{(x+y)^3}$
最终答案为：$\frac{5xy}{(x+y)^3}$
$(x+y)^{-3}=\frac{1}{(x+y)^3}$
因此
$5xy(x+y)^{-3}=5xy·\frac{1}{(x+y)^3}=\frac{5xy}{(x+y)^3}$
最终答案为：$\frac{5xy}{(x+y)^3}$
解析
【分析】
要将代数式转化为只含正整数指数幂的形式，核心是运用负整数指数幂的运算规则。解题时首先找到式子中的负指数项$(x+y)^{-3}$，根据负指数幂的定义将其转化为正指数幂的倒数形式，再与前面的单项式$5xy$相乘，整理为分式即可，注意底数$(x+y)$是多项式，转化时要整体保留括号，避免拆分出错。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），可得
$(x+y)^{-3}=\frac{1}{(x+y)^3}$
因此
$5xy(x+y)^{-3}=5xy·\frac{1}{(x+y)^3}=\frac{5xy}{(x+y)^3}$
【答案】
$\frac{5xy}{(x+y)^3}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的化简
【点评】
本题是整数指数幂的基础应用题，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的转化规则，注意当负指数的底数为多项式时，需将其作为整体加括号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
要将代数式转化为只含正整数指数幂的形式，核心是运用负整数指数幂的运算规则。解题时首先找到式子中的负指数项$(x+y)^{-3}$，根据负指数幂的定义将其转化为正指数幂的倒数形式，再与前面的单项式$5xy$相乘，整理为分式即可，注意底数$(x+y)$是多项式，转化时要整体保留括号，避免拆分出错。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），可得
$(x+y)^{-3}=\frac{1}{(x+y)^3}$
因此
$5xy(x+y)^{-3}=5xy·\frac{1}{(x+y)^3}=\frac{5xy}{(x+y)^3}$
【答案】
$\frac{5xy}{(x+y)^3}$
【知识点】
负整数指数幂运算，幂的化简
【点评】
本题是整数指数幂的基础应用题，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的转化规则，注意当负指数的底数为多项式时，需将其作为整体加括号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
4.计算:(1)$a^3 · a^{-5}=$;
(2)$a^{-3} · a^{-5}=$.
(2)$a^{-3} · a^{-5}=$.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{a^2}}$（或$a^{-2}$）；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{a^8}}$（或$a^{-8}$）。
解析
【分析】
解题时首先回忆整数范围内同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则对正整数、负整数指数都适用；再结合负整数指数幂的意义（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数）化简即可。第（1）题先计算指数的和，再根据需求转化为正指数形式；第（2）题同理先算指数和，可保留负指数形式或者转化为正指数形式。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），结合负整数指数幂的定义计算：
(1) $a^3 · a^{-5}=a^{3+(-5)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
(2) $a^{-3} · a^{-5}=a^{-3+(-5)}=a^{-8}=\frac{1}{a^8}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2}$（或$a^{-2}$）；(2) $\frac{1}{a^8}$（或$a^{-8}$）
【知识点】
同底数幂的乘法；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心是熟练掌握同底数幂的运算法则，明确负整数指数幂和正整数指数幂的转化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆整数范围内同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则对正整数、负整数指数都适用；再结合负整数指数幂的意义（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数）化简即可。第（1）题先计算指数的和，再根据需求转化为正指数形式；第（2）题同理先算指数和，可保留负指数形式或者转化为正指数形式。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），结合负整数指数幂的定义计算：
(1) $a^3 · a^{-5}=a^{3+(-5)}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
(2) $a^{-3} · a^{-5}=a^{-3+(-5)}=a^{-8}=\frac{1}{a^8}$
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2}$（或$a^{-2}$）；(2) $\frac{1}{a^8}$（或$a^{-8}$）
【知识点】
同底数幂的乘法；负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心是熟练掌握同底数幂的运算法则，明确负整数指数幂和正整数指数幂的转化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
5.计算：$(π - 2026)^0 + (\frac{1}{2})^{-2} =$
答案
解：
由零指数幂的性质，非零实数的0次幂等于1，
因为$π - 2026 ≠ 0$，所以$(π - 2026)^0 = 1$。
由负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$。
因此原式$=1 + 4 = 5$。
由零指数幂的性质，非零实数的0次幂等于1，
因为$π - 2026 ≠ 0$，所以$(π - 2026)^0 = 1$。
由负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$。
因此原式$=1 + 4 = 5$。
解析
【分析】
观察算式可知包含零指数幂、负整数指数幂两类运算，解题时可先分别按照对应运算法则计算两部分的值，再求和得到最终结果：首先判断零指数幂的底数是否不为0，满足条件时零指数幂结果为1；再依据负整数指数幂的运算法则计算第二部分的结果，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：非零实数的0次幂等于1，
因为$π - 2026 ≠ 0$，所以$(π - 2026)^0 = 1$。
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$。
因此原式$=1 + 4 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，核心考查零指数幂的适用前提（底数不为0）和负整数指数幂的运算法则，牢记相关规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
观察算式可知包含零指数幂、负整数指数幂两类运算，解题时可先分别按照对应运算法则计算两部分的值，再求和得到最终结果：首先判断零指数幂的底数是否不为0，满足条件时零指数幂结果为1；再依据负整数指数幂的运算法则计算第二部分的结果，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：非零实数的0次幂等于1，
因为$π - 2026 ≠ 0$，所以$(π - 2026)^0 = 1$。
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4$。
因此原式$=1 + 4 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，核心考查零指数幂的适用前提（底数不为0）和负整数指数幂的运算法则，牢记相关规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.若$x^{-3n}=6$，则$x^{6n}=$。
答案
$\frac{1}{36}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和所求式子的指数关系，已知x的指数是-3n，所求式子x的指数是6n，两者存在倍数关系：$6n=(-3n)×(-2)$。可以通过两种思路求解：①直接利用幂的乘方的逆运算，将$x^{6n}$转化为$[x^{-3n}]^{-2}$，代入已知值后结合负指数幂的性质计算；②先把$x^{-3n}$转化为正整数指数幂的形式求出$x^{3n}$的值，再将$x^{6n}$转化为$(x^{3n})^2$计算。
【解析】
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$x^{-3n}=\frac{1}{x^{3n}}=6$，
解得$x^{3n}=\frac{1}{6}$。
再根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$x^{6n}=(x^{3n})^2$，
将$x^{3n}=\frac{1}{6}$代入得：
$x^{6n}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$。
【答案】
$\frac{1}{36}$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，解题核心是找到已知与所求式子的指数关联，灵活运用幂的运算性质进行转化，熟练掌握相关运算公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和所求式子的指数关系，已知x的指数是-3n，所求式子x的指数是6n，两者存在倍数关系：$6n=(-3n)×(-2)$。可以通过两种思路求解：①直接利用幂的乘方的逆运算，将$x^{6n}$转化为$[x^{-3n}]^{-2}$，代入已知值后结合负指数幂的性质计算；②先把$x^{-3n}$转化为正整数指数幂的形式求出$x^{3n}$的值，再将$x^{6n}$转化为$(x^{3n})^2$计算。
【解析】
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$x^{-3n}=\frac{1}{x^{3n}}=6$，
解得$x^{3n}=\frac{1}{6}$。
再根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$x^{6n}=(x^{3n})^2$，
将$x^{3n}=\frac{1}{6}$代入得：
$x^{6n}=(\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$。
【答案】
$\frac{1}{36}$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，解题核心是找到已知与所求式子的指数关联，灵活运用幂的运算性质进行转化，熟练掌握相关运算公式即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
7.计算：
(1)$(3x^2 y z^{-1})^2 (2x^{-1} y^{-2})^3$；
(2)$(-2x^{-2})^3 y^2 ÷ (2x^{-8} y^{-3})$。
(1)$(3x^2 y z^{-1})^2 (2x^{-1} y^{-2})^3$；
(2)$(-2x^{-2})^3 y^2 ÷ (2x^{-8} y^{-3})$。
答案
解：
(1) 原式$= 9x^4 y^2 z^{-2} · 8x^{-3} y^{-6}$
$= 72 x^{4-3} y^{2-6} z^{-2}$
$= 72 x y^{-4} z^{-2}$
$= \dfrac{72x}{y^4 z^2}$
(2) 原式$= (-8x^{-6} y^2) ÷ (2x^{-8} y^{-3})$
$= (-8÷ 2) · x^{-6 - (-8)} · y^{2 - (-3)}$
$= -4 x^2 y^5$
(1) 原式$= 9x^4 y^2 z^{-2} · 8x^{-3} y^{-6}$
$= 72 x^{4-3} y^{2-6} z^{-2}$
$= 72 x y^{-4} z^{-2}$
$= \dfrac{72x}{y^4 z^2}$
(2) 原式$= (-8x^{-6} y^2) ÷ (2x^{-8} y^{-3})$
$= (-8÷ 2) · x^{-6 - (-8)} · y^{2 - (-3)}$
$= -4 x^2 y^5$
解析
【分析】
这两道题均属于整数指数幂的混合运算，解题遵循先算乘方、再算乘除的运算顺序：①先利用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算括号外的乘方运算；②再利用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$、除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$计算同级运算，注意指数的加减规则；③若结果含负整数指数幂，利用$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）将其化为正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
原式$= 9x^4 y^2 z^{-2} · 8x^{-3} y^{-6}$
再计算同底数幂的乘法，对应底数不变、指数相加：
$= 72 x^{4-3} y^{2-6} z^{-2}$
$= 72 x y^{-4} z^{-2}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$= \dfrac{72x}{y^4 z^2}$
(2) 先计算乘方运算：
原式$= (-8x^{-6} y^2) ÷ (2x^{-8} y^{-3})$
再计算同底数幂的除法，对应底数不变、指数相减：
$= (-8÷ 2) · x^{-6 - (-8)} · y^{2 - (-3)}$
$= -4 x^2 y^5$
【答案】
(1) $\dfrac{72x}{y^4 z^2}$；(2) $-4x^2 y^5$
【知识点】
1. 整数指数幂运算
2. 同底数幂的乘除
3. 负整数指数幂化简
【点评】
本题重点考查整数指数幂相关运算法则的应用，解题时需注意指数运算的符号规则，尤其是同底数幂相除时指数为减法运算，负指数幂转化为正指数幂时要注意底数取倒数，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整数指数幂的混合运算，解题遵循先算乘方、再算乘除的运算顺序：①先利用积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算括号外的乘方运算；②再利用同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$、除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$计算同级运算，注意指数的加减规则；③若结果含负整数指数幂，利用$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）将其化为正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
原式$= 9x^4 y^2 z^{-2} · 8x^{-3} y^{-6}$
再计算同底数幂的乘法，对应底数不变、指数相加：
$= 72 x^{4-3} y^{2-6} z^{-2}$
$= 72 x y^{-4} z^{-2}$
将负指数幂化为正指数幂形式：
$= \dfrac{72x}{y^4 z^2}$
(2) 先计算乘方运算：
原式$= (-8x^{-6} y^2) ÷ (2x^{-8} y^{-3})$
再计算同底数幂的除法，对应底数不变、指数相减：
$= (-8÷ 2) · x^{-6 - (-8)} · y^{2 - (-3)}$
$= -4 x^2 y^5$
【答案】
(1) $\dfrac{72x}{y^4 z^2}$；(2) $-4x^2 y^5$
【知识点】
1. 整数指数幂运算
2. 同底数幂的乘除
3. 负整数指数幂化简
【点评】
本题重点考查整数指数幂相关运算法则的应用，解题时需注意指数运算的符号规则，尤其是同底数幂相除时指数为减法运算，负指数幂转化为正指数幂时要注意底数取倒数，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
8.已知$|b-2|+(a+b-1)^2=0$，求$a^{-2}b^{-3}$的值.
答案
解：
∵ $|b-2|≥0$，$(a+b-1)^2≥0$，且$|b-2|+(a+b-1)^2=0$
∴ $b-2=0$，$a+b-1=0$
解得 $b=2$，$a=-1$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）
∴ $a^{-2}b^{-3}=\frac{1}{a^2}·\frac{1}{b^3}=\frac{1}{(-1)^2×2^3}=\frac{1}{1×8}=\frac{1}{8}$
∵ $|b-2|≥0$，$(a+b-1)^2≥0$，且$|b-2|+(a+b-1)^2=0$
∴ $b-2=0$，$a+b-1=0$
解得 $b=2$，$a=-1$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）
∴ $a^{-2}b^{-3}=\frac{1}{a^2}·\frac{1}{b^3}=\frac{1}{(-1)^2×2^3}=\frac{1}{1×8}=\frac{1}{8}$
解析
【分析】
本题需要先求出a、b的值，再代入代数式计算。首先观察已知条件，是绝对值与平方的和为0，回忆非负数的性质：绝对值和偶次平方都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此可以列出关于a、b的方程，解出a、b的取值；再根据负整数指数幂的运算法则，将所求代数式转化为正指数幂的形式，代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|b-2|≥0$，$(a+b-1)^2≥0$，且$|b-2|+(a+b-1)^2=0$
∴ $b-2=0$，$a+b-1=0$
解得 $b=2$，$a=-1$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）
∴ $a^{-2}b^{-3}=\frac{1}{a^2}·\frac{1}{b^3}=\frac{1}{(-1)^2×2^3}=\frac{1}{1×8}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
非负数的性质、负整数指数幂运算、代数式求值
【点评】
这道题是基础综合题，将非负数的性质与整数指数幂的运算结合考查，解题的关键是先利用非负数的性质求出字母的取值，再代入计算，计算负整数指数幂时要注意底数不为0的要求，避免符号或运算规则应用错误。
【难度系数】
0.8
本题需要先求出a、b的值，再代入代数式计算。首先观察已知条件，是绝对值与平方的和为0，回忆非负数的性质：绝对值和偶次平方都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此可以列出关于a、b的方程，解出a、b的取值；再根据负整数指数幂的运算法则，将所求代数式转化为正指数幂的形式，代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|b-2|≥0$，$(a+b-1)^2≥0$，且$|b-2|+(a+b-1)^2=0$
∴ $b-2=0$，$a+b-1=0$
解得 $b=2$，$a=-1$
根据负整数指数幂的定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）
∴ $a^{-2}b^{-3}=\frac{1}{a^2}·\frac{1}{b^3}=\frac{1}{(-1)^2×2^3}=\frac{1}{1×8}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
非负数的性质、负整数指数幂运算、代数式求值
【点评】
这道题是基础综合题，将非负数的性质与整数指数幂的运算结合考查，解题的关键是先利用非负数的性质求出字母的取值，再代入计算，计算负整数指数幂时要注意底数不为0的要求，避免符号或运算规则应用错误。
【难度系数】
0.8
9.已知$a+a^{-1}=3.$
(1)求$a^2+a^{-2}$与$a^4+a^{-4}$的值.
(2)若将已知条件$a+a^{-1}=3$改为$a^2-3a+1=0$,你还会求(1)的值吗？说明理由,不需要求值.
(1)求$a^2+a^{-2}$与$a^4+a^{-4}$的值.
(2)若将已知条件$a+a^{-1}=3$改为$a^2-3a+1=0$,你还会求(1)的值吗？说明理由,不需要求值.
答案
解：
(1) 已知 $a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为 $a · a^{-1} = 1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
因此 $a^2 + a^{-2} = 7$。
将 $a^2 + a^{-2} = 7$ 两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开得：
$a^4 + 2 · a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
代入 $a^2 · a^{-2} = 1$，得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
因此 $a^4 + a^{-4} = 47$。
(2) 可以求解，理由如下：
由 $a^2 - 3a + 1 = 0$ 可知 $a ≠ 0$，将等式两边同时除以 $a$，得：
$a - 3 + a^{-1} = 0$
移项可得 $a + a^{-1} = 3$，该式与(1)的已知条件完全一致，因此可以按照(1)的方法求出 $a^2 + a^{-2}$ 和 $a^4 + a^{-4}$ 的值。
(1) 已知 $a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为 $a · a^{-1} = 1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
因此 $a^2 + a^{-2} = 7$。
将 $a^2 + a^{-2} = 7$ 两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开得：
$a^4 + 2 · a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
代入 $a^2 · a^{-2} = 1$，得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
因此 $a^4 + a^{-4} = 47$。
(2) 可以求解，理由如下：
由 $a^2 - 3a + 1 = 0$ 可知 $a ≠ 0$，将等式两边同时除以 $a$，得：
$a - 3 + a^{-1} = 0$
移项可得 $a + a^{-1} = 3$，该式与(1)的已知条件完全一致，因此可以按照(1)的方法求出 $a^2 + a^{-2}$ 和 $a^4 + a^{-4}$ 的值。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，已知$a+a^{-1}=3$，观察待求式$a^2+a^{-2}$、$a^4+a^{-4}$的结构，可联想到完全平方公式：两个数的和的平方等于平方和加两倍乘积，而$a$与$a^{-1}$的乘积为1，因此将已知等式两边平方即可求出$a^2+a^{-2}$的值；再将求得的$a^2+a^{-2}$的值两边平方，用同样的方法就能求出$a^4+a^{-4}$的值。
(2) 求解第二问时，先判断$a$的取值：若$a=0$，代入$a^2-3a+1=0$左边得$1≠0$，因此$a≠0$，可将等式两边同时除以$a$，整理后能得到和(1)完全相同的已知条件$a+a^{-1}=3$，因此可以沿用(1)的方法求解。
【解析】
(1) 已知 $a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为 $a · a^{-1} = 1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
因此 $a^2 + a^{-2} = 7$。
将 $a^2 + a^{-2} = 7$ 两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开得：
$a^4 + 2 · a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
代入 $a^2 · a^{-2} = 1$，得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
因此 $a^4 + a^{-4} = 47$。
(2) 可以求解，理由如下：
由 $a^2 - 3a + 1 = 0$ 可知 $a ≠ 0$，将等式两边同时除以 $a$，得：
$a - 3 + a^{-1} = 0$
移项可得 $a + a^{-1} = 3$，该式与(1)的已知条件完全一致，因此可以按照(1)的方法求出 $a^2 + a^{-2}$ 和 $a^4 + a^{-4}$ 的值。
【答案】
(1) $a^2+a^{-2}=7$，$a^4+a^{-4}=47$；(2) 能求，理由见解析。
【知识点】
整数指数幂运算、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是整数指数幂运算的典型题型，核心是利用完全平方公式对式子进行升次变形，解题时用到整体代入的思想，第二问需要先确认$a$不为0，再对等式做变形处理，熟练掌握相关公式和运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，已知$a+a^{-1}=3$，观察待求式$a^2+a^{-2}$、$a^4+a^{-4}$的结构，可联想到完全平方公式：两个数的和的平方等于平方和加两倍乘积，而$a$与$a^{-1}$的乘积为1，因此将已知等式两边平方即可求出$a^2+a^{-2}$的值；再将求得的$a^2+a^{-2}$的值两边平方，用同样的方法就能求出$a^4+a^{-4}$的值。
(2) 求解第二问时，先判断$a$的取值：若$a=0$，代入$a^2-3a+1=0$左边得$1≠0$，因此$a≠0$，可将等式两边同时除以$a$，整理后能得到和(1)完全相同的已知条件$a+a^{-1}=3$，因此可以沿用(1)的方法求解。
【解析】
(1) 已知 $a + a^{-1} = 3$，将等式两边同时平方：
$(a + a^{-1})^2 = 3^2$
由完全平方公式展开得：
$a^2 + 2 · a · a^{-1} + a^{-2} = 9$
因为 $a · a^{-1} = 1$，代入得：
$a^2 + 2 + a^{-2} = 9$
因此 $a^2 + a^{-2} = 7$。
将 $a^2 + a^{-2} = 7$ 两边同时平方：
$(a^2 + a^{-2})^2 = 7^2$
展开得：
$a^4 + 2 · a^2 · a^{-2} + a^{-4} = 49$
代入 $a^2 · a^{-2} = 1$，得：
$a^4 + 2 + a^{-4} = 49$
因此 $a^4 + a^{-4} = 47$。
(2) 可以求解，理由如下：
由 $a^2 - 3a + 1 = 0$ 可知 $a ≠ 0$，将等式两边同时除以 $a$，得：
$a - 3 + a^{-1} = 0$
移项可得 $a + a^{-1} = 3$，该式与(1)的已知条件完全一致，因此可以按照(1)的方法求出 $a^2 + a^{-2}$ 和 $a^4 + a^{-4}$ 的值。
【答案】
(1) $a^2+a^{-2}=7$，$a^4+a^{-4}=47$；(2) 能求，理由见解析。
【知识点】
整数指数幂运算、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是整数指数幂运算的典型题型，核心是利用完全平方公式对式子进行升次变形，解题时用到整体代入的思想，第二问需要先确认$a$不为0，再对等式做变形处理，熟练掌握相关公式和运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 解答下列问题.
(1)你发现了吗？ $(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3}$，
$(\dfrac{2}{3})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{2}{3})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} × \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} × \dfrac{3}{2}, ···$.
由上述计算，我们发现 $(\dfrac{2}{3})^2$ $(\dfrac{3}{2})^{-2}$；
(2)仿照(1)，请你判断 $(\dfrac{5}{4})^3$ 与 $(\dfrac{4}{5})^{-3}$ 之间的关系；
(3)我们可以发现 $(\dfrac{b}{a})^{-m}$ $(\dfrac{a}{b})^m (ab ≠ 0)$.
(1)你发现了吗？ $(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3}$，
$(\dfrac{2}{3})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{2}{3})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} × \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} × \dfrac{3}{2}, ···$.
由上述计算，我们发现 $(\dfrac{2}{3})^2$ $(\dfrac{3}{2})^{-2}$；
(2)仿照(1)，请你判断 $(\dfrac{5}{4})^3$ 与 $(\dfrac{4}{5})^{-3}$ 之间的关系；
(3)我们可以发现 $(\dfrac{b}{a})^{-m}$ $(\dfrac{a}{b})^m (ab ≠ 0)$.
答案
解：
(1) 计算得：
$(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$，
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{4}{9}$，
因此$(\dfrac{2}{3})^2 \boldsymbol{=} (\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)计算：
$(\dfrac{5}{4})^3 = \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} = \dfrac{125}{64}$，
$(\dfrac{4}{5})^{-3} = \dfrac{1}{(\dfrac{4}{5})^3} = \dfrac{1}{\dfrac{64}{125}} = \dfrac{125}{64}$，
可得$(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}$。
(3) 根据整数指数幂的定义：
$(\dfrac{b}{a})^{-m} = \dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^m} = (\dfrac{a}{b})^m$，
因此$(\dfrac{b}{a})^{-m} \boldsymbol{=} (\dfrac{a}{b})^m \ (ab≠0)$。
(1) 计算得：
$(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$，
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{4}{9}$，
因此$(\dfrac{2}{3})^2 \boldsymbol{=} (\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)计算：
$(\dfrac{5}{4})^3 = \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} = \dfrac{125}{64}$，
$(\dfrac{4}{5})^{-3} = \dfrac{1}{(\dfrac{4}{5})^3} = \dfrac{1}{\dfrac{64}{125}} = \dfrac{125}{64}$，
可得$(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}$。
(3) 根据整数指数幂的定义：
$(\dfrac{b}{a})^{-m} = \dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^m} = (\dfrac{a}{b})^m$，
因此$(\dfrac{b}{a})^{-m} \boldsymbol{=} (\dfrac{a}{b})^m \ (ab≠0)$。
解析
【分析】
这道题围绕负整数指数幂的运算展开，解题思路如下：第(1)问先分别根据乘方定义、负整数指数幂的定义计算两个式子的结果，再比较大小即可；第(2)问仿照第(1)问的计算方法，分别算出两个幂的值，就能判断二者的关系；第(3)问结合前两问的特殊例子，用字母代替具体数字，根据负整数指数幂的定义推导一般规律即可。
【解析】
(1) 分别计算两个式子的值：
$(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$，
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{4}{9}$，
因此$(\dfrac{2}{3})^2 = (\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)的方法计算：
$(\dfrac{5}{4})^3 = \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} = \dfrac{125}{64}$，
$(\dfrac{4}{5})^{-3} = \dfrac{1}{(\dfrac{4}{5})^3} = \dfrac{1}{\dfrac{64}{125}} = \dfrac{125}{64}$，
可得$(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}$。
(3) 根据整数指数幂的定义推导一般式：
$(\dfrac{b}{a})^{-m} = \dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^m} = (\dfrac{a}{b})^m$（$ab≠0$，保证分母不为0），
因此$(\dfrac{b}{a})^{-m} = (\dfrac{a}{b})^m \ (ab≠0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；(2) $\boldsymbol{(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}}$；(3) $\boldsymbol{=}$
【知识点】
负整数指数幂运算，有理数乘方计算，幂的运算规律
【点评】
本题从具体数值运算入手，引导学生自主探究负整数指数幂的相关性质，遵循从特殊到一般的认知规律，有助于加深对负指数幂和倒数关系的理解，熟练掌握负指数幂的运算方法。
【难度系数】
0.7
这道题围绕负整数指数幂的运算展开，解题思路如下：第(1)问先分别根据乘方定义、负整数指数幂的定义计算两个式子的结果，再比较大小即可；第(2)问仿照第(1)问的计算方法，分别算出两个幂的值，就能判断二者的关系；第(3)问结合前两问的特殊例子，用字母代替具体数字，根据负整数指数幂的定义推导一般规律即可。
【解析】
(1) 分别计算两个式子的值：
$(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$，
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{4}{9}$，
因此$(\dfrac{2}{3})^2 = (\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)的方法计算：
$(\dfrac{5}{4})^3 = \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} × \dfrac{5}{4} = \dfrac{125}{64}$，
$(\dfrac{4}{5})^{-3} = \dfrac{1}{(\dfrac{4}{5})^3} = \dfrac{1}{\dfrac{64}{125}} = \dfrac{125}{64}$，
可得$(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}$。
(3) 根据整数指数幂的定义推导一般式：
$(\dfrac{b}{a})^{-m} = \dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^m} = (\dfrac{a}{b})^m$（$ab≠0$，保证分母不为0），
因此$(\dfrac{b}{a})^{-m} = (\dfrac{a}{b})^m \ (ab≠0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；(2) $\boldsymbol{(\dfrac{5}{4})^3 = (\dfrac{4}{5})^{-3}}$；(3) $\boldsymbol{=}$
【知识点】
负整数指数幂运算，有理数乘方计算，幂的运算规律
【点评】
本题从具体数值运算入手，引导学生自主探究负整数指数幂的相关性质，遵循从特殊到一般的认知规律，有助于加深对负指数幂和倒数关系的理解，熟练掌握负指数幂的运算方法。
【难度系数】
0.7
