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1.有下列函数:①$y=5x$;②$y=-2x-1$;③$y=\frac{2}{x}$;④$y=\frac{1}{2}x-6$;⑤$y=x^2-1$。其中是一次函数的有________，是正比例函数的有________。(均填序号)
答案
一次函数：①②④，正比例函数：①
解析
【分析】
解题前首先要明确一次函数和正比例函数的定义，再逐个对给出的5个函数进行判定：1. 一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数；2. 当一次函数中的$b=0$时，即$y=kx$（$k≠0$），这个函数就是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。接下来依次判断每个函数的形式，匹配对应定义即可得到结果。
【解析】
首先回忆相关定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne 0$）的函数，自变量的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
逐个判定给出的函数：
①$y=5x$：符合$y=kx$的形式，$k=5\ne0$，$b=0$，既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=-2x-1$：符合$y=kx+b$的形式，$k=-2\ne0$，$b=-1\ne0$，属于一次函数；
③$y=\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母位置，是反比例函数，不符合一次函数形式；
④$y=\frac{1}{2}x-6$：符合$y=kx+b$的形式，$k=\frac{1}{2}\ne0$，$b=-6\ne0$，属于一次函数；
⑤$y=x^2-1$：自变量$x$的次数是2，是二次函数，不符合一次函数形式。
综上，一次函数有①②④，正比例函数有①。
【答案】
一次函数：①②④，正比例函数：①
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数的定义
3. 函数类型判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要注意正比例函数是特殊的一次函数，同时要区分一次函数与反比例函数、二次函数的形式差异，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确一次函数和正比例函数的定义，再逐个对给出的5个函数进行判定：1. 一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数；2. 当一次函数中的$b=0$时，即$y=kx$（$k≠0$），这个函数就是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。接下来依次判断每个函数的形式，匹配对应定义即可得到结果。
【解析】
首先回忆相关定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne 0$）的函数，自变量的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数，是$b=0$的特殊一次函数。
逐个判定给出的函数：
①$y=5x$：符合$y=kx$的形式，$k=5\ne0$，$b=0$，既是正比例函数，也是一次函数；
②$y=-2x-1$：符合$y=kx+b$的形式，$k=-2\ne0$，$b=-1\ne0$，属于一次函数；
③$y=\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母位置，是反比例函数，不符合一次函数形式；
④$y=\frac{1}{2}x-6$：符合$y=kx+b$的形式，$k=\frac{1}{2}\ne0$，$b=-6\ne0$，属于一次函数；
⑤$y=x^2-1$：自变量$x$的次数是2，是二次函数，不符合一次函数形式。
综上，一次函数有①②④，正比例函数有①。
【答案】
一次函数：①②④，正比例函数：①
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数的定义
3. 函数类型判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对一次函数、正比例函数定义的理解，解题时要注意正比例函数是特殊的一次函数，同时要区分一次函数与反比例函数、二次函数的形式差异，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.9
2.若$y=(m-2)x^{|m|-1}+m+n$是$y$关于$x$的一次函数，则$m=$
-2
；若它为正比例函数，则$m=$-2
，$n=$2
。答案
一次函数时m=-2；正比例函数时m=-2，n=2
解析
【分析】
解题前需先明确一次函数和正比例函数的定义要求：①一次函数的形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），需满足两个条件：自变量$x$的次数为1，一次项系数$k$不为0；②正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除满足一次函数的条件外，还需常数项为0。解题时先根据一次函数的条件列方程和不等式求出$m$的取值，再结合正比例函数常数项为0的要求求$n$的值即可。
【解析】
1. 若函数为一次函数：
根据一次函数定义可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\m-2≠0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
2. 若函数为正比例函数：
首先需满足一次函数的条件，即$m=-2$；
再根据正比例函数常数项为0的要求，得$m+n=0$，
将$m=-2$代入得：$-2+n=0$，解得$n=2$。
【答案】
-2；-2，2
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数的定义
【点评】
本题是函数定义类基础题，解题的核心是牢记一次函数、正比例函数的限制条件，尤其要注意一次项系数不为0这个易遗漏的点，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
解题前需先明确一次函数和正比例函数的定义要求：①一次函数的形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），需满足两个条件：自变量$x$的次数为1，一次项系数$k$不为0；②正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除满足一次函数的条件外，还需常数项为0。解题时先根据一次函数的条件列方程和不等式求出$m$的取值，再结合正比例函数常数项为0的要求求$n$的值即可。
【解析】
1. 若函数为一次函数：
根据一次函数定义可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \\m-2≠0\end{cases}$
解$|m|-1=1$得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
2. 若函数为正比例函数：
首先需满足一次函数的条件，即$m=-2$；
再根据正比例函数常数项为0的要求，得$m+n=0$，
将$m=-2$代入得：$-2+n=0$，解得$n=2$。
【答案】
-2；-2，2
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数的定义
【点评】
本题是函数定义类基础题，解题的核心是牢记一次函数、正比例函数的限制条件，尤其要注意一次项系数不为0这个易遗漏的点，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
3.在一次函数$y=kx+b$中，$x,y$的几组对应值如下表所示。根据表中数据可以得到$m=$
6
,$k=$1
。答案
m=6，k=1
解析
【分析】
已知该函数为一次函数，表达式为$y=kx+b$，式中有$k$、$b$两个未知参数，我们可以先选取表中两组已知的$x$、$y$对应值代入表达式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$k$的值；再将$x=0$代入求出的完整函数表达式，即可算出$y$的值也就是$m$。
【解析】
设一次函数解析式为$y=kx+b$，
选取表中$x=-2,y=4$和$x=2,y=8$两组值代入解析式，可得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\2k + b = 8\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=12$，解得$b=6$，
把$b=6$代入$2k + b =8$，得$2k+6=8$，解得$k=1$，
因此一次函数解析式为$y=x+6$，
当$x=0$时，$y=0+6=6$，即$m=6$。
【答案】
$m=6$，$k=1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握代入求值、解二元一次方程组的基础步骤，是一次函数部分的常规得分题。
【难度系数】
0.8
已知该函数为一次函数，表达式为$y=kx+b$，式中有$k$、$b$两个未知参数，我们可以先选取表中两组已知的$x$、$y$对应值代入表达式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$k$的值；再将$x=0$代入求出的完整函数表达式，即可算出$y$的值也就是$m$。
【解析】
设一次函数解析式为$y=kx+b$，
选取表中$x=-2,y=4$和$x=2,y=8$两组值代入解析式，可得：
$\begin{cases}-2k + b = 4 \\2k + b = 8\end{cases}$
将两个方程相加，得$2b=12$，解得$b=6$，
把$b=6$代入$2k + b =8$，得$2k+6=8$，解得$k=1$，
因此一次函数解析式为$y=x+6$，
当$x=0$时，$y=0+6=6$，即$m=6$。
【答案】
$m=6$，$k=1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握代入求值、解二元一次方程组的基础步骤，是一次函数部分的常规得分题。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 如图①，AD是$△ ABC$的边BC上的高，且$AD=8\ \mathrm{cm}$，$BC=9\ \mathrm{cm}$。点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，其速度$v$(单位：cm/s)与时间$x$(单位：s)的关系如图②所示。设$△ ABE$的面积为$y$(单位：$\mathrm{cm}^2$)。
(1)点E的运动速度是
(2)$y$与$x$之间的关系式为
(3)$x$每增加1 s，$y$的变化情况是
(4)当$y=30\ \mathrm{cm}^2$时，$x$的值是
(1)点E的运动速度是
3
cm/s。(2)$y$与$x$之间的关系式为
$y=12x$
。(3)$x$每增加1 s，$y$的变化情况是
增加12 $\mathrm{cm}^2$
。(4)当$y=30\ \mathrm{cm}^2$时，$x$的值是
2.5
。答案
(1)3
(2)$y=12x$
(3)增加12 $\mathrm{cm}^2$
(4)2.5
(2)$y=12x$
(3)增加12 $\mathrm{cm}^2$
(4)2.5
解析
【分析】
(1) 观察速度与时间的关系图像，图像为平行于x轴的直线，说明点E做匀速直线运动，直接读取纵坐标值即可得到运动速度。
(2) 先根据“路程=速度×时间”表示出△ABE的底BE的长度，再结合△ABE的高为AD，利用三角形面积公式即可推导y与x的函数关系式。
(3) 可通过计算x增加1时y的增量，或根据一次函数的一次项系数的意义判断y的变化情况。
(4) 将y=30代入(2)得到的函数关系式，解方程求出x的值，再验证x是否在点E的运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 由图②的速度-时间图像可知，点E的运动速度保持恒定，直接读取得速度为3 cm/s。
(2) 点E运动x s时，走过的路程$BE=3x\ \mathrm{cm}$，
已知AD是△ABC的高，$AD=8\ \mathrm{cm}$，即△ABE中BE边上的高为8 cm，
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} × BE × AD = \frac{1}{2} × 3x × 8 = 12x$，
点E从B到C的总运动时间为$9÷3=3\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围为$0≤ x≤3$。
(3) 当x增加1 s时，对应的面积$y'=12(x+1)=12x+12$，
则$y'-y=12x+12-12x=12$，即x每增加1 s，y增加12 $\mathrm{cm}^2$。
(4) 把$y=30$代入$y=12x$，得：
$12x=30$，解得$x=2.5$，
$2.5＜3$，符合点E的运动时间范围，因此x的值为2.5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{y=12x}$
(3) $\boldsymbol{增加12\ \mathrm{cm}^2}$
(4) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
函数图像信息提取，三角形面积计算，一次函数的应用
【点评】
本题结合动态几何场景和函数图像考查基础知识的应用，要求学生能从图像中提取有效信息，结合几何公式建立函数关系，解题时需注意结合实际运动范围验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 观察速度与时间的关系图像，图像为平行于x轴的直线，说明点E做匀速直线运动，直接读取纵坐标值即可得到运动速度。
(2) 先根据“路程=速度×时间”表示出△ABE的底BE的长度，再结合△ABE的高为AD，利用三角形面积公式即可推导y与x的函数关系式。
(3) 可通过计算x增加1时y的增量，或根据一次函数的一次项系数的意义判断y的变化情况。
(4) 将y=30代入(2)得到的函数关系式，解方程求出x的值，再验证x是否在点E的运动时间范围内即可。
【解析】
(1) 由图②的速度-时间图像可知，点E的运动速度保持恒定，直接读取得速度为3 cm/s。
(2) 点E运动x s时，走过的路程$BE=3x\ \mathrm{cm}$，
已知AD是△ABC的高，$AD=8\ \mathrm{cm}$，即△ABE中BE边上的高为8 cm，
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2} × BE × AD = \frac{1}{2} × 3x × 8 = 12x$，
点E从B到C的总运动时间为$9÷3=3\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围为$0≤ x≤3$。
(3) 当x增加1 s时，对应的面积$y'=12(x+1)=12x+12$，
则$y'-y=12x+12-12x=12$，即x每增加1 s，y增加12 $\mathrm{cm}^2$。
(4) 把$y=30$代入$y=12x$，得：
$12x=30$，解得$x=2.5$，
$2.5＜3$，符合点E的运动时间范围，因此x的值为2.5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) $\boldsymbol{y=12x}$
(3) $\boldsymbol{增加12\ \mathrm{cm}^2}$
(4) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
函数图像信息提取，三角形面积计算，一次函数的应用
【点评】
本题结合动态几何场景和函数图像考查基础知识的应用，要求学生能从图像中提取有效信息，结合几何公式建立函数关系，解题时需注意结合实际运动范围验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
5. 将长为 40 cm、宽为 15 cm 的长方形白纸按下图所示的方式黏合起来，得到一个大长方形，黏合部分的宽为 5 cm。
（1）根据上图，将表格补充完整。
（2）设 $ x $ 张白纸黏合后得到的大长方形的长为 $ y $ cm，写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
（3）当 $ x=20 $ 时，求 $ y $ 的值。白纸黏合起来的总长度可能为 2020 cm 吗？为什么？
（4）设 $ x $ 张白纸黏合后得到的大长方形的面积为 $ S $ $ \mathrm{cm}^2 $，写出 $ S $ 与 $ x $ 之间的关系式，并求出当 $ x=3 $ 时 $ S $ 的值。
（1）根据上图，将表格补充完整。
（2）设 $ x $ 张白纸黏合后得到的大长方形的长为 $ y $ cm，写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
（3）当 $ x=20 $ 时，求 $ y $ 的值。白纸黏合起来的总长度可能为 2020 cm 吗？为什么？
（4）设 $ x $ 张白纸黏合后得到的大长方形的面积为 $ S $ $ \mathrm{cm}^2 $，写出 $ S $ 与 $ x $ 之间的关系式，并求出当 $ x=3 $ 时 $ S $ 的值。
答案
(1)表格补充：2张对应75，5张对应180
(2)$y=40+35(x-1)=35x+5$
(3)当$x=20$时，$y=705$。
不可能。理由如下：
依题意，得$2020=35x+5$，解得$x=\frac{403}{7}$。
因为$x$必须为整数，所以不可能。
(4)依题意，得$S=15(35x+5)=525x+75$。
当$x=3$时，$S=525×3+75=1650$。
(2)$y=40+35(x-1)=35x+5$
(3)当$x=20$时，$y=705$。
不可能。理由如下：
依题意，得$2020=35x+5$，解得$x=\frac{403}{7}$。
因为$x$必须为整数，所以不可能。
(4)依题意，得$S=15(35x+5)=525x+75$。
当$x=3$时，$S=525×3+75=1650$。
解析
【分析】
解题的核心是明确白纸黏合的规律：x张白纸黏合时，会产生(x-1)个宽为5cm的黏合重叠部分，因此总长度不等于单张长度乘张数，需要减去重叠部分的总宽度。
1. 第(1)问：计算2张、5张白纸黏合的长度，直接用“单张长度×张数 - 重叠总宽度（(张数-1)×5）”计算即可。
2. 第(2)问：将上述规律用含x的代数式表示y，化简后即可得到函数关系式。
3. 第(3)问：先把x=20代入关系式求y值；再将y=2020代入关系式解方程，判断解是否为正整数（纸张数必须为正整数）即可得出结论。
4. 第(4)问：大长方形面积=长×宽，宽固定为15cm，将y的关系式代入面积公式，化简得到S与x的关系式，再代入x=3计算即可。
【解析】
(1) 2张白纸黏合的长度：$40×2 - 5×(2-1) = 80 - 5 = 75$（cm）
5张白纸黏合的长度：$40×5 - 5×(5-1) = 200 - 20 = 180$（cm）
(2) x张白纸有(x-1)个黏合部分，因此：
$y = 40x - 5(x-1) = 40x -5x +5 = 35x +5$
(3) ①当$x=20$时，代入$y=35x+5$得：
$y=35×20 +5 = 700 +5 = 705$（cm）
②判断总长度能否为2020cm：
令$y=2020$，则$35x +5 = 2020$
解得$x = \frac{2015}{35} = \frac{403}{7}$
由于x代表白纸张数，必须为正整数，$\frac{403}{7}$不是整数，因此总长度不可能为2020cm。
(4) 大长方形的宽为15cm，面积$S = 15y$，将$y=35x+5$代入得：
$S=15×(35x +5) = 525x +75$
当$x=3$时，$S=525×3 +75 = 1575 +75 = 1650$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
(1)2张对应75，5张对应180
(2)$y=35x+5$
(3)当$x=20$时，$y=705$；不可能，因为解得$x=\frac{403}{7}$不是正整数，不符合实际
(4)$S=525x+75$，当$x=3$时，$S=1650$
【知识点】
一次函数实际应用，代数式求值，一元一次方程应用
【点评】
本题是生活实际结合函数的典型应用题，解题的突破口是找准黏合重叠部分的数量与白纸张数的关系，即x张纸黏合有(x-1)个重叠处，这类题目重在考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确白纸黏合的规律：x张白纸黏合时，会产生(x-1)个宽为5cm的黏合重叠部分，因此总长度不等于单张长度乘张数，需要减去重叠部分的总宽度。
1. 第(1)问：计算2张、5张白纸黏合的长度，直接用“单张长度×张数 - 重叠总宽度（(张数-1)×5）”计算即可。
2. 第(2)问：将上述规律用含x的代数式表示y，化简后即可得到函数关系式。
3. 第(3)问：先把x=20代入关系式求y值；再将y=2020代入关系式解方程，判断解是否为正整数（纸张数必须为正整数）即可得出结论。
4. 第(4)问：大长方形面积=长×宽，宽固定为15cm，将y的关系式代入面积公式，化简得到S与x的关系式，再代入x=3计算即可。
【解析】
(1) 2张白纸黏合的长度：$40×2 - 5×(2-1) = 80 - 5 = 75$（cm）
5张白纸黏合的长度：$40×5 - 5×(5-1) = 200 - 20 = 180$（cm）
(2) x张白纸有(x-1)个黏合部分，因此：
$y = 40x - 5(x-1) = 40x -5x +5 = 35x +5$
(3) ①当$x=20$时，代入$y=35x+5$得：
$y=35×20 +5 = 700 +5 = 705$（cm）
②判断总长度能否为2020cm：
令$y=2020$，则$35x +5 = 2020$
解得$x = \frac{2015}{35} = \frac{403}{7}$
由于x代表白纸张数，必须为正整数，$\frac{403}{7}$不是整数，因此总长度不可能为2020cm。
(4) 大长方形的宽为15cm，面积$S = 15y$，将$y=35x+5$代入得：
$S=15×(35x +5) = 525x +75$
当$x=3$时，$S=525×3 +75 = 1575 +75 = 1650$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
(1)2张对应75，5张对应180
(2)$y=35x+5$
(3)当$x=20$时，$y=705$；不可能，因为解得$x=\frac{403}{7}$不是正整数，不符合实际
(4)$S=525x+75$，当$x=3$时，$S=1650$
【知识点】
一次函数实际应用，代数式求值，一元一次方程应用
【点评】
本题是生活实际结合函数的典型应用题，解题的突破口是找准黏合重叠部分的数量与白纸张数的关系，即x张纸黏合有(x-1)个重叠处，这类题目重在考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
