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1. 方程$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x - 1}{4} = 1$，去分母得到了$8x - 4 - 3x + 3 = 1$，这个变形（
A.分母的最小公倍数找错了
B.漏乘了不含分母的项
C.分子中的多项式没有添括号，符号不对
D.正确
B
）A.分母的最小公倍数找错了
B.漏乘了不含分母的项
C.分子中的多项式没有添括号，符号不对
D.正确
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查去分母解一元一次方程的正误判断，解题思路如下：首先回忆去分母的规则：根据等式的性质，方程两边每一项都要乘所有分母的最小公倍数，不能漏乘任何一项（包括不含分母的项）；同时分子是多项式时要添括号，避免符号错误。解题时先判断最小公倍数是否正确，再检查各项是否都乘了最小公倍数，最后验证符号是否正确，就能确定变形的错误原因。
【解析】
解：第一步，确定分母3和4的最小公倍数是12，去分母时需给方程左右两边的每一项都乘12。
第二步，计算正确的去分母结果：
$12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x - 1}{4} = 12×1$
化简得：$4(2x-1)-3(x-1)=12$，去括号后为$8x - 4 - 3x + 3 = 12$。
第三步，对比题中给出的变形：左边计算正确，但等号右侧的常数项1没有乘12，仍然为1，属于漏乘了不含分母的项。
因此该变形的错误原因是漏乘了不含分母的项，故选B。
【答案】
B
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
这道题是去分母解一元一次方程的典型易错题，解题时要注意去分母的两个核心要求：一是所有项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；二是分子是多项式时要整体加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查去分母解一元一次方程的正误判断，解题思路如下：首先回忆去分母的规则：根据等式的性质，方程两边每一项都要乘所有分母的最小公倍数，不能漏乘任何一项（包括不含分母的项）；同时分子是多项式时要添括号，避免符号错误。解题时先判断最小公倍数是否正确，再检查各项是否都乘了最小公倍数，最后验证符号是否正确，就能确定变形的错误原因。
【解析】
解：第一步，确定分母3和4的最小公倍数是12，去分母时需给方程左右两边的每一项都乘12。
第二步，计算正确的去分母结果：
$12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x - 1}{4} = 12×1$
化简得：$4(2x-1)-3(x-1)=12$，去括号后为$8x - 4 - 3x + 3 = 12$。
第三步，对比题中给出的变形：左边计算正确，但等号右侧的常数项1没有乘12，仍然为1，属于漏乘了不含分母的项。
因此该变形的错误原因是漏乘了不含分母的项，故选B。
【答案】
B
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
这道题是去分母解一元一次方程的典型易错题，解题时要注意去分母的两个核心要求：一是所有项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；二是分子是多项式时要整体加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 解方程：$\frac{3-4x}{2}=\frac{2-5x}{3}+1.$
答案
$x=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道含分母的一元一次方程求解问题，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：首先利用等式的性质2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数去掉分母，将方程转化为整系数方程，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程的解。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，移项要改变符号。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3(3-4x)=2(2-5x)+6$
去括号，根据乘法分配律展开，得：
$9-12x=4-10x+6$
移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得：
$-12x+10x=4+6-9$
合并同类项，得：
$-2x=1$
系数化为1，方程两边同时除以$-2$，得：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是解一元一次方程的常规题型，核心考查去分母的运算规则，解题时要注意去分母时不要漏乘没有分母的项，同时去括号、移项时要注意符号变化，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.8
这是一道含分母的一元一次方程求解问题，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：首先利用等式的性质2，方程两边同乘所有分母的最小公倍数去掉分母，将方程转化为整系数方程，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程的解。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，移项要改变符号。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3(3-4x)=2(2-5x)+6$
去括号，根据乘法分配律展开，得：
$9-12x=4-10x+6$
移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项变号，得：
$-12x+10x=4+6-9$
合并同类项，得：
$-2x=1$
系数化为1，方程两边同时除以$-2$，得：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是解一元一次方程的常规题型，核心考查去分母的运算规则，解题时要注意去分母时不要漏乘没有分母的项，同时去括号、移项时要注意符号变化，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.8
例 某车间将一批零件分配给工人加工.若每人加工5个，则多出15个；若每人加工6个，则缺少10个.这批零件共有多少个？
答案
解：设这批零件共有$x$个.
由题意，得$\frac{x-15}{5}=\frac{x+10}{6}$.
解得$x=140$.
答：这批零件共有140个.
由题意，得$\frac{x-15}{5}=\frac{x+10}{6}$.
解得$x=140$.
答：这批零件共有140个.
解析
【分析】
这是典型的零件分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量：工人总人数不变。我们可以设零件总数为未知数，分别用两种分配方式表示出工人人数，根据人数相等列方程求解：第一步设零件总数为x个；第二步根据“每人加工5个多出15个”，可得工人人数为$\frac{x-15}{5}$，根据“每人加工6个缺少10个”，可得工人人数为$\frac{x+10}{6}$；第三步令两个表示人数的式子相等列方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤解方程即可。
【解析】
解：设这批零件共有$x$个。
由工人人数不变得：$\frac{x-15}{5}=\frac{x+10}{6}$
去分母，两边同时乘30得：$6(x-15)=5(x+10)$
去括号得：$6x-90=5x+50$
移项得：$6x-5x=50+90$
合并同类项得：$x=140$
答：这批零件共有140个。
【答案】
140个
【知识点】
一元一次方程应用；去分母解方程；分配问题求解
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是挖掘“工人人数不变”这一隐含等量关系，既可以设零件总数为未知数求解，也可以设工人人数为未知数求解，侧重考查学生寻找等量关系和一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的零件分配类应用题，解题核心是抓住题目中的不变量：工人总人数不变。我们可以设零件总数为未知数，分别用两种分配方式表示出工人人数，根据人数相等列方程求解：第一步设零件总数为x个；第二步根据“每人加工5个多出15个”，可得工人人数为$\frac{x-15}{5}$，根据“每人加工6个缺少10个”，可得工人人数为$\frac{x+10}{6}$；第三步令两个表示人数的式子相等列方程，再按去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤解方程即可。
【解析】
解：设这批零件共有$x$个。
由工人人数不变得：$\frac{x-15}{5}=\frac{x+10}{6}$
去分母，两边同时乘30得：$6(x-15)=5(x+10)$
去括号得：$6x-90=5x+50$
移项得：$6x-5x=50+90$
合并同类项得：$x=140$
答：这批零件共有140个。
【答案】
140个
【知识点】
一元一次方程应用；去分母解方程；分配问题求解
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是挖掘“工人人数不变”这一隐含等量关系，既可以设零件总数为未知数求解，也可以设工人人数为未知数求解，侧重考查学生寻找等量关系和一元一次方程的计算能力。
【难度系数】
0.8
某单位计划“五一”期间组织职工到东平湖旅游.若单独租用40座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用50座的客车，则可以少租一辆，并且有40个空余座位.该单位参加旅游的职工有多少人？
答案
该单位参加旅游的职工有360人.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量：无论租用哪种车型，单位参加旅游的职工总人数固定不变。我们可以通过设未知数表示两种租车方案对应的车辆数，利用“50座客车比40座客车少租1辆”的数量关系列方程求解，也可以设车辆数为未知数，通过总人数相等列方程，最终计算出总人数即可。
【解析】
解法一（贴合去分母解一元一次方程要求）：
解：设该单位参加旅游的职工有$ x $人。
单独租40座客车的辆数为$ \frac{x}{40} $，单独租50座客车的辆数为$ \frac{x+40}{50} $，根据50座客车可少租1辆，列方程：
$ \frac{x}{40} - \frac{x+40}{50} = 1 $
去分母（两边同乘200），得：
$ 5x - 4(x+40) = 200 $
去括号，得：
$ 5x - 4x - 160 = 200 $
移项、合并同类项，得：
$ x = 360 $
检验：将$ x=360 $代入原方程，左边$ =\frac{360}{40}-\frac{360+40}{50}=9-8=1 $，等于右边，符合题意。
【答案】
该单位参加旅游的职工有360人。
【知识点】
一元一次方程的应用，去分母解一元一次方程，等量关系确定
【点评】
本题是典型的租车类方程应用题，解题关键是抓住总人数不变或租车数量的差值关系建立等式，既可以设人数为未知数用去分母法求解，也可以设车辆数为未知数求解，主要考察学生的读题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量：无论租用哪种车型，单位参加旅游的职工总人数固定不变。我们可以通过设未知数表示两种租车方案对应的车辆数，利用“50座客车比40座客车少租1辆”的数量关系列方程求解，也可以设车辆数为未知数，通过总人数相等列方程，最终计算出总人数即可。
【解析】
解法一（贴合去分母解一元一次方程要求）：
解：设该单位参加旅游的职工有$ x $人。
单独租40座客车的辆数为$ \frac{x}{40} $，单独租50座客车的辆数为$ \frac{x+40}{50} $，根据50座客车可少租1辆，列方程：
$ \frac{x}{40} - \frac{x+40}{50} = 1 $
去分母（两边同乘200），得：
$ 5x - 4(x+40) = 200 $
去括号，得：
$ 5x - 4x - 160 = 200 $
移项、合并同类项，得：
$ x = 360 $
检验：将$ x=360 $代入原方程，左边$ =\frac{360}{40}-\frac{360+40}{50}=9-8=1 $，等于右边，符合题意。
【答案】
该单位参加旅游的职工有360人。
【知识点】
一元一次方程的应用，去分母解一元一次方程，等量关系确定
【点评】
本题是典型的租车类方程应用题，解题关键是抓住总人数不变或租车数量的差值关系建立等式，既可以设人数为未知数用去分母法求解，也可以设车辆数为未知数求解，主要考察学生的读题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系.
解一元一次方程
去分母
依据：
注意：不要漏乘不含分母的项
去括号
依据：
注意：不要漏乘，注意符号
移项
依据：
注意：移项要变号
合并同类项
依据：
系数化为1
依据：
解一元一次方程
去分母
依据：
等式的性质2
；注意：不要漏乘不含分母的项
去括号
依据：
去括号法则
；注意：不要漏乘，注意符号
移项
依据：
等式的性质1
；注意：移项要变号
合并同类项
依据：
分配律
系数化为1
依据：
等式的性质2
答案
1. 等式的性质2
2. 去括号法则
3. 等式的性质1
4. 分配律
5. 等式的性质2
2. 去括号法则
3. 等式的性质1
4. 分配律
5. 等式的性质2
解析
【分析】
本题考查解一元一次方程各步骤的理论依据，解题时需逐个对应每步操作的数学原理：
1. 去分母操作是给等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，对应等式两边同乘一个数等式仍成立的性质；
2. 去括号操作需按照去括号的符号规则展开，对应专门的去括号法则；
3. 移项操作是把等式某侧的项变号后移到另一侧，本质是等式两边同时加减同一个数，对应等式的基本性质1；
4. 合并同类项是将同类项的系数相加，本质是逆用乘法分配律；
5. 系数化为1是给等式两边同时除以未知数的系数，对应等式两边同除一个非零数等式仍成立的性质。
【解析】
解一元一次方程各步骤的依据依次为：
1. 去分母：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；
2. 去括号：去括号法则，即括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号均改变；
3. 移项：等式的性质1，即等式两边同时加或减同一个数或整式，等式仍然成立；
4. 合并同类项：逆用乘法分配律，将同类项的系数合并，字母和字母的指数保持不变；
5. 系数化为1：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
1. 等式的性质2
2. 去括号法则
3. 等式的性质1
4. 分配律
5. 等式的性质2
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查解一元一次方程各步骤的原理，掌握这些依据能帮助我们减少解方程时的错误，比如去分母不漏乘、移项记得变号等，是求解一元一次方程的必备基础知识。
【难度系数】
0.9
本题考查解一元一次方程各步骤的理论依据，解题时需逐个对应每步操作的数学原理：
1. 去分母操作是给等式两边同时乘所有分母的最小公倍数，对应等式两边同乘一个数等式仍成立的性质；
2. 去括号操作需按照去括号的符号规则展开，对应专门的去括号法则；
3. 移项操作是把等式某侧的项变号后移到另一侧，本质是等式两边同时加减同一个数，对应等式的基本性质1；
4. 合并同类项是将同类项的系数相加，本质是逆用乘法分配律；
5. 系数化为1是给等式两边同时除以未知数的系数，对应等式两边同除一个非零数等式仍成立的性质。
【解析】
解一元一次方程各步骤的依据依次为：
1. 去分母：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；
2. 去括号：去括号法则，即括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号均改变；
3. 移项：等式的性质1，即等式两边同时加或减同一个数或整式，等式仍然成立；
4. 合并同类项：逆用乘法分配律，将同类项的系数合并，字母和字母的指数保持不变；
5. 系数化为1：等式的性质2，即等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【答案】
1. 等式的性质2
2. 去括号法则
3. 等式的性质1
4. 分配律
5. 等式的性质2
【知识点】
解一元一次方程；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查解一元一次方程各步骤的原理，掌握这些依据能帮助我们减少解方程时的错误，比如去分母不漏乘、移项记得变号等，是求解一元一次方程的必备基础知识。
【难度系数】
0.9
