1. (2023·四川泸州)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数$a,b,c$的计算公式：$a=\frac{1}{2}(m^2 - n^2)$，$b=mn$，$c=\frac{1}{2}(m^2 + n^2)$，其中$m＞n＞0$，$m,n$是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A. $3,4,5$
B. $5,12,13$
C. $6,8,10$
D. $7,24,25$

C

2. 一般地，若$ x^n = a $，则$ x $叫作$ a $的$ n $次方根，其中$ n＞1 $，且$ n $是正整数.例如：因为$(\pm 3)^4 = 81$，所以$\pm 3$叫作81的四次方根，记作$\pm \sqrt[4]{81} = \pm 3$；因为$(-2)^5 = -32$，所以$-2$叫作$-32$的五次方根，记作$\sqrt[5]{-32} = -2$.下列说法不正确的是（ ）
A. 负数$ a $没有偶数次方根
B. 任何有理数$ a $都有奇数次方根
C. $\sqrt[2025]{a^{2025}} = a$
D. $\sqrt[2024]{a^{2024}} = a$

D

3. (2025·江苏徐州期末)规定:在平面直角坐标系中,一个点做“0”变换表示将它向右平移1个单位长度,一个点做“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转$90°$.由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:如图,点$O(0,0)$按序列“011…”做变换,表示点$O$先向右平移1个单位长度得到点$O_1(1,0)$,再将点$O_1(1,0)$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$O_2(0,-1)$,再将点$O_2(0,-1)$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$O_3(-1,0)$……以此类推,则点$(0,1)$经过“011011011”变换后得到点的坐标为______.

(-1，-1)

4. 如图, 将 $△ ABC$ 沿 $∠ BAC$ 的平分线$AB_1$ 折叠, 剪掉重叠部分; 将余下部分沿$∠ B_1A_1C$ 的平分线 $A_1B_2$ 折叠, 剪掉重叠部分……将余下部分沿$∠ B_{n-1}A_{n-1}C$ 的平分线 $A_{n-1}B_n$ 折叠, 直至点 $B_{n-1}$ 与点 $C$重合, 此时 $∠ BAC$ 就是 $△ ABC$ 的 “好角”. 若经过 $n$ 次折叠后发现 $∠ BAC$ 是$△ ABC$ 的 “好角”, 则 $∠ B$ 与 $∠ C(∠ B＞$$∠ C)$ 之间的数量关系为____________.

$\angle B = n\angle C$

5. 如图①，A，B是直线l同侧的两个定点.若要在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，我们可以作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接PA，则此时PA＋PB的值最小.
（1）如图②，∠AOB＝30°，P是∠AOB内部一点，OP＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值；
（2）如图③，∠AOB＝20°，M，N两点分别在边OA，OB上，且OM＝ON＝2，P，Q两点分别在OB，OA上，求MP＋PQ＋QN的最小值.

解：​$(1)$​如图​$①，$​作点​$P $​关于​$OB$​的对称点​$P'，$​点​$P $​关于​$OA$​的对称点​$P''，$​连接​$P'P''$​交​$OB$​于点​$R，$​交OA于点Q，连接OP'，OP''，PP'，PP'' ∵点​$P $​与​$P'$​关于​$OB$​对称，点​$P $​与​$P''$​关于​$OA$​对称∴​$OP = OP'，$​​$OP = OP''，$​​$R P = R P'，$​​$QP = QP''$​即OP' = OP'' ∴​$\triangle PQR $​的周长为​$R P + R Q + QP$​​$ = R P' + R Q + QP'' = P'P''$​此时△PQR的周长最小，且最小值为P'P''的长 ∵​$OB$​垂直平分​$PP'，$​​$OA$​垂直平分​$PP''$​∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∴​$∠P'OP'' = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 $​= 2(∠2 + ∠3) = 2∠AOB = 60° 又∵​$OP' = OP''，$​∴​$\triangle P'OP''$​为等边三角形∴​$P'P'' = OP' = OP = 10$​即△PQR周长的最小值为10​$ (2) $​如图​$②，$​作点​$M$​关于​$OB$​的对称点​$M'，$​点​$N$​关于​$OA$​的对称点​$N'，$​连接​$M'N'$​交​$OB$​于点​$P，$​交OA于点Q，连接ON'，OM'，MM'，NN' ∵点​$M$​与​$M'$​关于​$OB$​对称，点​$N$​与​$N'$​关于​$OA$​对称∴​$OM' = OM = 2，$​​$ON' = ON = 2，$​MP = M'P，QN = QN'，即OM' = ON' = 2 ∴​$MP + PQ + QN = M'P + PQ + QN' = M'N'$​此时MP + PQ + QN的值最小，且最小值为M'N'的长 ∵​$OB$​垂直平分​$MM'，$​​$OA$​垂直平分​$NN'$​∴∠M'OB = ∠AOB = 20°，∠N'OA = ∠AOB = 20° ∴​$∠M'ON' = 60°$​又∵​$OM' = ON'$​∴​$\triangle M'ON'$​为等边三角形∴​$M'N' = OM' = 2$​即​$MP + PQ + QN$​的最小值为​$2$​