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9.如图,在△ABC中,BD,CE是角平分线,且BD,CE相交于点F,∠A=68°.则∠BFE的度数是(
A.56°
B.68°
C.112°
D.124°
A
)A.56°
B.68°
C.112°
D.124°
答案
9. A 【解析】
∵ $∠A=68°$,
∴ $∠ABC+∠ACB=180°-∠A=112°$.
∵ 在△ABC中,BD,CE是角平分线,且BD,CE相交于点F,
∴ $∠CBF+∠BCF=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}×112°=56°$,
∴ $∠BFE=∠CBF+∠BCF=56°$.故选 A.
∵ $∠A=68°$,
∴ $∠ABC+∠ACB=180°-∠A=112°$.
∵ 在△ABC中,BD,CE是角平分线,且BD,CE相交于点F,
∴ $∠CBF+∠BCF=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}×112°=56°$,
∴ $∠BFE=∠CBF+∠BCF=56°$.故选 A.
10. 计算$\frac{m}{m^2 - n^2} - \frac{1}{m - n}$的结果是(
A.$\frac{m - n}{m + n}$
B.$\frac{m - 1}{m^2 - n^2}$
C.$\frac{n}{m^2 - n^2}$
D.$-\frac{n}{m^2 - n^2}$
D
)A.$\frac{m - n}{m + n}$
B.$\frac{m - 1}{m^2 - n^2}$
C.$\frac{n}{m^2 - n^2}$
D.$-\frac{n}{m^2 - n^2}$
答案
10. D 【解析】$\frac{m}{m^2-n^2}-\frac{1}{m-n}=\frac{m}{(m-n)(m+n)}-\frac{1}{m-n}=\frac{m}{(m-n)(m+n)}-\frac{m+n}{(m-n)(m+n)}=\frac{m-(m+n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{-n}{(m-n)(m+n)}=-\frac{n}{m^2-n^2}$.故选 D.
11.有下列说法:①用科学记数法表示 0.000 000 16 的结果是$1.6×10^{-7}$;②在$Rt△ABC$中,$∠C=90°,∠B=2∠A$,则有$AB=2AC$;③当n是整数时,两个连续奇数的平方差$(2n+1)^2-(2n-1)^2$是8的倍数;④等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.其中,正确说法的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11. C 【解析】
∵ 0.000 000 16=$1.6×10^{-7}$,
∴结论①正确;
∵ 在Rt△ABC中,$∠C=90°,∠B=2∠A$,则$∠A+∠B=90°$,即$∠A+2∠A=90°$,
∴ $∠A=30°,∠B=60°$,
∴ $AB=2BC$,但$AB≠2AC$,故结论②错误;
∵ $(2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)-(2n-1)]×[(2n+1)+(2n-1)]=2×4n=8n$,$n$为整数,
∴ $8n$是8的倍数,故结论③正确;
∵ 等腰三角形底边中点也是顶角平分线上的点,
∴ 该点到两腰距离相等,故结论④正确.
∴ 正确的结论有3个,故选 C.
∵ 0.000 000 16=$1.6×10^{-7}$,
∴结论①正确;
∵ 在Rt△ABC中,$∠C=90°,∠B=2∠A$,则$∠A+∠B=90°$,即$∠A+2∠A=90°$,
∴ $∠A=30°,∠B=60°$,
∴ $AB=2BC$,但$AB≠2AC$,故结论②错误;
∵ $(2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)-(2n-1)]×[(2n+1)+(2n-1)]=2×4n=8n$,$n$为整数,
∴ $8n$是8的倍数,故结论③正确;
∵ 等腰三角形底边中点也是顶角平分线上的点,
∴ 该点到两腰距离相等,故结论④正确.
∴ 正确的结论有3个,故选 C.
12.如图，BD是$△ ABC$的角平分线.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点C为圆心,AE长为半径画弧,与边BC相交于点H;③以点H为圆心,EF长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点G;④作射线CG,与BD相交于点M,与边AB相交于点N.则下列结论一定正确的是(
A.$∠ ABD=∠ ACM$
B.$CN⊥ AB$
C.$CM=CD$
D.$AD=CD$
C
)A.$∠ ABD=∠ ACM$
B.$CN⊥ AB$
C.$CM=CD$
D.$AD=CD$
答案
12. C 【解析】由作法得:$∠BCN=∠A$,
∵ $∠BDC=∠A+∠ABD,∠BCD=∠BCN+∠ACN$,根据题意无法得到$∠BDC$与$∠BCD$相等,
∴ 无法确定$∠ABD$与$∠ACM$的大小关系,故A选项错误;根据题意无法证明$CN⊥AB$,故B选项错误;
∵ BD是△ABC的角平分线,
∴ $∠ABD=∠CBD$,
∴ $∠ABD+∠A=∠CBD+∠BCM$,
∴ $∠BDC=∠CMD$,
∴ $CM=CD$,故C选项正确;根据题意无法得到AD,CD的大小关系,故D选项错误.故选 C.
∵ $∠BDC=∠A+∠ABD,∠BCD=∠BCN+∠ACN$,根据题意无法得到$∠BDC$与$∠BCD$相等,
∴ 无法确定$∠ABD$与$∠ACM$的大小关系,故A选项错误;根据题意无法证明$CN⊥AB$,故B选项错误;
∵ BD是△ABC的角平分线,
∴ $∠ABD=∠CBD$,
∴ $∠ABD+∠A=∠CBD+∠BCM$,
∴ $∠BDC=∠CMD$,
∴ $CM=CD$,故C选项正确;根据题意无法得到AD,CD的大小关系,故D选项错误.故选 C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13. 计算$a^{-2} ÷ a^{3} · a^{6}$的结果是
13. 计算$a^{-2} ÷ a^{3} · a^{6}$的结果是
a
.答案
13. a 【解析】$a^{-2} ÷ a^3 · a^6 =a^{-2-3} · a^6 =a^{-5} · a^6 =a^{-5+6}=a$.故答案为a.
14.若$x=2$是关于$x$的分式方程$\frac{a}{x}-\frac{1}{x-1}=0$的解，则$a$的值是
2
。答案
14. 2 【解析】将$x=2$代入方程$\frac{a}{x}-\frac{1}{x-1}=0$,得$\frac{a}{2}-\frac{1}{2-1}=0$,即$\frac{a}{2}-1=0$,解得$a=2$.故答案为2.
15. 在平面直角坐标系中，将点A(-1,2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B'的坐标是
(4,-2)
.答案
15. (4,-2) 【解析】点A(-1,2)向右平移5个单位长度得到点B的坐标为(-1+5,2),即(4,2),则点B关于x轴的对称点B'的坐标是(4,-2).故答案为(4,-2).
16. 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，点$D$在线段$BC$上，若$∠ CAE=30°$，则$∠ ADE$的大小是
75
度。答案
16. 75 【解析】
∵ $△ABC≌△ADE$,
∴ $∠BAC=∠DAE$,$AB=AD$,$∠B=∠ADE$,
∴ $∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$,
∴ $∠BAD=∠CAE=30°$,
∴ $∠B=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=75°$,
∴ $∠ADE=∠B=75°$.故答案为75.
∵ $△ABC≌△ADE$,
∴ $∠BAC=∠DAE$,$AB=AD$,$∠B=∠ADE$,
∴ $∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$,
∴ $∠BAD=∠CAE=30°$,
∴ $∠B=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=75°$,
∴ $∠ADE=∠B=75°$.故答案为75.
17.如图,在$△ ABC$中,$AB=BC,S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$,边$AB$的垂直平分线为$l$,$P$是$l$上的动点,$D$为$AC$边的中点,连接$PA$,$PD$,若$AC=4\ \mathrm{cm}$,则$PA+PD$的最小值为
6
$\mathrm{cm}$.答案
17. 6 【解析】如图所示,连接BP,BD,
∵ 边AB的垂直平分线为l,P是l上的动点,
∴ $PB=PA$,
∴ $PA+PD=PB+PD≥BD$,
∴ 当B,P,D三点共线时,$PA+PD$有最小值,即BD的长度.
∵ 在△ABC中,$AB=BC$,点D是边AC的中点,
∴ $BD⊥AC$.
∵ $S_{△ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=12$,
∴ $\frac{1}{2}×4BD=12$,
∴ $BD=6\ \mathrm{cm}$,
∴ $PA+PD$的最小值为6 cm.故答案为6.
