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1. 点A在数轴上所表示的数如图所示,将点A向左平移2个单位长度,得到点B的相反数,点P是数轴上一动点.
(1)点B表示的数是
(2)若点B在数轴上移动了m个单位长度得到点C,且$AC=3$,求m的值.
(3)若点D为AP的中点,点E为BP的中点,点P在运动过程中,线段DE的长度是否发生变化?若不发生变化,请你求出线段DE的长度;若发生变化,请你说明理由.
(1)点B表示的数是
-2
.(2)若点B在数轴上移动了m个单位长度得到点C,且$AC=3$,求m的值.
(3)若点D为AP的中点,点E为BP的中点,点P在运动过程中,线段DE的长度是否发生变化?若不发生变化,请你求出线段DE的长度;若发生变化,请你说明理由.
答案
(1) -2
(2) 因为点A表示的数是4,AC=3,设点C表示的数为$x_C$,所以$|4-x_C|=3$,所以$4-x_C=3$或$4-x_C=-3$,解得$x_C=1$或$x_C=7$,因为点B表示的是-2,所以需向右平移$1-(-2)=3$(个)单位长度或$7-(-2)=9$(个)单位长度,故$m=3$或$m=9$.
(3) 不变.设点P表示的数是$x_P$,点D表示的数是$x_D$,点E表示的数是$x_E$,因为点B表示的数是-2,点A表示的数是4,当$x_P＜-2$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$;当$-2≤ x_P≤4$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$;当$x_P＞4$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$.故线段DE的长度不变,为3.
(2) 因为点A表示的数是4,AC=3,设点C表示的数为$x_C$,所以$|4-x_C|=3$,所以$4-x_C=3$或$4-x_C=-3$,解得$x_C=1$或$x_C=7$,因为点B表示的是-2,所以需向右平移$1-(-2)=3$(个)单位长度或$7-(-2)=9$(个)单位长度,故$m=3$或$m=9$.
(3) 不变.设点P表示的数是$x_P$,点D表示的数是$x_D$,点E表示的数是$x_E$,因为点B表示的数是-2,点A表示的数是4,当$x_P＜-2$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$;当$-2≤ x_P≤4$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$;当$x_P＞4$时,$x_D=\frac{4+x_P}{2}$,$x_E=\frac{-2+x_P}{2}$,所以$DE=x_D-x_E=\frac{4+x_P}{2}-\frac{-2+x_P}{2}=3$.故线段DE的长度不变,为3.
2. 数轴上表示5和2的两点之间的距离是$|5-2|=3$；表示-3和2的两点之间的距离是$|-3-2|=5$；一般地，数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离等于$|m-n|$。
(1)如果表示数$a$和-2的两点之间的距离是3，那么可列方程为$|a-(-2)|=3$，则$a=$
(2)若数轴上表示数$a$的点位于表示-4与2的两点之间，则$|a+4|+|a-2|=$
(3)如果点$A$表示-8、点$B$表示-4、点$C$表示2，点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为$t$秒，在一段时间内$PB+PC$的值不变，直接写出$t$的取值范围。
(1)如果表示数$a$和-2的两点之间的距离是3，那么可列方程为$|a-(-2)|=3$，则$a=$
1或-5
；(2)若数轴上表示数$a$的点位于表示-4与2的两点之间，则$|a+4|+|a-2|=$
6
；(3)如果点$A$表示-8、点$B$表示-4、点$C$表示2，点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为$t$秒，在一段时间内$PB+PC$的值不变，直接写出$t$的取值范围。
答案
(1) 1或-5 【解析】因为表示数1和-2的两点之间的距离是$1-(-2)=3$,表示数-5和-2的两点之间的距离是$-2-(-5)=3$,所以$a=1$或-5.
(2) 6 【解析】因为$|a+4|+|a-2|=|a-(-4)|+|a-2|$,所以所求式子的值为表示数$a$的点到表示-4的点与到表示2的点的距离之和,即为表示2的点到表示-4的点的距离,所以$|a+4|+|a-2|=|a-(-4)|+|a-2|=|2-(-4)|=6$.
(3) $t$的取值范围是$2≤ t≤5$. 【解析】根据题意可知,当点P在线段BC上运动时,$PB+PC$的值不变,点P从点A运动到点B的时间为$t=|-4-(-8)|÷2=2$(秒),点P从点A运动到点C的时间为$t=|2-(-8)|÷2=5$(秒),所以当$2≤ t≤5$时,$PB+PC$的值不变.
(2) 6 【解析】因为$|a+4|+|a-2|=|a-(-4)|+|a-2|$,所以所求式子的值为表示数$a$的点到表示-4的点与到表示2的点的距离之和,即为表示2的点到表示-4的点的距离,所以$|a+4|+|a-2|=|a-(-4)|+|a-2|=|2-(-4)|=6$.
(3) $t$的取值范围是$2≤ t≤5$. 【解析】根据题意可知,当点P在线段BC上运动时,$PB+PC$的值不变,点P从点A运动到点B的时间为$t=|-4-(-8)|÷2=2$(秒),点P从点A运动到点C的时间为$t=|2-(-8)|÷2=5$(秒),所以当$2≤ t≤5$时,$PB+PC$的值不变.
