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1. 关于$x$的方程$ax+b=1$与关于$y$的方程$my+n=1$($a,b,m,n$均为不等于0的常数),两个方程的解的和为1,则称这两个方程为“和谐方程”.例如:方程$2x+3=1$的解为$x=-1$,方程$4y-7=1$的解为$y=2$,因为$x+y=-1+2=1$,所以方程$2x+3=1$与方程$4y-7=1$为“和谐方程”.
(1)已知方程$5x+6=1$与方程$y=2$,试说明这两个方程为“和谐方程”;
(2)若关于$x$的方程$5x-b=1$与关于$y$的方程$4y+c=1$为“和谐方程”,求$8b-10c$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x+2n=1$与关于$y$的方程$4y-d+3=1$为“和谐方程”,且$0＜n＜20$,$n$能被3整除($n,d$为正整数),求$n,d$的值.
(1)已知方程$5x+6=1$与方程$y=2$,试说明这两个方程为“和谐方程”;
(2)若关于$x$的方程$5x-b=1$与关于$y$的方程$4y+c=1$为“和谐方程”,求$8b-10c$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x+2n=1$与关于$y$的方程$4y-d+3=1$为“和谐方程”,且$0＜n＜20$,$n$能被3整除($n,d$为正整数),求$n,d$的值.
答案
(1)解方程$5x+6=1$得$x=-1$,因为$x+y=-1+2=1$,所以这两个方程为“和谐方程”.
(2)解方程$5x-b=1$得$x=\frac{b+1}{5}$,解方程$4y+c=1$得$y=\frac{1-c}{4}$,所以$x+y=\frac{b+1}{5}+\frac{1-c}{4}=1$,即$4b-5c=11$,所以$8b-10c=2(4b-5c)=2×11=22$.
(3)解方程$5x+2n=1$得$x=\frac{1-2n}{5}$,解方程$4y-d+3=1$得$y=\frac{d-2}{4}$,所以$x+y=\frac{1-2n}{5}+\frac{d-2}{4}=1$,即$n=\frac{5d-26}{8}$.因为$0＜n＜20$,$n$能被3整除($n,d$为正整数),所以$n$可能为3,6,9,12,15,18,所以当$n=3$时,$d=10$,符合题意;当$n=6$时,$d=\frac{74}{5}$,不符合题意;当$n=9$时,$d=\frac{98}{5}$,不符合题意;当$n=12$时,$d=\frac{122}{5}$,不符合题意;当$n=15$时,$d=\frac{146}{5}$,不符合题意;当$n=18$时,$d=34$,符合题意.综上,$n=3,d=10$或$n=18,d=34$.
(2)解方程$5x-b=1$得$x=\frac{b+1}{5}$,解方程$4y+c=1$得$y=\frac{1-c}{4}$,所以$x+y=\frac{b+1}{5}+\frac{1-c}{4}=1$,即$4b-5c=11$,所以$8b-10c=2(4b-5c)=2×11=22$.
(3)解方程$5x+2n=1$得$x=\frac{1-2n}{5}$,解方程$4y-d+3=1$得$y=\frac{d-2}{4}$,所以$x+y=\frac{1-2n}{5}+\frac{d-2}{4}=1$,即$n=\frac{5d-26}{8}$.因为$0＜n＜20$,$n$能被3整除($n,d$为正整数),所以$n$可能为3,6,9,12,15,18,所以当$n=3$时,$d=10$,符合题意;当$n=6$时,$d=\frac{74}{5}$,不符合题意;当$n=9$时,$d=\frac{98}{5}$,不符合题意;当$n=12$时,$d=\frac{122}{5}$,不符合题意;当$n=15$时,$d=\frac{146}{5}$,不符合题意;当$n=18$时,$d=34$,符合题意.综上,$n=3,d=10$或$n=18,d=34$.
2. （2025·南京期末）定义：已知$x_0,y_0$分别是关于$x,y$的方程的解，若满足：$\left|x_0 - \frac{1}{2}y_0\right| = k$（$k$为正数），则称前者是后者的“$k$属方程”。
例如：方程$x-2=0$的解是$x=2$，方程$2y=6$的解是$y=3$，且满足$\left|2 - \frac{1}{2} × 3\right| = \frac{1}{2}$，则称方程$x-2=0$是方程$2y=6$的“$\frac{1}{2}$属方程”。
（1）下列方程是方程$3y-1=5$的“1属方程”的是________（请填写正确的序号）；
①$2x=0$；②$3+x=2(x+1)$；③$3-2x=3x-7$。
（2）若关于$x$的方程$\frac{a+3x}{2} - x = 2$是关于$y$的方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的“2属方程”，求整数$a$的值；
（3）若对于任何正数$m$，关于$x$的方程$2(x-3)=4m-9$都是关于$y$的方程$3y+2n=4mn$的“$m$属方程”，求$n$的值。
例如：方程$x-2=0$的解是$x=2$，方程$2y=6$的解是$y=3$，且满足$\left|2 - \frac{1}{2} × 3\right| = \frac{1}{2}$，则称方程$x-2=0$是方程$2y=6$的“$\frac{1}{2}$属方程”。
（1）下列方程是方程$3y-1=5$的“1属方程”的是________（请填写正确的序号）；
①$2x=0$；②$3+x=2(x+1)$；③$3-2x=3x-7$。
（2）若关于$x$的方程$\frac{a+3x}{2} - x = 2$是关于$y$的方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的“2属方程”，求整数$a$的值；
（3）若对于任何正数$m$，关于$x$的方程$2(x-3)=4m-9$都是关于$y$的方程$3y+2n=4mn$的“$m$属方程”，求$n$的值。
答案
(1) ①③
【解析】方程$3y-1=5$的解是$y=2$,①$2x=0$的解是$x=0$,$\left|0-\frac{1}{2}×2\right|=1$,方程①是方程$3y-1=5$的“1属方程”;②$3+x=2(x+1)$的解是$x=1$,$\left|1-\frac{1}{2}×2\right|≠1$,方程②不是方程$3y-1=5$的“1属方程”;③$3-2x=3x-7$的解是$x=2$,$\left|2-\frac{1}{2}×2\right|=1$,方程③是方程$3y-1=5$的“1属方程”.故答案为①③.
(2)方程$\frac{a+3x}{2}-x=2$的解是$x=4-a$,方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的解是$y=4a-2$,因为方程$\frac{a+3x}{2}-x=2$是方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的“2属方程”,所以$\left|4-a-\frac{1}{2}(4a-2)\right|=2$,方程化简,得$|3a-5|=2$,解得$a=1$或$a=\frac{7}{3}$,因为$a$为整数,所以$a=1$.
(3)方程$2(x-3)=4m-9$的解是$x=\frac{4m-3}{2}$,方程$3y+2n=4mn$的解是$y=\frac{4mn-2n}{3}$,因为方程$2(x-3)=4m-9$是方程$3y+2n=4mn$的“$m$属方程”,所以$\left|\frac{4m-3}{2}-\frac{2mn-n}{3}\right|=m$,
$\frac{4m-3}{2}-\frac{2mn-n}{3}=±m$,即$(4n-18)m=2n-9$或$(4n-6)m=2n-9$,因为$m$取任意正数方程都成立,所以$4n-18=0$且$2n-9=0$,或$4n-6=0$且$2n-9=0$,解得$n=\frac{9}{2}$.
【解析】方程$3y-1=5$的解是$y=2$,①$2x=0$的解是$x=0$,$\left|0-\frac{1}{2}×2\right|=1$,方程①是方程$3y-1=5$的“1属方程”;②$3+x=2(x+1)$的解是$x=1$,$\left|1-\frac{1}{2}×2\right|≠1$,方程②不是方程$3y-1=5$的“1属方程”;③$3-2x=3x-7$的解是$x=2$,$\left|2-\frac{1}{2}×2\right|=1$,方程③是方程$3y-1=5$的“1属方程”.故答案为①③.
(2)方程$\frac{a+3x}{2}-x=2$的解是$x=4-a$,方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的解是$y=4a-2$,因为方程$\frac{a+3x}{2}-x=2$是方程$3(2-y)=4a-4(y-1)$的“2属方程”,所以$\left|4-a-\frac{1}{2}(4a-2)\right|=2$,方程化简,得$|3a-5|=2$,解得$a=1$或$a=\frac{7}{3}$,因为$a$为整数,所以$a=1$.
(3)方程$2(x-3)=4m-9$的解是$x=\frac{4m-3}{2}$,方程$3y+2n=4mn$的解是$y=\frac{4mn-2n}{3}$,因为方程$2(x-3)=4m-9$是方程$3y+2n=4mn$的“$m$属方程”,所以$\left|\frac{4m-3}{2}-\frac{2mn-n}{3}\right|=m$,
$\frac{4m-3}{2}-\frac{2mn-n}{3}=±m$,即$(4n-18)m=2n-9$或$(4n-6)m=2n-9$,因为$m$取任意正数方程都成立,所以$4n-18=0$且$2n-9=0$,或$4n-6=0$且$2n-9=0$,解得$n=\frac{9}{2}$.
