登录
11. 如图所示是一个自制密度秤,其外形与杆秤类似。装秤钩的 B 处吊着一个体积为$50\ \mathrm{cm^3}$、密度为$6\ \mathrm{g/cm^3}$的均匀合金块,提纽位于 O 处,质量为 100 g 的秤砣放在 A处时,秤杆恰好水平平衡(图甲)。把合金块浸没在待测密度的液体中时,移动秤砣便可直接在杆上读出液体的密度。
(1) 在图甲位置平衡时,整个装置的重心位于
(2) 当测量水的密度时,将合金块浸没在水中,秤砣移到 C 处时密度秤水平平衡,如图乙所示,现在向水中加入一定量的食盐,则秤砣向
(3) 若测量液体的密度时,合金块没有完全浸没,则测量值
(4) 现将合金块浸没于某一种液体中,秤砣移到 D 位置时密度秤水平平衡,测得$OB=$$20\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度。($g$取$10\ \mathrm{N/kg},\rho_\mathrm{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$)
(1) 在图甲位置平衡时,整个装置的重心位于
O处
(填“A 处”“O 处”或“AO之间的某一位置”)。(2) 当测量水的密度时,将合金块浸没在水中,秤砣移到 C 处时密度秤水平平衡,如图乙所示,现在向水中加入一定量的食盐,则秤砣向
左
(填“左”或“右”)移才能使密度秤再次在水平位置平衡。(3) 若测量液体的密度时,合金块没有完全浸没,则测量值
小于
(填“大于”“等于”或“小于”)真实值。(4) 现将合金块浸没于某一种液体中,秤砣移到 D 位置时密度秤水平平衡,测得$OB=$$20\ \mathrm{cm},CD=2\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度。($g$取$10\ \mathrm{N/kg},\rho_\mathrm{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$)
答案
11. (1) O处 (2) 左 (3) 小于 (4) $1.2× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$或$0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
提示:(2)$V_排$不变时,$\rho_液$变大,$F_浮$也变大,B 处的拉力变小;提纽左侧动力减小,动力臂与阻力不变,提纽右侧阻力臂应减小,故秤砣应向左移。(3) 如动力臂不变,未完全浸没在液体中时,提纽左侧动力比完全浸没时的大,阻力臂应变大,秤砣向右移,测量值小于真实值。(4)$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=6\ \mathrm{g/cm^3}× 50\ \mathrm{cm^3}=300\ \mathrm{g}=0.3\ \mathrm{kg}$,$G_{合金}=m_{合金}g=0.3\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=3\ \mathrm{N}$,$G_{秤砣}=0.1\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=1\ \mathrm{N}$,金属块浸没水中时,$F_浮=\rho_水gV_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}=0.5\ \mathrm{N}$。杠杆平衡时,有$(G_{合金}-F_浮)× OB=G_{秤砣}× OC$,$(3\ \mathrm{N}-0.5\ \mathrm{N})× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× OC$,解得$OC=50\ \mathrm{cm}$,则$OD=48\ \mathrm{cm}$或$52\ \mathrm{cm}$。当$OD=48\ \mathrm{cm}$时,$(G_{合金}-F'_浮)× OB=G_{秤砣}× OD$,$(3\ \mathrm{N}-F'_浮)× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× 48\ \mathrm{cm}$,解得$F'_浮=0.6\ \mathrm{N}$,$\rho'_液=\dfrac{F'_浮}{gV_排}=\dfrac{0.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=1.2× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$;当$OD'=52\ \mathrm{cm}$时,$(G_{合金}-F''_浮)× OB=G_{秤砣}× OD'$,$(3\ \mathrm{N}-F''_浮)× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× 52\ \mathrm{cm}$,解得$F''_浮=0.4\ \mathrm{N}$,$\rho''_液=\dfrac{F''_浮}{gV_排}=\dfrac{0.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
提示:(2)$V_排$不变时,$\rho_液$变大,$F_浮$也变大,B 处的拉力变小;提纽左侧动力减小,动力臂与阻力不变,提纽右侧阻力臂应减小,故秤砣应向左移。(3) 如动力臂不变,未完全浸没在液体中时,提纽左侧动力比完全浸没时的大,阻力臂应变大,秤砣向右移,测量值小于真实值。(4)$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=6\ \mathrm{g/cm^3}× 50\ \mathrm{cm^3}=300\ \mathrm{g}=0.3\ \mathrm{kg}$,$G_{合金}=m_{合金}g=0.3\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=3\ \mathrm{N}$,$G_{秤砣}=0.1\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=1\ \mathrm{N}$,金属块浸没水中时,$F_浮=\rho_水gV_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}=0.5\ \mathrm{N}$。杠杆平衡时,有$(G_{合金}-F_浮)× OB=G_{秤砣}× OC$,$(3\ \mathrm{N}-0.5\ \mathrm{N})× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× OC$,解得$OC=50\ \mathrm{cm}$,则$OD=48\ \mathrm{cm}$或$52\ \mathrm{cm}$。当$OD=48\ \mathrm{cm}$时,$(G_{合金}-F'_浮)× OB=G_{秤砣}× OD$,$(3\ \mathrm{N}-F'_浮)× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× 48\ \mathrm{cm}$,解得$F'_浮=0.6\ \mathrm{N}$,$\rho'_液=\dfrac{F'_浮}{gV_排}=\dfrac{0.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=1.2× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$;当$OD'=52\ \mathrm{cm}$时,$(G_{合金}-F''_浮)× OB=G_{秤砣}× OD'$,$(3\ \mathrm{N}-F''_浮)× 20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}× 52\ \mathrm{cm}$,解得$F''_浮=0.4\ \mathrm{N}$,$\rho''_液=\dfrac{F''_浮}{gV_排}=\dfrac{0.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}× 50× 10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=0.8× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
解析
【分析】
本题是杠杆平衡条件与浮力知识结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：杠杆平衡时，装置自身重力的力矩需为零，否则会破坏平衡，因此装置重心应在提纽处；
2. 第(2)问：向水中加食盐，液体密度变大，合金块所受浮力变大，B处拉力（合金重力减浮力）变小，根据杠杆平衡条件，左侧力矩减小，右侧秤砣的力臂需减小，故秤砣向左移；
3. 第(3)问：合金块未完全浸没时，排开液体体积偏小，浮力偏小，B处拉力偏大，左侧力矩偏大，秤砣需更大的力臂才能平衡，而密度秤刻度按完全浸没标注，因此测量值小于真实值；
4. 第(4)问：先利用密度、重力公式算出合金和秤砣的重力，再根据图甲平衡关系，结合图乙中合金浸没水中的情况算出OC，再由CD=2cm得到OD的两种情况，最后利用杠杆平衡算出对应浮力，结合阿基米德原理求出液体密度。
【解析】
(1) 杠杆平衡时，装置自身重力的力矩必须为零，否则会破坏平衡，因此整个装置的重心位于O处。
(2) 向水中加食盐，液体密度ρ液变大，合金块浸没时V排不变，由F浮=ρ液gV排知，浮力F浮变大，B处拉力F_B=G合金-F浮变小。根据杠杆平衡条件：F_B×OB = G砣×L砣，左侧F_B变小，OB、G砣不变，故右侧力臂L砣需减小，秤砣在O右侧，力臂减小即向左移。
(3) 合金块未完全浸没时，V排偏小，F浮偏小，F_B=G合金-F浮偏大，左侧力矩F_B×OB偏大，秤砣需更大的力臂（向右移）才能平衡。而密度秤刻度按完全浸没时的浮力标注，此时对应力臂更小，故测量值小于真实值。
(4) 计算过程：
① 合金块质量：$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=6\ \mathrm{g/cm^3}×50\ \mathrm{cm^3}=300\ \mathrm{g}=0.3\ \mathrm{kg}$，重力$G_{合金}=m_{合金}g=0.3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=3\ \mathrm{N}$；
② 秤砣重力：$G_{秤砣}=m_{秤砣}g=0.1\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1\ \mathrm{N}$；
③ 合金浸没水中时，浮力：$F_{浮水}=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=0.5\ \mathrm{N}$；
④ 图乙平衡时，杠杆平衡条件：$(G_{合金}-F_{浮水})×OB=G_{秤砣}×OC$，代入数据：$(3\ \mathrm{N}-0.5\ \mathrm{N})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×OC$，解得$OC=50\ \mathrm{cm}$；
⑤ $CD=2\ \mathrm{cm}$，故$OD$有两种情况：$OD=OC-CD=50\ \mathrm{cm}-2\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$，或$OD=OC+CD=50\ \mathrm{cm}+2\ \mathrm{cm}=52\ \mathrm{cm}$；
⑥ 当$OD=48\ \mathrm{cm}$时，设液体密度为$\rho_1$，浮力为$F_{浮1}$，杠杆平衡：$(G_{合金}-F_{浮1})×OB=G_{秤砣}×OD$，即$(3\ \mathrm{N}-F_{浮1})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×48\ \mathrm{cm}$，解得$F_{浮1}=0.6\ \mathrm{N}$，由$F_{浮1}=\rho_1gV_{排}$得：$\rho_1=\frac{F_{浮1}}{gV_{排}}=\frac{0.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
⑦ 当$OD=52\ \mathrm{cm}$时，设液体密度为$\rho_2$，浮力为$F_{浮2}$，杠杆平衡：$(3\ \mathrm{N}-F_{浮2})×OB=G_{秤砣}×OD$，即$(3\ \mathrm{N}-F_{浮2})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×52\ \mathrm{cm}$，解得$F_{浮2}=0.4\ \mathrm{N}$，$\rho_2=\frac{F_{浮2}}{gV_{排}}=\frac{0.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
(1) O处 (2) 左 (3) 小于 (4) $1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$或$0.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
杠杆平衡条件、阿基米德原理、浮力的应用
【点评】
本题将杠杆平衡与浮力知识结合，综合考查力学核心规律的应用，需准确分析力的变化对杠杆平衡的影响，第(4)问需注意CD的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
本题是杠杆平衡条件与浮力知识结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：杠杆平衡时，装置自身重力的力矩需为零，否则会破坏平衡，因此装置重心应在提纽处；
2. 第(2)问：向水中加食盐，液体密度变大，合金块所受浮力变大，B处拉力（合金重力减浮力）变小，根据杠杆平衡条件，左侧力矩减小，右侧秤砣的力臂需减小，故秤砣向左移；
3. 第(3)问：合金块未完全浸没时，排开液体体积偏小，浮力偏小，B处拉力偏大，左侧力矩偏大，秤砣需更大的力臂才能平衡，而密度秤刻度按完全浸没标注，因此测量值小于真实值；
4. 第(4)问：先利用密度、重力公式算出合金和秤砣的重力，再根据图甲平衡关系，结合图乙中合金浸没水中的情况算出OC，再由CD=2cm得到OD的两种情况，最后利用杠杆平衡算出对应浮力，结合阿基米德原理求出液体密度。
【解析】
(1) 杠杆平衡时，装置自身重力的力矩必须为零，否则会破坏平衡，因此整个装置的重心位于O处。
(2) 向水中加食盐，液体密度ρ液变大，合金块浸没时V排不变，由F浮=ρ液gV排知，浮力F浮变大，B处拉力F_B=G合金-F浮变小。根据杠杆平衡条件：F_B×OB = G砣×L砣，左侧F_B变小，OB、G砣不变，故右侧力臂L砣需减小，秤砣在O右侧，力臂减小即向左移。
(3) 合金块未完全浸没时，V排偏小，F浮偏小，F_B=G合金-F浮偏大，左侧力矩F_B×OB偏大，秤砣需更大的力臂（向右移）才能平衡。而密度秤刻度按完全浸没时的浮力标注，此时对应力臂更小，故测量值小于真实值。
(4) 计算过程：
① 合金块质量：$m_{合金}=\rho_{合金}V_{合金}=6\ \mathrm{g/cm^3}×50\ \mathrm{cm^3}=300\ \mathrm{g}=0.3\ \mathrm{kg}$，重力$G_{合金}=m_{合金}g=0.3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=3\ \mathrm{N}$；
② 秤砣重力：$G_{秤砣}=m_{秤砣}g=0.1\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1\ \mathrm{N}$；
③ 合金浸没水中时，浮力：$F_{浮水}=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}=0.5\ \mathrm{N}$；
④ 图乙平衡时，杠杆平衡条件：$(G_{合金}-F_{浮水})×OB=G_{秤砣}×OC$，代入数据：$(3\ \mathrm{N}-0.5\ \mathrm{N})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×OC$，解得$OC=50\ \mathrm{cm}$；
⑤ $CD=2\ \mathrm{cm}$，故$OD$有两种情况：$OD=OC-CD=50\ \mathrm{cm}-2\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$，或$OD=OC+CD=50\ \mathrm{cm}+2\ \mathrm{cm}=52\ \mathrm{cm}$；
⑥ 当$OD=48\ \mathrm{cm}$时，设液体密度为$\rho_1$，浮力为$F_{浮1}$，杠杆平衡：$(G_{合金}-F_{浮1})×OB=G_{秤砣}×OD$，即$(3\ \mathrm{N}-F_{浮1})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×48\ \mathrm{cm}$，解得$F_{浮1}=0.6\ \mathrm{N}$，由$F_{浮1}=\rho_1gV_{排}$得：$\rho_1=\frac{F_{浮1}}{gV_{排}}=\frac{0.6\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
⑦ 当$OD=52\ \mathrm{cm}$时，设液体密度为$\rho_2$，浮力为$F_{浮2}$，杠杆平衡：$(3\ \mathrm{N}-F_{浮2})×OB=G_{秤砣}×OD$，即$(3\ \mathrm{N}-F_{浮2})×20\ \mathrm{cm}=1\ \mathrm{N}×52\ \mathrm{cm}$，解得$F_{浮2}=0.4\ \mathrm{N}$，$\rho_2=\frac{F_{浮2}}{gV_{排}}=\frac{0.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}×50×10^{-6}\ \mathrm{m^3}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
【答案】
(1) O处 (2) 左 (3) 小于 (4) $1.2×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$或$0.8×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【知识点】
杠杆平衡条件、阿基米德原理、浮力的应用
【点评】
本题将杠杆平衡与浮力知识结合，综合考查力学核心规律的应用，需准确分析力的变化对杠杆平衡的影响，第(4)问需注意CD的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5
12. 小超与同学到某工地参观,看到工人操作电动机,通过如图所示的滑轮组将正方体石料从水池底竖直匀速吊起。他们通过调查得知:石料的边长为 0.2 m, 密度为 $2.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$, 石料上升时的速度恒为 0.4 m/s, 圆柱形水池的底面积为 $0.2\ \mathrm{m}^{2}$, 动滑轮重为 30 N。请根据他们的调查数据, 求: (不计绳重和摩擦, $\rho_{\mathrm{水}}=$$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$,g 取 10 N/kg)
(1) 石料露出水面前受到的浮力。
(2) 石料的重力。
(3) 石料露出水面前滑轮组的机械效率。
(4) 石料从刚露出水面到完全露出水面所用的时间,并推导出该过程中电动机的输出功率$P$(单位:W)与时间$t$(单位:s)的函数关系式。
(1) 石料露出水面前受到的浮力。
(2) 石料的重力。
(3) 石料露出水面前滑轮组的机械效率。
(4) 石料从刚露出水面到完全露出水面所用的时间,并推导出该过程中电动机的输出功率$P$(单位:W)与时间$t$(单位:s)的函数关系式。
答案
12. (1) 80 N (2) 200 N (3) 80% (4) 0.4 s $P=80t+60\ (\mathrm{W}),0≤ t≤ 0.4\ \mathrm{s}$
提示:(1)$F_浮=\rho_水gV_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (0.2\ \mathrm{m})^3=80\ \mathrm{N}$。(2)$G_石=m_石g=\rho_石V_石=2.5× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (0.2\ \mathrm{m})^3=200\ \mathrm{N}$。(3)$\eta=\dfrac{W_{有用}}{W_总}× 100\%=\dfrac{W_{有用}}{W_{有用}+W_{额外}}× 100\%=\dfrac{(G_石-F_浮)h}{(G_石-F_浮)h+G_动h}× 100\%=\dfrac{G_石-F_浮}{G_石-F_浮+G_动}× 100\%=\dfrac{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}}{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}}× 100\%=80\%$。(4) 当石料全露出水面时,$\Delta h_水=\dfrac{V_石}{S_池}=\dfrac{8× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{0.2\ \mathrm{m^2}}=0.04\ \mathrm{m}$,石料实际上上升的高度$h'=L-\Delta h_水=0.2\ \mathrm{m}-0.04\ \mathrm{m}=0.16\ \mathrm{m}$,石料被拉出水面的时间$t=\dfrac{h'}{v_石}=\dfrac{0.16\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m/s}}=0.4\ \mathrm{s}$,设石料刚露出水面时$t=0$,某一时刻上升的高度$h''=v_石t=0.4\ \mathrm{m/s}× t=0.4t\ (\mathrm{m})$,$\Delta h'_水=\dfrac{V_露}{S_池-S_石}=\dfrac{v_石tS_石}{S_池-S_石}=\dfrac{0.4\ \mathrm{m/s}× t× (0.2\ \mathrm{m})^2}{0.2\ \mathrm{m^2}-(0.2\ \mathrm{m})^2}=0.1t\ (\mathrm{m})$,$h_露=h''+\Delta h'_水=(0.4t)\ \mathrm{m}+(0.1t)\ \mathrm{m}=0.5t\ (\mathrm{m})$,$V'_排=(L-h_露)S_石=[0.2\ \mathrm{m}-(0.5t)\ \mathrm{m}]× (0.2\ \mathrm{m})^2=8× 10^{-3}-0.02t\ (\mathrm{m^3})$,$F'_浮=\rho_水gV'_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (8× 10^{-3}-0.02t)\ \mathrm{m^3}=-200t+80\ (\mathrm{N})$,绳端拉力$F=\dfrac{G_石+G_动-F'_浮}{2}=\dfrac{200\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}-(-200t+80)\ \mathrm{N}}{2}=100t+75\ (\mathrm{N})$,$P=Fv_F=(100t+75)\ \mathrm{N}× 2× 0.4\ \mathrm{m/s}=80t+60\ (\mathrm{W}),0≤ t≤ 0.4\ \mathrm{s}$。
提示:(1)$F_浮=\rho_水gV_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (0.2\ \mathrm{m})^3=80\ \mathrm{N}$。(2)$G_石=m_石g=\rho_石V_石=2.5× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (0.2\ \mathrm{m})^3=200\ \mathrm{N}$。(3)$\eta=\dfrac{W_{有用}}{W_总}× 100\%=\dfrac{W_{有用}}{W_{有用}+W_{额外}}× 100\%=\dfrac{(G_石-F_浮)h}{(G_石-F_浮)h+G_动h}× 100\%=\dfrac{G_石-F_浮}{G_石-F_浮+G_动}× 100\%=\dfrac{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}}{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}}× 100\%=80\%$。(4) 当石料全露出水面时,$\Delta h_水=\dfrac{V_石}{S_池}=\dfrac{8× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{0.2\ \mathrm{m^2}}=0.04\ \mathrm{m}$,石料实际上上升的高度$h'=L-\Delta h_水=0.2\ \mathrm{m}-0.04\ \mathrm{m}=0.16\ \mathrm{m}$,石料被拉出水面的时间$t=\dfrac{h'}{v_石}=\dfrac{0.16\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m/s}}=0.4\ \mathrm{s}$,设石料刚露出水面时$t=0$,某一时刻上升的高度$h''=v_石t=0.4\ \mathrm{m/s}× t=0.4t\ (\mathrm{m})$,$\Delta h'_水=\dfrac{V_露}{S_池-S_石}=\dfrac{v_石tS_石}{S_池-S_石}=\dfrac{0.4\ \mathrm{m/s}× t× (0.2\ \mathrm{m})^2}{0.2\ \mathrm{m^2}-(0.2\ \mathrm{m})^2}=0.1t\ (\mathrm{m})$,$h_露=h''+\Delta h'_水=(0.4t)\ \mathrm{m}+(0.1t)\ \mathrm{m}=0.5t\ (\mathrm{m})$,$V'_排=(L-h_露)S_石=[0.2\ \mathrm{m}-(0.5t)\ \mathrm{m}]× (0.2\ \mathrm{m})^2=8× 10^{-3}-0.02t\ (\mathrm{m^3})$,$F'_浮=\rho_水gV'_排=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}× 10\ \mathrm{N/kg}× (8× 10^{-3}-0.02t)\ \mathrm{m^3}=-200t+80\ (\mathrm{N})$,绳端拉力$F=\dfrac{G_石+G_动-F'_浮}{2}=\dfrac{200\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}-(-200t+80)\ \mathrm{N}}{2}=100t+75\ (\mathrm{N})$,$P=Fv_F=(100t+75)\ \mathrm{N}× 2× 0.4\ \mathrm{m/s}=80t+60\ (\mathrm{W}),0≤ t≤ 0.4\ \mathrm{s}$。
解析
【分析】
本题是力学综合题，需分步骤解决：
1. 求石料露出水面前的浮力：利用阿基米德原理，石料完全浸没时排开水的体积等于自身的体积，代入公式计算浮力。
2. 求石料的重力：利用密度公式先算质量，再结合重力公式$G=mg$计算，或直接用$G=\rho_{石}V_{石}g$。
3. 求滑轮组的机械效率：有用功是克服石料重力与浮力差做的功，额外功是克服动滑轮重力做的功，不计绳重和摩擦时，机械效率等于有用功与总功（有用功+额外功）的比值。
4. 求石料露出水面的时间及功率函数：需考虑石料上升时水面下降的高度，石料实际上升高度为边长减去水面下降高度，时间为实际高度除以速度；推导功率时，先找到某时刻的浮力，再算绳端拉力，结合绳端速度（滑轮组绳子段数乘以石料速度），利用$P=Fv$推导函数式。
【解析】
(1) 石料完全浸没在水中，排开水的体积：
$V_{排}=V_{石}=(0.2\ \mathrm{m})^3=8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=80\ \mathrm{N}$
(2) 石料的重力：
$G_{石}=m_{石}g=\rho_{石}V_{石}g=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=200\ \mathrm{N}$
(3) 不计绳重和摩擦，滑轮组的机械效率：
有用功$W_{有}=(G_{石}-F_{浮})h$，总功$W_{总}=(G_{石}-F_{浮})h + G_{动}h$
则$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}×100\%=\frac{G_{石}-F_{浮}}{G_{石}-F_{浮}+G_{动}}×100\%=\frac{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}}{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}}×100\%=80\%$
(4) 石料从刚露出水面到完全露出，水面下降的高度：
$\Delta h_{水}=\frac{V_{石}}{S_{池}}=\frac{8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{0.2\ \mathrm{m}^2}=0.04\ \mathrm{m}$
石料实际上升的高度：$h'=L-\Delta h_{水}=0.2\ \mathrm{m}-0.04\ \mathrm{m}=0.16\ \mathrm{m}$
所用时间：$t=\frac{h'}{v_{石}}=\frac{0.16\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m/s}}=0.4\ \mathrm{s}$
推导功率函数：设时刻$t(0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$，石料上升高度$h''=v_{石}t=0.4t\ \mathrm{m}$，露出体积$V_{露}=S_{石}h''$，水面下降高度$\Delta h'_{水}=\frac{V_{露}}{S_{池}-S_{石}}=0.1t\ \mathrm{m}$；
石料浸入深度$h_{浸}=0.2\ \mathrm{m}-(0.4t+0.1t)=0.2-0.5t\ \mathrm{m}$，排开体积$V'_{排}=S_{石}h_{浸}=0.008-0.02t\ \mathrm{m}^3$；
浮力$F'_{浮}=\rho_{水}gV'_{排}=80-200t\ \mathrm{N}$，滑轮组绳子段数$n=2$，绳端拉力$F=\frac{G_{石}+G_{动}-F'_{浮}}{2}=75+100t\ \mathrm{N}$；
绳端速度$v_{绳}=2×0.4=0.8\ \mathrm{m/s}$，功率$P=Fv_{绳}=(75+100t)×0.8=80t+60\ \mathrm{W}\ (0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$
【答案】
(1) 80 N；(2) 200 N；(3) 80%；(4) 0.4 s，$P=80t+60\ \mathrm{W}\ (0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$
【知识点】
阿基米德原理、滑轮组机械效率、功率计算
【点评】
本题综合考查浮力、滑轮组、机械效率及功率知识，难点在于石料露出水面过程中需考虑水面下降的影响，对学生综合分析能力要求较高，是典型的力学综合题。
【难度系数】
0.5
本题是力学综合题，需分步骤解决：
1. 求石料露出水面前的浮力：利用阿基米德原理，石料完全浸没时排开水的体积等于自身的体积，代入公式计算浮力。
2. 求石料的重力：利用密度公式先算质量，再结合重力公式$G=mg$计算，或直接用$G=\rho_{石}V_{石}g$。
3. 求滑轮组的机械效率：有用功是克服石料重力与浮力差做的功，额外功是克服动滑轮重力做的功，不计绳重和摩擦时，机械效率等于有用功与总功（有用功+额外功）的比值。
4. 求石料露出水面的时间及功率函数：需考虑石料上升时水面下降的高度，石料实际上升高度为边长减去水面下降高度，时间为实际高度除以速度；推导功率时，先找到某时刻的浮力，再算绳端拉力，结合绳端速度（滑轮组绳子段数乘以石料速度），利用$P=Fv$推导函数式。
【解析】
(1) 石料完全浸没在水中，排开水的体积：
$V_{排}=V_{石}=(0.2\ \mathrm{m})^3=8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
根据阿基米德原理，浮力：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=80\ \mathrm{N}$
(2) 石料的重力：
$G_{石}=m_{石}g=\rho_{石}V_{石}g=2.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}=200\ \mathrm{N}$
(3) 不计绳重和摩擦，滑轮组的机械效率：
有用功$W_{有}=(G_{石}-F_{浮})h$，总功$W_{总}=(G_{石}-F_{浮})h + G_{动}h$
则$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}×100\%=\frac{G_{石}-F_{浮}}{G_{石}-F_{浮}+G_{动}}×100\%=\frac{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}}{200\ \mathrm{N}-80\ \mathrm{N}+30\ \mathrm{N}}×100\%=80\%$
(4) 石料从刚露出水面到完全露出，水面下降的高度：
$\Delta h_{水}=\frac{V_{石}}{S_{池}}=\frac{8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{0.2\ \mathrm{m}^2}=0.04\ \mathrm{m}$
石料实际上升的高度：$h'=L-\Delta h_{水}=0.2\ \mathrm{m}-0.04\ \mathrm{m}=0.16\ \mathrm{m}$
所用时间：$t=\frac{h'}{v_{石}}=\frac{0.16\ \mathrm{m}}{0.4\ \mathrm{m/s}}=0.4\ \mathrm{s}$
推导功率函数：设时刻$t(0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$，石料上升高度$h''=v_{石}t=0.4t\ \mathrm{m}$，露出体积$V_{露}=S_{石}h''$，水面下降高度$\Delta h'_{水}=\frac{V_{露}}{S_{池}-S_{石}}=0.1t\ \mathrm{m}$；
石料浸入深度$h_{浸}=0.2\ \mathrm{m}-(0.4t+0.1t)=0.2-0.5t\ \mathrm{m}$，排开体积$V'_{排}=S_{石}h_{浸}=0.008-0.02t\ \mathrm{m}^3$；
浮力$F'_{浮}=\rho_{水}gV'_{排}=80-200t\ \mathrm{N}$，滑轮组绳子段数$n=2$，绳端拉力$F=\frac{G_{石}+G_{动}-F'_{浮}}{2}=75+100t\ \mathrm{N}$；
绳端速度$v_{绳}=2×0.4=0.8\ \mathrm{m/s}$，功率$P=Fv_{绳}=(75+100t)×0.8=80t+60\ \mathrm{W}\ (0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$
【答案】
(1) 80 N；(2) 200 N；(3) 80%；(4) 0.4 s，$P=80t+60\ \mathrm{W}\ (0≤t≤0.4\ \mathrm{s})$
【知识点】
阿基米德原理、滑轮组机械效率、功率计算
【点评】
本题综合考查浮力、滑轮组、机械效率及功率知识，难点在于石料露出水面过程中需考虑水面下降的影响，对学生综合分析能力要求较高，是典型的力学综合题。
【难度系数】
0.5
