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1. 下列四个命题：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接平行四边形是矩形；③圆内接矩形是正方形；④圆内接菱形是正方形. 其中真命题有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C
解析
【分析】
我们可以采用逐个验证命题真假的思路来解题：首先回忆圆内接四边形的核心性质，再结合各类特殊四边形的固有性质，逐一判断4个命题是否成立，最后统计真命题的数量选出对应选项。
第一步先判断命题①：直接对照圆内接四边形的基础性质就能验证；第二步判断命题②：结合平行四边形对角相等的性质，搭配圆内接四边形对角互补的性质，推导角的度数即可判断；第三步判断命题③：思考普通矩形是否满足圆内接的条件，即可发现该命题的问题；第四步判断命题④：结合菱形对角相等的性质，搭配圆内接四边形对角互补的性质，推导角的度数就能得到结论，最后汇总真命题总数即可。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 命题①：根据圆内接四边形的基本性质，圆的内接四边形对角互补，因此①是真命题。
2. 命题②：平行四边形的固有性质是对角相等，而圆内接四边形对角互补，因此该平行四边形的对角既相等又互补，可推得每个内角都是90°，满足矩形的定义，因此圆内接平行四边形是矩形，②是真命题。
3. 命题③：矩形的所有内角都是90°，天然满足对角互补的要求，所有矩形都可以内接于圆（对角线为外接圆直径），不需要满足邻边相等的条件，因此圆内接矩形不一定是正方形，③是假命题。
4. 命题④：菱形的固有性质是对角相等，而圆内接四边形对角互补，因此该菱形的对角既相等又互补，可推得每个内角都是90°，有一个内角为90°的菱形是正方形，因此圆内接菱形是正方形，④是真命题。
综上，真命题为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，特殊四边形判定
【点评】
本题综合考查圆内接四边形的性质和特殊平行四边形的性质判定，易错点是误判命题③，要明确矩形本身就满足对角互补的内接圆要求，并非只有正方形才能作为圆内接矩形，解题时要结合两类图形的性质交叉推导，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7
我们可以采用逐个验证命题真假的思路来解题：首先回忆圆内接四边形的核心性质，再结合各类特殊四边形的固有性质，逐一判断4个命题是否成立，最后统计真命题的数量选出对应选项。
第一步先判断命题①：直接对照圆内接四边形的基础性质就能验证；第二步判断命题②：结合平行四边形对角相等的性质，搭配圆内接四边形对角互补的性质，推导角的度数即可判断；第三步判断命题③：思考普通矩形是否满足圆内接的条件，即可发现该命题的问题；第四步判断命题④：结合菱形对角相等的性质，搭配圆内接四边形对角互补的性质，推导角的度数就能得到结论，最后汇总真命题总数即可。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
1. 命题①：根据圆内接四边形的基本性质，圆的内接四边形对角互补，因此①是真命题。
2. 命题②：平行四边形的固有性质是对角相等，而圆内接四边形对角互补，因此该平行四边形的对角既相等又互补，可推得每个内角都是90°，满足矩形的定义，因此圆内接平行四边形是矩形，②是真命题。
3. 命题③：矩形的所有内角都是90°，天然满足对角互补的要求，所有矩形都可以内接于圆（对角线为外接圆直径），不需要满足邻边相等的条件，因此圆内接矩形不一定是正方形，③是假命题。
4. 命题④：菱形的固有性质是对角相等，而圆内接四边形对角互补，因此该菱形的对角既相等又互补，可推得每个内角都是90°，有一个内角为90°的菱形是正方形，因此圆内接菱形是正方形，④是真命题。
综上，真命题为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，特殊四边形判定
【点评】
本题综合考查圆内接四边形的性质和特殊平行四边形的性质判定，易错点是误判命题③，要明确矩形本身就满足对角互补的内接圆要求，并非只有正方形才能作为圆内接矩形，解题时要结合两类图形的性质交叉推导，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7
2. (2025·雨花台区月考)如图,点 A,B,C,D 在$\odot O$上,$OA⊥ BC$,若$∠ O = 40°$,则$∠ D$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
A
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件OA⊥BC入手，回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，由此可推出OA平分弧BC，即弧AB与弧AC相等。接着结合已知的圆心角∠AOB=40°，可知等弧对应的圆心角也为40°，最后利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可直接计算出∠D的度数，选出正确选项。
【解析】
1. 应用垂径定理：
∵ OA⊥BC，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AC（垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧）。
2. 确定对应圆心角度数：
已知∠AOB=40°，即弧AB对应的圆心角为40°，结合弧AB=弧AC，可得弧AC对应的圆心角也为40°。
3. 应用圆周角定理计算∠D：
∵ ∠D是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠D = 1/2 × 弧AC对应的圆心角 = 1/2 × 40° = 20°。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆章节的基础综合题，核心考查垂径定理与圆周角定理的结合运用，解题的突破口是通过垂径定理得到等弧，进而建立圆心角和待求圆周角的数量关系，题型常规，只要熟练掌握圆的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件OA⊥BC入手，回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，由此可推出OA平分弧BC，即弧AB与弧AC相等。接着结合已知的圆心角∠AOB=40°，可知等弧对应的圆心角也为40°，最后利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，即可直接计算出∠D的度数，选出正确选项。
【解析】
1. 应用垂径定理：
∵ OA⊥BC，OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB = 弧AC（垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧）。
2. 确定对应圆心角度数：
已知∠AOB=40°，即弧AB对应的圆心角为40°，结合弧AB=弧AC，可得弧AC对应的圆心角也为40°。
3. 应用圆周角定理计算∠D：
∵ ∠D是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠D = 1/2 × 弧AC对应的圆心角 = 1/2 × 40° = 20°。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆章节的基础综合题，核心考查垂径定理与圆周角定理的结合运用，解题的突破口是通过垂径定理得到等弧，进而建立圆心角和待求圆周角的数量关系，题型常规，只要熟练掌握圆的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2025·无锡月考)如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心$O$,另一边所在直线与半圆相交于点$D$,$E$,量出半径$OC=5\ \mathrm{cm}$,弦$DE=8\ \mathrm{cm}$,则直尺的宽度为（
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
C
）A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
答案
3.C
解析
【分析】
要计算直尺的宽度，本质是求圆心O到弦DE的距离。解题思路如下：1. 明确所求的直尺宽度就是点O到直线DE的垂线段长度，过O作DE的垂线，设垂足为F；2. 利用垂径定理，垂线段平分弦DE，得到DE的一半长度；3. 连接OD，OD是半圆的半径，和已知的OC长度相等为5cm；4. 在构造出的直角三角形ODF中，已知斜边OD和直角边DF，通过勾股定理即可算出另一条直角边OF的长度，也就是直尺的宽度。
【解析】
过点O作OF⊥DE于点F，连接OD。
根据垂径定理，垂直于弦的线段平分弦，因此：
$DF = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} × 8\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$
由题意可知，OD和OC都是半圆的半径，因此$OD = OC = 5\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$∠ OFD=90°$，由勾股定理可得：
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ \mathrm{cm}$
即直尺的宽度为3cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合直尺的实际场景考查圆的基础计算，核心是将实际的直尺宽度转化为圆的弦心距，这类弦长相关的计算问题，通用解法就是通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解，属于圆章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算直尺的宽度，本质是求圆心O到弦DE的距离。解题思路如下：1. 明确所求的直尺宽度就是点O到直线DE的垂线段长度，过O作DE的垂线，设垂足为F；2. 利用垂径定理，垂线段平分弦DE，得到DE的一半长度；3. 连接OD，OD是半圆的半径，和已知的OC长度相等为5cm；4. 在构造出的直角三角形ODF中，已知斜边OD和直角边DF，通过勾股定理即可算出另一条直角边OF的长度，也就是直尺的宽度。
【解析】
过点O作OF⊥DE于点F，连接OD。
根据垂径定理，垂直于弦的线段平分弦，因此：
$DF = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2} × 8\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$
由题意可知，OD和OC都是半圆的半径，因此$OD = OC = 5\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$∠ OFD=90°$，由勾股定理可得：
$OF = \sqrt{OD^2 - DF^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\ \mathrm{cm}$
即直尺的宽度为3cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合直尺的实际场景考查圆的基础计算，核心是将实际的直尺宽度转化为圆的弦心距，这类弦长相关的计算问题，通用解法就是通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解，属于圆章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$与直径$CD$交于点$E$,且$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接$BC$,$AD$.若$∠ BAD=$$30^{ \circ }$,$\odot O$的半径为$3$,则$DE$的长为（
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$3$
B
）A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$3$
答案
4.B
解析
【分析】
我们可以顺着已知条件逐步推导：首先已知∠BAD=30°，根据圆周角和对应弧的度数关系，能得到它所对的弧BD的度数是60°；接着题目说明D是弧AB的中点，因此弧AD和弧BD度数相等，结合CD是直径，由垂径定理可推出CD垂直于AB，得到直角三角形ADE；之后推导AD的长度：弧AD对应圆心角为60°，OA和OD都是半径相等，因此△AOD是等边三角形，AD就等于半径3；最后在含30°角的直角三角形ADE中，利用30°角对的直角边是斜边一半的性质，就能直接算出DE的长度。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，已知∠BAD=30°，它所对的弧为$\overset{\frown}{BD}$，因此$\overset{\frown}{BD}$的度数为$2×30°=60°$。
2. 因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=60°$，由垂径定理可得：直径CD垂直平分弦AB，即∠AED=90°。
3. $\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD=60°，又OA=OD=3（均为⊙O的半径），因此△AOD是等边三角形，可得AD=OA=3。
4. 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∠AED=90°，根据直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】本题是圆部分的基础综合题，核心是串联圆周角、垂径定理的性质，不需要复杂计算，只要理清弧、角、线段的对应关系，就能快速得到结果，适合巩固圆的基础性质使用。
【难度系数】0.7
我们可以顺着已知条件逐步推导：首先已知∠BAD=30°，根据圆周角和对应弧的度数关系，能得到它所对的弧BD的度数是60°；接着题目说明D是弧AB的中点，因此弧AD和弧BD度数相等，结合CD是直径，由垂径定理可推出CD垂直于AB，得到直角三角形ADE；之后推导AD的长度：弧AD对应圆心角为60°，OA和OD都是半径相等，因此△AOD是等边三角形，AD就等于半径3；最后在含30°角的直角三角形ADE中，利用30°角对的直角边是斜边一半的性质，就能直接算出DE的长度。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，已知∠BAD=30°，它所对的弧为$\overset{\frown}{BD}$，因此$\overset{\frown}{BD}$的度数为$2×30°=60°$。
2. 因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=60°$，由垂径定理可得：直径CD垂直平分弦AB，即∠AED=90°。
3. $\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角∠AOD=60°，又OA=OD=3（均为⊙O的半径），因此△AOD是等边三角形，可得AD=OA=3。
4. 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∠AED=90°，根据直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】本题是圆部分的基础综合题，核心是串联圆周角、垂径定理的性质，不需要复杂计算，只要理清弧、角、线段的对应关系，就能快速得到结果，适合巩固圆的基础性质使用。
【难度系数】0.7
5. 如图,A,B,C,D,E都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$,$∠ D=130°$,则$∠ B$的度数为 （
A.$130^{\circ }$
B.$128^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$116^{\circ }$
C
）A.$130^{\circ }$
B.$128^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$116^{\circ }$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先结合图形特征，想到圆内接多边形的相关性质：首先连接辅助线CE，构造出两个圆内接四边形。第一步利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠D=130°，求出它的对角∠CAE的度数；再根据同圆中等弧对应等弦，得到AC=AE，推出△ACE是等腰三角形，结合顶角∠CAE的度数算出底角∠AEC的度数；最后再次利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠B的度数，即可得到答案。
【解析】
解：连接CE，
1. 因为四边形ACDE是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ CAE + ∠ D = 180°$
代入$∠ D=130°$，得$∠ CAE = 180° - 130° = 50°$。
2. 已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中等弧对应的弦相等，可得$AC=AE$，即$△ ACE$为等腰三角形，顶角为$∠ CAE=50°$，因此：
$∠ AEC = \frac{180° - ∠ CAE}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
3. 又因为四边形ABCE是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ B + ∠ AEC = 180°$
代入$∠ AEC=65°$，得$∠ B = 180° - 65° = 115°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，等弧对等弦，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础中档题型，核心考察圆内接四边形对角互补性质的灵活应用，解题的突破口是通过添加辅助线CE，将分散的已知条件和所求角关联起来，逐步完成角的转化计算，能帮助学生加深对圆内接多边形性质的理解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合图形特征，想到圆内接多边形的相关性质：首先连接辅助线CE，构造出两个圆内接四边形。第一步利用圆内接四边形对角互补的性质，由已知的∠D=130°，求出它的对角∠CAE的度数；再根据同圆中等弧对应等弦，得到AC=AE，推出△ACE是等腰三角形，结合顶角∠CAE的度数算出底角∠AEC的度数；最后再次利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠B的度数，即可得到答案。
【解析】
解：连接CE，
1. 因为四边形ACDE是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ CAE + ∠ D = 180°$
代入$∠ D=130°$，得$∠ CAE = 180° - 130° = 50°$。
2. 已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，根据同圆中等弧对应的弦相等，可得$AC=AE$，即$△ ACE$为等腰三角形，顶角为$∠ CAE=50°$，因此：
$∠ AEC = \frac{180° - ∠ CAE}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
3. 又因为四边形ABCE是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ B + ∠ AEC = 180°$
代入$∠ AEC=65°$，得$∠ B = 180° - 65° = 115°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，等弧对等弦，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础中档题型，核心考察圆内接四边形对角互补性质的灵活应用，解题的突破口是通过添加辅助线CE，将分散的已知条件和所求角关联起来，逐步完成角的转化计算，能帮助学生加深对圆内接多边形性质的理解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题5分,共25分)
6. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,连接AD,BC,BD.若$∠ BCD=20°$,则$∠ ABD=$
6. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,连接AD,BC,BD.若$∠ BCD=20°$,则$∠ ABD=$
70
$°$.答案
6.70
解析
【分析】
拿到这道题先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，已知圆周角∠BCD=20°，要求∠ABD的度数。首先从特殊条件“直径”入手，回忆直径对应的圆周角性质，可快速得到∠ADB是直角，△ABD为直角三角形，只要得到其中一个锐角的度数就能算出目标角。接下来找已知角∠BCD和△ABD的关联：∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，可通过同弧圆周角相等的性质把已知的20°转化为∠BAD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠ABD的结果。
【解析】
解：
1. 由同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD均为弧BD所对的圆周角，因此：
$∠ BAD = ∠ BCD = 20°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ADB = 90°$
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 20° = 70°$
【答案】70
【知识点】同弧圆周角相等，直径对直角，直角三角形锐角互余
【点评】
本题是圆章节的基础常规考题，核心考察圆周角定理的两个常用推论，不需要添加辅助线，只要熟练掌握圆周角的等量转化规则，结合直径构造直角三角形的性质即可快速求解，属于入门级常考题型，易错点是找错同弧对应的相等圆周角。
【难度系数】
0.8
拿到这道题先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，已知圆周角∠BCD=20°，要求∠ABD的度数。首先从特殊条件“直径”入手，回忆直径对应的圆周角性质，可快速得到∠ADB是直角，△ABD为直角三角形，只要得到其中一个锐角的度数就能算出目标角。接下来找已知角∠BCD和△ABD的关联：∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，可通过同弧圆周角相等的性质把已知的20°转化为∠BAD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余就能算出∠ABD的结果。
【解析】
解：
1. 由同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD均为弧BD所对的圆周角，因此：
$∠ BAD = ∠ BCD = 20°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ADB = 90°$
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ ABD = 90° - ∠ BAD = 90° - 20° = 70°$
【答案】70
【知识点】同弧圆周角相等，直径对直角，直角三角形锐角互余
【点评】
本题是圆章节的基础常规考题，核心考察圆周角定理的两个常用推论，不需要添加辅助线，只要熟练掌握圆周角的等量转化规则，结合直径构造直角三角形的性质即可快速求解，属于入门级常考题型，易错点是找错同弧对应的相等圆周角。
【难度系数】
0.8
7.(2025·新吴区月考)如图,$AB$是$\odot O$的弦,半径$OD ⊥ AB$于点$C$,$AE$为直径,$AB=8$,$CD=2$,则线段$CE$的长为
$2\sqrt{13}$
.答案
7.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以按步骤梳理：首先题目给出半径OD垂直弦AB，优先用垂径定理将AB平分，得到AC、BC的长度为4；接下来设圆的半径为r，用r表示出OC的长度为r-2，在Rt△OAC中通过勾股定理列方程，就能解出半径的具体值；之后连接BE，利用AE是直径的性质得到∠ABE是直角，结合OD⊥AB推出OC平行于BE，再根据O是AE中点，得到OC是△ABE的中位线，算出BE的长度，最后在Rt△CBE中再次用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
1. 作辅助线：连接BE，设⊙O的半径为R，则OA=OD=R。
2. 由垂径定理，因为OD⊥AB，AB=8，所以AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4。
3. 已知CD=2，因此OC=OD-CD=R-2。
4. 在Rt△OAC中，由勾股定理$OA^2=AC^2+OC^2$，代入数值：
$R^2=4^2+(R-2)^2$
展开化简得：$R^2=16+R^2-4R+4$，消去$R^2$后解得$R=5$。
5. 由此可得OC=5-2=3，直径AE=2R=10。
6. 因为AE是⊙O的直径，根据圆周角定理，∠ABE=90°，又OD⊥AB，所以OC//BE。
7. 由于O是AE的中点，因此OC是△ABE的中位线，可得BE=2OC=6。
8. 在Rt△CBE中，BC=4，BE=6，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的常规综合题型，核心考点串联了垂径定理、直径的圆周角性质和勾股定理，解题的关键是通过连接BE构造直角三角形，利用中位线快速转化边长，避免复杂计算，属于需要学生熟练掌握的基础必考题型。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路可以按步骤梳理：首先题目给出半径OD垂直弦AB，优先用垂径定理将AB平分，得到AC、BC的长度为4；接下来设圆的半径为r，用r表示出OC的长度为r-2，在Rt△OAC中通过勾股定理列方程，就能解出半径的具体值；之后连接BE，利用AE是直径的性质得到∠ABE是直角，结合OD⊥AB推出OC平行于BE，再根据O是AE中点，得到OC是△ABE的中位线，算出BE的长度，最后在Rt△CBE中再次用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
1. 作辅助线：连接BE，设⊙O的半径为R，则OA=OD=R。
2. 由垂径定理，因为OD⊥AB，AB=8，所以AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4。
3. 已知CD=2，因此OC=OD-CD=R-2。
4. 在Rt△OAC中，由勾股定理$OA^2=AC^2+OC^2$，代入数值：
$R^2=4^2+(R-2)^2$
展开化简得：$R^2=16+R^2-4R+4$，消去$R^2$后解得$R=5$。
5. 由此可得OC=5-2=3，直径AE=2R=10。
6. 因为AE是⊙O的直径，根据圆周角定理，∠ABE=90°，又OD⊥AB，所以OC//BE。
7. 由于O是AE的中点，因此OC是△ABE的中位线，可得BE=2OC=6。
8. 在Rt△CBE中，BC=4，BE=6，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆章节的常规综合题型，核心考点串联了垂径定理、直径的圆周角性质和勾股定理，解题的关键是通过连接BE构造直角三角形，利用中位线快速转化边长，避免复杂计算，属于需要学生熟练掌握的基础必考题型。
【难度系数】
0.6
8. (2025·南京月考)如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，且四边形OABC是菱形.若D是圆上异于A，B，C的另一点，则$∠ ADC$的度数是
$60°$或$120°$
.答案
8.$60°$或$120°$
解析
【分析】
我们先从已知条件入手推导：第一步，结合菱形四条边相等的性质，以及圆的半径都相等的特点，可推出OA=AB=OB=OC=BC，得到△OAB和△OBC都是等边三角形，进而求出圆心角∠AOC的度数为120°；第二步，注意点D是圆上异于A、B、C的点，点D既可以落在AC对应的优弧上，也可以落在AC对应的劣弧上，需要分类讨论，结合圆周角定理分别计算两种情况下∠ADC的度数，避免漏解。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO，
又
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=OC，
∴ OA=AB=OB，OC=BC=OB，
即△OAB和△OBC均为等边三角形，
∴ ∠AOB=∠BOC=60°，
因此圆心角∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
分两种情况讨论点D的位置：
1. 当点D在优弧AC上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠ADC = 1/2 ∠AOC = 1/2 × 120° = 60°；
2. 当点D在劣弧AC上时，此时点D对应的弧是优弧AC，对应的圆心角为360°-120°=240°，因此：
∠ADC = 1/2 × 240° = 120°。
综上，∠ADC的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
菱形的性质；圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略点D的位置有两种可能，只计算出一个结果，解题时要注意同一条弦对应两类不同的圆周角，分别分布在弦的两侧，需要结合题意完整分类，避免漏解。
【难度系数】
0.5
我们先从已知条件入手推导：第一步，结合菱形四条边相等的性质，以及圆的半径都相等的特点，可推出OA=AB=OB=OC=BC，得到△OAB和△OBC都是等边三角形，进而求出圆心角∠AOC的度数为120°；第二步，注意点D是圆上异于A、B、C的点，点D既可以落在AC对应的优弧上，也可以落在AC对应的劣弧上，需要分类讨论，结合圆周角定理分别计算两种情况下∠ADC的度数，避免漏解。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO，
又
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=OC，
∴ OA=AB=OB，OC=BC=OB，
即△OAB和△OBC均为等边三角形，
∴ ∠AOB=∠BOC=60°，
因此圆心角∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°。
分两种情况讨论点D的位置：
1. 当点D在优弧AC上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠ADC = 1/2 ∠AOC = 1/2 × 120° = 60°；
2. 当点D在劣弧AC上时，此时点D对应的弧是优弧AC，对应的圆心角为360°-120°=240°，因此：
∠ADC = 1/2 × 240° = 120°。
综上，∠ADC的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
菱形的性质；圆周角定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略点D的位置有两种可能，只计算出一个结果，解题时要注意同一条弦对应两类不同的圆周角，分别分布在弦的两侧，需要结合题意完整分类，避免漏解。
【难度系数】
0.5
