14. (10 分)(2025·天津河西期末)(1)设 $ abcd $是一个四位数（$ a $表示千位上的数字，$ b $表示百位上的数字，$ c $表示十位上的数字，$ d $表示个位上的数字）.若 $ a + b + c + d $可以被 9 整除，请你证明这个数也可以被 9 整除；
(2)用问题(1)的结论，验证一下 2025 能否被 9 整除.

14. (1) 证明：$\because abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d = 9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$，
又$\because 9(111a + 11b + c)$能被 9 整除，$(a + b + c + d)$也能被 9 整除，
$\therefore 9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$能被 9 整除。
$\therefore abcd$这个数能被 9 整除。
(2) 解：$\because 2 + 0 + 2 + 5 = 9$能被 9 整除，
$\therefore 2025$能被 9 整除。

15. (12 分)(2025·黄冈期末)阅读材料并解决问题：分解因式 $ x^{2} - 4y^{2} - 2x + 4y $时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：$ x^{2} - 4y^{2} - 2x + 4y = (x + 2y)(x - 2y) - 2(x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 2) $，这种分解因式的方法叫作分组分解法.利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：$ x^{2} - 4x + 4 - y^{2} $；
(2)已知$ △ ABC $的三边长 $ a $，$ b $，$ c $满足 $ ac + a^{2} - ab - bc = 0 $，试判断$ △ ABC $的形状.

15. 解：(1) 原式$=(x - 2)^2 - y^2=(x - 2 + y)(x - 2 - y)$。
(2)$\because △ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$ac + a^2 - ab - bc = 0$，
$\therefore (ac + a^2)-(ab + bc)=0$，
$\therefore a(a + c)-b(a + c)=0$，
$\therefore (a + c)(a - b)=0$。
$\because a + c ＞ 0$，$\therefore a - b = 0$，$\therefore a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。

16. (12 分)有一系列等式：$ 1×2×3×4 + 1 = 5^{2} = (1^{2} + 3×1 + 1)^{2} $；$ 2×3×4×5 + 1 = 11^{2} = (2^{2} + 3×2 + 1)^{2} $；$ 3×4×5×6 + 1 = 19^{2} = (3^{2} + 3×3 + 1)^{2} $；$ 4×5×6×7 + 1 = 29^{2} = (4^{2} + 3×4 + 1)^{2} $，…
(1)根据观察、归纳、发现的规律，得 $ 8×9×10×11 + 1 = $；
(2)试猜想 $ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 $是哪一个数的平方，并给予证明.

16. (1) 7921
(2) 解：$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1=(n^2 + 3n + 1)^2$。
理由：
$\because n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1$
$=[n(n + 3)][(n + 1)(n + 2)]+1$
$=(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)+1$
$=(n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n)+1$
$=(n^2 + 3n + 1)^2$，
$\therefore$结论成立。