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1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(
A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^{2} - 4x + 3 = x(x - 4) + 3 $
C.$ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
D.$ a^{2} + 1 = a(a + \frac{1}{a}) $
A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^{2} - 4x + 3 = x(x - 4) + 3 $
C.$ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $
D.$ a^{2} + 1 = a(a + \frac{1}{a}) $
答案
1. C
2. (2025·建邺区期末)下列因式分解正确的是（
A.$ m^{3} - 9m = m(m^{2} - 9) $
B.$ 4x^{2} - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $
C.$ x^{2} + 2x - 1 = (x - 1)^{2} $
D.$ x^{2} - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2} $
A.$ m^{3} - 9m = m(m^{2} - 9) $
B.$ 4x^{2} - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $
C.$ x^{2} + 2x - 1 = (x - 1)^{2} $
D.$ x^{2} - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2} $
答案
2. D
3. (2025·相城区期中)一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：$ a - b $，$ x - 1 $，$ x^{2} - 1 $，$ a $，$ x + 1 $分别对应六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式 $ 3a(x^{2} - 1) - 3b(x^{2} - 1) $因式分解，结果呈现的密码信息可能是（
A.我爱数学
B.我爱祖国
C.爱数学
D.爱祖国
A.我爱数学
B.我爱祖国
C.爱数学
D.爱祖国
答案
3. A
4. (2025·吴江区期末)分解因式 $ x^{2} + ax + b $时，李想同学看错了 $ a $的值，分解的结果是$ (x + 6)(x - 1) $，王敏同学看错了 $ b $的值，分解的结果是$ (x - 2)(x + 1) $，那么正确的分解因式的结果是（
A.$ (x + 6)(x - 1) $
B.$ (x + 2)(x - 3) $
C.$ (x - 6)(x + 1) $
D.$ (x + 3)(x - 2) $
A.$ (x + 6)(x - 1) $
B.$ (x + 2)(x - 3) $
C.$ (x - 6)(x + 1) $
D.$ (x + 3)(x - 2) $
答案
4. B
5. (2025·海门期末)已知 $ m $，$ n $均为正整数且满足 $ mn - m - n - 5 = 0 $，则 $ m + n $的最大值是（
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
5. C
6. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为 $ 24 = 7^{2} - 5^{2} $，所以称 24 为“完美数”，下面 4 个数中为“完美数”的是（
A.2020
B.2024
C.2025
D.2026
A.2020
B.2024
C.2025
D.2026
答案
6. B
二、填空题(每题 5 分，共 30 分)
7. (2025·甘肃)因式分解：$ x^{2} - 6x + 9 = $
7. (2025·甘肃)因式分解：$ x^{2} - 6x + 9 = $
$(x - 3)^2$
.答案
7. $(x - 3)^2$
8. (2025·宜兴期末)已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 3 $，则代数式 $ a^{3}b + ab^{3} $的值为
57
.答案
8. 57
9. 已知$ △ ABC $的三边长 $ a $，$ b $，$ c $都是正整数，且满足 $ 2a^{2} + 3b^{2} - 4a - 18b + 29 = 0 $，则$ △ ABC $的周长为
7
.答案
9. 7
10. 因式分解：$ (m + n)^{2} - 6(m + n) + 9 = $
$(m + n - 3)^2$
.答案
10. $(m + n - 3)^2$
11. (2025·扬州模拟)分解因式：$ x^{2}y - 12xy + 36y = $
$y(x - 6)^2$
.答案
11. $y(x - 6)^2$
12. (2025·靖江期中)若 $ x^{2} - 4xy + 4y^{2} + 2x - 4y - 3 = 0 $，则 $ x - 2y = $
1 或 -3
.答案
12. 1 或 -3
三、解答题（共 46 分）
13. (12 分)分解因式：
(1)$ x(x - a) + y(a - x) $；
(2)$ -4m^{2} + 16 $；
(3)$ x^{4}y^{4} - 2x^{2}y^{2} + 1 $；
(4)$ 2a(x^{2} + 1)^{2} - 8ax^{2} $.
13. (12 分)分解因式：
(1)$ x(x - a) + y(a - x) $；
(2)$ -4m^{2} + 16 $；
(3)$ x^{4}y^{4} - 2x^{2}y^{2} + 1 $；
(4)$ 2a(x^{2} + 1)^{2} - 8ax^{2} $.
答案
13. 解：(1) 原式$=(x - y)(x - a)$。
(2) 原式$=-4(m^2 - 4)=-4(m + 2)(m - 2)$。
(3) 原式$=(x^2y^2 - 1)^2=(xy + 1)^2(xy - 1)^2$。
(4) 原式$=2a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]=2a(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)=2a(x + 1)^2(x - 1)^2$。
(2) 原式$=-4(m^2 - 4)=-4(m + 2)(m - 2)$。
(3) 原式$=(x^2y^2 - 1)^2=(xy + 1)^2(xy - 1)^2$。
(4) 原式$=2a[(x^2 + 1)^2 - 4x^2]=2a(x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x)=2a(x + 1)^2(x - 1)^2$。
