12. (2026·江苏盐城期末)已知一个正数的两个不同平方根分别是$x+2$和$-2x+2$.
(1) 求$x$的值；
(2) 求$2x+1$的平方根.

(1) 因为一个正数的两个不同平方根分别是$x+2$和$-2x+2$,所以$(x+2)+(-2x+2)=0$,解得$x=4$.则$x$的值为4。
(2) 由(1),得$x=4$,则$2x+1=9$.又9的平方根是$\pm3$,所以$2x+1$的平方根是$\pm3$。

13. 已知有理数$a$在数轴上对应的位置如图所示，试化简：$\pm\sqrt{(2a+1)^2} + 2|a-1|$.

由题图,得$-\frac{1}{2}＜a＜0$,所以$2a+1＞0$,$a-1＜0$,即$\sqrt{(2a+1)^2}=2a+1$,$|a-1|=1-a$.所以$\pm\sqrt{(2a+1)^2}+2|a-1|=\pm(2a+1)+2(1-a)=\pm(2a+1)+2-2a=3$或$1-4a$。

14. 已知$2a+3$是一个正数，且它的一个平方根比另一个平方根大2，则$a$的值为（）

A.1
B.3
C.$-1$
D.11

C 解析:设正数$2a+3$的一个平方根为$x$.由题意,得它的另一个平方根为$x-2$.所以$x+x-2=0$,解得$x=1$.所以$2a+3=1^2=1$,解得$a=-1$.则$a$的值为$-1$。

15. 若$n$为正整数，且$n^3 + 2n^2$的平方根是奇数，则满足条件的$n$中，最小的两个数之和为。

30 解析:因为$n^3+2n^2$的平方根是奇数,且$n^2(n+2)=n^3+2n^2$,所以$n^2(n+2)$是奇数,即$n,n+2$都是奇数,且$n+2$的平方根为奇数.又$n$为正整数,所以$n$可取的最小的两个数分别为7,23,其和为30。

16. 新趋势 情境素材 小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根. 比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根. 有一天，小明想：如果存在一个数i，使$i^2=-1$，那么$(-i)^2=-1$，因此－1就有两个平方根了. 进一步，小明想：因为$(\pm 2i)^2=-4$，所以－4的平方根就是±2i；因为$(\pm 3i)^2=-9$，所以－9的平方根就是±3i. 请你根据上面的信息，解答下列问题：
(1) 求－16，－25的平方根；
(2) 求$i^3,i^4,i^5,i^6,i^7,i^8$的值，并将你发现的规律用式子表示出来.

(1) 因为$(\pm4i)^2=-16$,所以$-16$的平方根是$\pm4i$.因为$(\pm5i)^2=-25$,所以$-25$的平方根是$\pm5i$。
(2) 由题意,得$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=i^2=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,$i^8=i^7· i=1$. 规律:$i^{4n+1}=i$,$i^{4n+2}=-1$,$i^{4n+3}=-i$,$i^{4n+4}=1$($n$为自然数)。