1. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠BAD=110°,∠B=∠D=90°$,在$BC,CD$上分别找一点$M,N$,使$△ AMN$的周长最小,此时$∠AMN+∠ANM$的度数和为 （）

A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
（第1题）

1. D 解析:分别作点 A 关于 BC,CD 的对称点$A_1,A_2$,连接 $BA_1,MA_1,DA_2,NA_2,A_1A_2$,则 $A_1M=AM$,$A_2N = AN$, $∠A_1BC = ∠ABC$, $∠A_2DC =∠ADC$. 因为$∠ABC=∠ADC=90°$,所以$∠A_1BC=∠A_2DC=90°$,即$∠ABC+∠A_1BC=180°,∠ADC+∠A_2DC=180°$. 所以$A,B,A_1$三点共线,$A,D,A_2$三点共线. 又$△AMN$ 的周长为 $AM+AN+MN=A_1M+A_2N+MN≥A_1A_2$,所以当 M,N 两点在线段$A_1A_2$上时,$△AMN$ 的周长最小. 此时$∠A_1=∠BAM,∠A_2=∠DAN$. 又$∠BAM+∠DAN=∠A_1+∠A_2=180°-∠BAD$,且$∠BAD=110°$,所以$∠BAM+∠DAN=70°$,即$∠MAN=40°$. 所以$∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN=140°$.

2. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC=5$，$∠ ACB=80°$，$O$为$△ ABC$内部一点，$∠ OAB=10°$，$∠ OBA=30°$，则$AO$的长是________。

2. 5 解析:如图,作$∠CAO$的平分线,交 BO 的延长线于点D,连接 CD,过点 D 作 $DH⊥AB$ 于点 H,则$∠DHA=∠DHB=90°$. 因为 $AC=BC=5$,所以$∠CAB=∠CBA$. 因为$∠ACB=80°$,所以$∠CAB=∠CBA = \frac{1}{2}(180°-∠ACB)=50°$. 又$∠OAB=10°$,$∠OBA=30°$,所以$∠CAO=∠CAB-∠OAB=40°$,$∠CBO=∠CBA-∠OBA=20°$,$∠AOD=∠OAB+∠OBA=40°$. 所以$∠CAD=∠OAD=\frac{1}{2}∠CAO=20°$.所以$∠DAH=∠OAD+∠OAB=30°$,即$∠DAH=∠DBH$. 又 $DH=DH$, 所以 $△DAH ≌ △DBH$(AAS). 所以 $DA=DB$. 又 $CD=CD$,所以$△ACD ≌ △BCD$(SSS). 所以$∠ACD=∠BCD$,即$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$. 所以$∠ACD=∠AOD$. 又$AD=AD$,所以$△ACD ≌ △AOD$(AAS). 所以 $AC=AO$. 所以$AO=5$.

3. (2025·江苏扬州一模)如图,四边形ABCD的对角互补,且∠BAC=∠DAC,AB=15,AD=12.过顶点C作CE⊥AB于点E,则$\frac{AE}{BE}$的值为.

3. 9 解析:如图,过点 C 作 $CF⊥AD$,交 AD 的延长线于点 F,则$∠CFD=∠AFC=90°$. 因为 $CE⊥AB$,所以$∠AEC=∠CEB=90°$. 所以$∠AEC=∠AFC$,$∠CEB=∠CFD$. 因为$∠BAC=∠DAC$,所以 AC 平分$∠BAD$,即 $CE=CF$. 所以 $△AEC ≌ △AFC$(AAS). 所以$AE=AF$. 因为四边形 ABCD 的对角互补,所以 $∠B + ∠ADC = 180°$. 因为 $∠CDF +∠ADC=180°$,所以$∠B=∠CDF$. 所以$△CEB ≌ △CFD$(AAS). 所以$BE=DF$. 设 $BE=DF=a$. 因为 $AB=15,AD=12$,所以 $12+a=15-a$,解得 $a=1.5$. 所以$AE=13.5,BE=1.5$,即$\frac{AE}{BE}=\frac{13.5}{1.5}=9$.

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，$AB=AC$，$D$是边$AC$上一点，连接$BD$，$AD=BC$，则$∠ DBA$的度数为________.

4. $10°$ 解析:在 BC 上方以 BC 为边作等边三角形BCE,连接 AE, 则 $BC = BE = EC$, $∠EBC =∠ECB=60°$. 因为 $AD=BC$,所以 $AD=BE$. 因为$AB=AC,∠BAC=20°$,所以$∠ABC=∠ACB$,直线AE 垂直平分 BC. 所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠BAC=10°$. 又$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$,所以$∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=80°$. 因为$∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°$,所以$∠ABE=∠BAD$. 又 $AB=BA$,所以 $△ABD ≌ △BAE$ (SAS). 所以 $∠DBA =∠EAB=10°$.

5. (2025·江苏泰州二模)已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=n°$. 当$n$变化时，斜边$AB$上总存在$O,P$两点，使得$OC=CP=\frac{1}{2}AB$（$O,P$两点不重合），则$n$的取值范围为.

5. $30≤ n≤ 60$ 且 $n≠ 45$ 解析: 因为$∠ACB=90°$,所以当$OC=CP=\frac{1}{2}AB$(O,P 两点不重合)时,点 O 和点 P 中必有一点为斜边 AB 的中点. 设 P 为 AB 的中点,如图①,当点 O 与点 B 重合时,因为$OC=CP=\frac{1}{2}AB=PB$,所以$△CPB$ 是等边三角形,即$∠B=60°$. 又$∠ACB=90°,∠A=n°$,所以$∠A=30°$,即 $n=30$,此时$∠A$最小;如图②,当点 P 与点 O 重合时,不符合题意,此时$∠A=∠B=45°$,即 $n=45$;如图③,当点 O 与点 A 重合时,因为$OC=PC=\frac{1}{2}AB=AP$,所以$△APC$ 是等边三角形. 所以$∠A=60°$,即 $n=60$. 此时$∠A$ 最大. 所以 n 的取值范围为 $30≤ n≤ 60$且$n≠45$.

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=5$，点$D$在$△ ABC$内部，连接$AD$，$BD$，$CD$，$∠ ADB=150°$，$∠ DBC=30°$，$∠ ABC+∠ ADC=180°$，则$CD$的长为。

6. 3 解析:延长 AD 交 BC 于点 E,过点 E 作 $EF⊥BD$于点 F,延长 DC 交射线 FE 于点 H,则$∠BFE=∠DFE=90°,∠ADB+∠EDF=180°,∠ADC+∠HDE=180°$. 又 $∠ADB=150°,∠DBC=30°$,$∠ABC+∠ADC=180°$,所以$∠ABC=∠HDE$,$∠EDF = 180° - ∠ADB = 30°$, 即 $∠EDF =∠DBC$. 又 $EF = EF$, 所以 $△BEF ≌ △DEF$(AAS). 所以 $∠BEF = ∠DEF$, $BE = DE$. 又$∠DBC+∠BEF=90°$,所以$∠DEF=∠BEF=60°$,即$∠CEH = 60°, ∠BEA = 120°$. 又 $∠BEA +∠DEC=180°$,所以$∠DEC=180°-∠BEA=60°$,即$∠CEH=∠CEA,∠DEH=120°$. 所以$∠BEA=∠DEH$. 所以$△ABE ≌ △HDE$(ASA). 所以 $AB=HD,AE=HE$. 又 $AB=8$,所以 $HD=8$. 又 $CE=CE$,所以$△ACE ≌ △HCE$(SAS). 所以 $AC=HC$. 又$AC=5$,所以 $HC=5$. 又 $CD=HD-HC$,所以$CD=3$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,点$D$在边$BC$上,$∠ ADC=60°$,且$BD=\frac{1}{2}CD$.将$△ ACD$以直线$AD$为轴做轴对称变换,得到$△ AC'D$,连接$BC'$.
(1) 求证:$BC'⊥ BC$;
(2) 求$∠ C$的度数.

7. (1) 由题意,得$△AC'D ≌ △ACD$,所以$∠ADC' =∠ADC,∠AC'D=∠C,C'D=CD$. 又$∠ADC=60°$,$∠BDC'+∠ADC'+∠ADC=180°$,所以$∠BDC'=60°$. 如图,在边$C'D$上取点 P,使$PD=BD$,连接 PB,则$△BDP$ 是等边三角形. 所以 $BP=BD=PD,∠PBD=∠BPD=60°$. 又 $BD=\frac{1}{2}CD$,所以 $BD=\frac{1}{2}C'D$,即$PC' = PD = BP$. 所以 $∠BC'P = ∠PBC'$. 又$∠BPD = ∠BC'P + ∠PBC'$, 所以 $∠BC'P =∠PBC'=\frac{1}{2}∠BPD=30°$,即$∠C'BD=∠PBC'+∠PBD=90°$. 所以 $BC'⊥BC$.
(2) 如图,过点 A 分别作$BC,C'D,BC'$的垂线,垂足分别为 E,F,G. 由(1),得$∠AC'D=∠C,∠BC'P=30°,∠ADC'=∠ADC,∠C'BD=90°$. 所以 DA 平分$∠CDC'$,即 $AE=AF$. 又 $∠C'BD = ∠ABC +∠ABC',∠ABC = 45°$, 所以 $∠ABC' = 45°$, 即$∠ABC'=∠ABC$. 所以 AB 平分$∠C'BD$,即 $AE=AG$. 所以 $AF=AG$. 又 $AC'=AC'$,所以 $Rt△AC'F ≌ Rt△AC'G$(HL). 所以$∠AC'F=∠AC'G$. 又$∠BC'P+∠AC'F+∠AC'G=180°$,所以$∠AC'F=\frac{1}{2}(180°-∠BC'P)=75°$,即$∠C=75°$.