2. 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象在第二、四象限，则一次函数$y=x+k$的图象大致是（）

2.B

【分析】
解题时首先利用正比例函数的图象性质判断k的符号：正比例函数y=kx（k≠0）的图象过第二、四象限时，k＜0。再分析一次函数y=x+k的图象特征：一次函数的图象由一次项系数和常数项共同决定，一次项系数为1＞0，说明图象从左到右上升，可排除斜率为负的选项；常数项k＜0，说明图象与y轴交于负半轴，进一步排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象在第二、四象限，
∴ $k＜0$。
对于一次函数$y=x+k$：
① 一次项系数为$1＞0$，因此函数图象从左到右呈上升趋势，排除图象下降的C、D选项；
② 常数项为$k＜0$，因此函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，排除与y轴交于正半轴的A选项。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象性质；一次函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是掌握函数中参数的符号和图象位置的对应关系，需要先由已知函数的图象特征推导参数取值范围，再判断目标函数的图象，属于函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7

3. 在北京召开的国际数学家大会，会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如下图所示）。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么$(a+b)^2$的值为（）


A.13
B.19
C.25
D.169

3.C

【分析】解题时先结合图形分析各部分的数量关系：首先大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可直接得到a²+b²的值；再通过大正方形与小正方形的面积差求出4个直角三角形的总面积，进而得到2ab的值；最后利用完全平方公式展开(a+b)²，代入已求出的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵大正方形的面积是13，且大正方形的边长为直角三角形的斜边
∴根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 13$
∵小正方形的面积是1
∴4个全等直角三角形的总面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $13 - 1 = 12$
又
∵每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$
∴$4×\frac{1}{2}ab = 2ab = 12$
根据完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=13$，$2ab=12$代入得：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】C
【知识点】勾股定理，完全平方公式，面积计算
【点评】本题是数形结合的典型题型，将几何图形的面积、边长关系和代数公式结合起来考查，需要同学们熟练掌握勾股定理和完全平方公式的变形应用，能从图形中提取对应的数量关系。
【难度系数】0.7

4. 已知两点$A(3,2)$与$B(1,-1)$，点$P$在$y$轴上且使$PA+PB$最短，则$P$的坐标是（）

A.$(0,-\dfrac{1}{2})$
B.$(0,0)$
C.$(0,\dfrac{11}{6})$
D.$(0,-\dfrac{1}{4})$

4.D

【分析】
本题是求y轴上一点到两个定点距离和最短的问题，解题思路遵循轴对称最短路径原理：1. 首先利用轴对称性质，作其中一个定点关于y轴的对称点，把y轴同侧的两点距离和问题转化为异侧两点的距离问题，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个定点，和y轴的交点即为所求的P点；2. 接下来利用一次函数的知识求出这条连线的解析式，再求解析式与y轴的交点坐标即可得到P的坐标。
【解析】
1. 作点A关于y轴的对称点A'，根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，已知A(3,2)，可得A'的坐标为(-3,2)。
2. 根据轴对称性质，PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB最短（两点之间线段最短），即此时PA+PB最短，P为直线A'B与y轴的交点。
3. 设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将A'(-3,2)、B(1,-1)代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-3k + b = 2 \\k + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$4k = -3$，解得$k=-\frac{3}{4}$。
将$k=-\frac{3}{4}$代入$k + b = -1$，得：$-\frac{3}{4} + b = -1$，解得$b=-\frac{1}{4}$。
因此直线A'B的解析式为$y=-\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$。
4. y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入解析式，得$y=-\frac{1}{4}$，因此P点坐标为$(0,-\frac{1}{4})$。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，一次函数解析式求解，轴对称坐标特征
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，核心是利用轴对称将折线距离和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数求交点坐标，解题的关键是正确作出对称点，同时计算一次函数解析式时要注意运算准确性。
【难度系数】
0.6

5. 如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 （）


A.400 $cm^2$
B.500 $cm^2$
C.600 $cm^2$
D.4000 $cm^2$

5.A

【分析】
本题需结合图形挖掘小长方形长和宽的等量关系，通过列二元一次方程组求解长、宽，再计算面积。首先设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$：第一步从大矩形的总宽度可得到“长+宽=50cm”的关系；第二步观察图形可知小长方形的长等于4个宽的长度，据此列方程组即可求解。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据图形信息列方程组：
$\begin{cases}x + y = 50 \\x = 4y\end{cases}$
将$x=4y$代入$x+y=50$，得：
$4y + y = 50$
$5y = 50$
解得$y=10$
把$y=10$代入$x=4y$，得$x=4×10=40$
因此小长方形的面积为$x× y=40×10=400\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题属于典型的数形结合类题目，解题核心是准确将图形中的长度关系转化为方程，考查学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7

6. 甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h后休息，与甲车相遇后，继续行驶。设甲、乙两车与B地的路程分别为$y_甲$(km)，$y_乙$(km)，甲车行驶的时间为x(h)，$y_甲$，$y_乙$与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：

(1)乙车休息了h；
(2)求乙车与甲车相遇后$y_乙$与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当两车相距40 km时，直接写出x的值。

6. 解:(1)方法 1:设乙车休息了 t h,根据题意,得
$200+\frac{400}{5}· (t+2)=400$,解得 $t=0.5$.即乙车休息了 0.5 h.
方法 2:$(400-200)÷\frac{400}{5}-2=0.5(\mathrm{h})$,即乙车休息了 0.5 h.
(2)设 $y_乙$ 与 x 的函数解析式为 $y_乙 = kx + b$,把 (2. 5, 200), (5, 400) 代入,得
$\begin{cases}2.5k+b=200,\\5k+b=400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=80,\\b=0,\end{cases}$ 所以 $y_乙=80x(2.5≤ x≤5)$.
(3)相遇前:$100x+80x+40=400$,解得 $x=2$;
相遇后:$80x+200+80(x-2.5)=440$,解得 $x=2.75$.
综上可知,$x=2$ 或 $x=2.75$.

【分析】
(1)先根据图象求甲车速度：甲车5h行驶完全程400km，可得甲车速度为$400÷5=80\mathrm{km/h}$。相遇时甲距离B地200km，说明甲已行驶$(400-200)÷80=2.5\mathrm{h}$；乙车2h就行驶了200km后开始休息，因此乙车休息时间为$2.5-2=0.5\mathrm{h}$。
(2)求相遇后$y_乙$的函数解析式，首先确定两个坐标点：相遇点坐标为$(2.5,200)$，乙车5h时到达A地，对应坐标为$(5,400)$，利用待定系数法设解析式为$y_乙=kx+b$，代入两点解方程组即可得到解析式，自变量取值范围为相遇时到乙到达终点的时间段$2.5≤ x≤5$。
(3)分两种情况讨论：①相遇前两车相距40km，此时两车行驶的路程和加40km等于总路程400km；②相遇后两车相距40km，此时两车相遇后行驶的路程和为40km，分别列方程求解，验证解是否符合对应时间段即可。
【解析】
(1) 甲车速度为$\frac{400}{5}=80\mathrm{km/h}$，相遇时甲行驶的路程为$400-200=200\mathrm{km}$，所用时间为$200÷80=2.5\mathrm{h}$，乙车2h行驶200km后休息，因此休息时间为$2.5-2=0.5\mathrm{h}$。
(2) 设乙车与甲车相遇后$y_乙$与x的函数解析式为$y_乙=kx+b$，将相遇点$(2.5,200)$和终点$(5,400)$代入得：
$\begin{cases}2.5k+b=200\\5k+b=400\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2.5k=200$，解得$k=80$，代入$2.5k+b=200$得$b=0$，因此解析式为$y_乙=80x$，自变量x的取值范围是$2.5≤ x≤5$。
(3) 分两种情况：
① 相遇前两车相距40km：乙车前2h的速度为$200÷2=100\mathrm{km/h}$，此时两车均在行驶，列方程得$80x+100x+40=400$，解得$x=2$，符合$x≤2$的范围。
② 相遇后两车相距40km：相遇后甲、乙速度均为80km/h，列方程得$80(x-2.5)+80(x-2.5)=40$，解得$x=2.75$，符合$2.5＜x≤5$的范围。
综上，x的值为2或2.75。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.5}$；
(2) $\boldsymbol{y_乙=80x(2.5≤ x≤5)}$；
(3) $\boldsymbol{x=2}$或$\boldsymbol{x=2.75}$。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，解题关键是从图象中提取各段的运动信息，明确不同时间段两车的运动状态，遇到两车相距固定距离的问题要注意分相遇前、相遇后两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7. 第三届南宁国际龙舟赛在南湖举行，甲、乙两队在比赛时，路程 y(m)与时间 x(min)的函数图象如图所示，根据函数图象填空和解答问题：

(1)最先到达终点的是 队，该队比另一队领先 min到达；
(2)在比赛过程中，乙队在 min和 min时两次加速，图中点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ；
(3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由。

7. 解:(1)乙 0.6
(2)1 3 (1,100) (3,450)
(3)设 AB 所在直线关系式为 $y=kx+b$,依题意,得 $\begin{cases}k+b=100,\\3k+b=450,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=175,\\b=-75,\end{cases}$ 所以 $y=175x-75$. 当 $y=800$ 时,$x=5$. 所以甲、乙两队同时到达终点.

【分析】
解题时首先明确函数图象的横、纵坐标含义：横坐标x代表比赛时间（单位：min），纵坐标y代表行驶路程（单位：m）。
(1) 终点路程为800m，对比甲、乙两队到达y=800时对应的x值，x更小的队伍先到，两个x的差值即为领先的时间。
(2) 乙队的路程-时间折线的拐点就是加速时刻，直接读取图象上A、B点的横、纵坐标即可得到两点坐标。
(3) 要判断乙队第一次加速后保持该速度行驶时谁先到终点，先用待定系数法求出A、B所在直线的函数解析式，再令y=800求出对应的x值，和甲队到达终点的时间对比即可得出结论。
【解析】
(1) 由图象可得：乙队到达终点的时间为4.4min，甲队到达终点的时间为5min，因此最先到达终点的是乙队，领先时间为$5-4.4=0.6(\mathrm{min})$。
(2) 观察乙队的图象，折线在$x=1\mathrm{min}$和$x=3\mathrm{min}$处出现拐点，即这两个时刻乙队加速；点A横坐标为1、纵坐标为100，即$A(1,100)$；点B横坐标为3、纵坐标为450，即$B(3,450)$。
(3) 设AB所在直线的函数关系式为$y=kx+b$，将$A(1,100)$、$B(3,450)$代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=100\\3k+b=450\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=350$，解得$k=175$；将$k=175$代入$k+b=100$，得$b=-75$，因此AB的解析式为$y=175x-75$。
当乙队到达终点时$y=800$，代入解析式得$800=175x-75$，解得$x=5$，和甲队到达终点的时间相同。
【答案】
(1)乙；0.6
(2)1；3；$(1,100)$；$(3,450)$
(3)甲、乙两队同时到达终点，理由：按第一次加速后的速度行驶，乙队到达终点的时间也为5min，和甲队一致。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；函数图象识别
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查从函数图象提取有效信息的能力，以及运用一次函数解决实际问题的能力，需要结合数形结合思想分析数据，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7