1[2025江苏南京期末,较难]已知一次函数$y_1=ax+3a+2$($a$为常数,$a≠0$)和$y_2=x+1$.
(1)当$a=-1$时,求两个函数图象的交点坐标;
(2)若两个函数图象的交点在第三象限,结合图象,直接写出$a$的取值范围.

(1) $\because y_1 = ax + 3a + 2$($a$为常数,$a ≠ 0$),
$\therefore$ 当$a=-1$时,$y_1=-x-1$. 联立得$\begin{cases} y=-x-1, \\ y=x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=0, \end{cases}$故两个函数图象的交点坐标为$(-1,0)$.
(2)$a$的取值范围是$a＞1$或$a＜-1$.
因为$y_1 = ax + 3a + 2$($a$为常数,$a ≠ 0$),所以$y_1 - 2 = a(x+3)$,所以当$x=-3$时,$y_1$恒等于2,所以$y_1 = ax + 3a + 2$($a$为常数,$a ≠ 0$)的图象恒过定点$(-3,2)$. 设点$A$的坐标为$(-3,2)$,画出函数图象如图所示.
当直线$y_1 = ax + 3a + 2$($a$为常数,$a ≠ 0$)绕着点$A$旋转,与直线$y_2=x+1$交于点$B(-1,0)$时,$0=-a+3a+2$,解得$a=-1$;当直线$y_1 = ax + 3a + 2$($a$为常数,$a ≠ 0$)与直线$y_2=x+1$平行时,$a=1$,$\therefore$ 当$a＞1$或$a＜-1$时,两个函数图象的交点在第三象限,故$a$的取值范围是$a＞1$或$a＜-1$.

2[2026河南郑州期中,中]小明在学习一次函数后,对形如$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的一次函数图象和性质进行了探究,过程如下:
如图所示,小明分别画出了函数$y=(x-1)+2$,$y=-(x-1)+2$,$y=2(x-1)+2$的图象.
【深入探究】(1)通过对上述几个函数图象的观察、思考,你发现$y=k(x-1)+2$($k$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是;
【得到性质】(2)函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是;
【实践运用】(3)已知一次函数$y=kx-3+2k$($k$为常数,且$k≠0$)的图象一定过点$N$,且与$y$轴相交于点$A$,若$△ OAN$的面积为5,求$k$的值.

(1) 通过对函数图象的观察、思考,发现$y=k(x-1)+2$($k$为常数,且$k ≠ 0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(1,2)$.
(2) 函数$y=k(x-m)+n$(其中$k,m,n$为常数,且$k ≠ 0$)的图象一定会经过的点的坐标是$(m,n)$.
(3) 因为一次函数$y=kx-3+2k = k(x+2)-3$($k$为常数,且$k ≠ 0$)的图象一定过点$N$,且与$y$轴相交于点$A$,所以$N(-2,-3)$,$A(0,2k-3)$,所以$OA=|2k-3|$. 因为$△ OAN$的面积为5,所以$\frac{1}{2} × |2k-3| × 2 = 5$,所以$k=4$或$k=-1$.

3 [中]如图所示，直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则$△ CDE$周长的最小值是。

【解析】如图,
作点$C$关于$AB$的对称点$F$,关于$AO$的对称点$G$,连接$DF$,$EG$,$FB$,$FC$,$FG$. $\because$ 直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于$A$,$B$两点,$\therefore$ 令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=-4$,$\therefore A(0,4)$,$B(-4,0)$,$\therefore OA=OB=4$. 又$\because$ 点$C$是$OB$的中点,$\therefore OC=BC=\frac{1}{2}OB=2$. $\because$ 点$C$与点$G$关于$AO$对称,$\therefore OG=OC=2$,$EC=EG$,$\therefore BG=OB+OG=6$. $\because OA=OB$,$∠ AOB=90°$,$\therefore ∠ ABC=∠ BAO=45°$. 又$\because$ 点$C$与点$F$关于$AB$对称,$\therefore ∠ ABC=∠ ABF=45°$,$BC=BF=2$,$DF=DC$,$\therefore ∠ FBC=90°$. $\because DF=DC$,$EC=EG$,$\therefore △ CDE$的周长为$CD+DE+CE=DF+DE+EG ≥ FG$,当点$F$,$D$,$E$,$G$在同一直线上时,$△ CDE$的周长最小,为$FG$的长. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BFG$中,$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{40}$,$\therefore △ CDE$周长的最小值是$\sqrt{40}$.

4[2025江苏南通期中,较难]在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象分别交x轴、y轴于点A,B.
(1)点A的坐标为,点B的坐标为(用含有k的式子表示).
(2)若一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象经过点$(1,-2)$,平行于x轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象交于点M,N,点M,N的横坐标分别为m,n.当$m-n=3$时,线段MN的长度是否发生变化?若不变,请求出MN的长;若变化,请说明理由.
(3)若一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象与函数$y=x$的图象、x轴所围成的三角形的面积不小于1,求k的取值范围.

(1) $\because$ 一次函数$y=kx-2k(k ≠ 0)$的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$A$,$B$,$\therefore$ 当$y=0$时,$x=2$;当$x=0$时,$y=-2k$,$\therefore A(2,0)$,$B(0,-2k)$.
(2) 不发生变化. $\because$ 一次函数$y=kx-2k(k ≠ 0)$的图象经过点$(1,-2)$,$\therefore -2=k-2k$,$\therefore k=2$,$\therefore$ 一次函数表达式为$y=2x-4$. $\because$ 平行于$x$轴的两条直线$l_1$,$l_2$分别与一次函数$y=2x-4$的图象交于点$M$,$N$,点$M$,$N$的横坐标分别为$m$,$n$,且$m-n=3$,$\therefore M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,$\therefore MN=\sqrt{(m-n)^2+(2m-4-2n+4)^2}=\sqrt{5(m-n)^2}=\sqrt{5 × 3^2}=\sqrt{45}$,$\therefore$ 当$m-n=3$时,线段$MN$的长度不发生变化,$MN$的长为$\sqrt{45}$.
思路分析(2)利用待定系数法求得$k=2$,则$y=2x-4$,$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,利用两点间的距离公式即可求得$MN=\sqrt{45}$.
(3) 如图,设一次函数$y=kx-2k(k ≠ 0)$的图象与函数$y=x$的图象的交点为$P$,设点$P$的纵坐标为$y_P$. $\because y=kx-2k=k(x-2)$,$\therefore$ 一次函数$y=kx-2k(k ≠ 0)$的图象过定点$A(2,0)$,$\therefore OA=2$. 当$S_{△ OAP}=1$时,$\frac{1}{2}OA · |y_P|=1$,即$\frac{1}{2} × 2|y_P|=1$,解得$y_P=1$或$y_P=-1$. $\because$ 点$P$在函数$y=x$的图象上,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$. 把$(1,1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=-1$,把$(-1,-1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=\frac{1}{3}$.
$\because$ 一次函数$y=kx-2k(k ≠ 0)$的图象与函数$y=x$的图象、$x$轴所围成的三角形的面积不小于1,$\therefore k$的取值范围是$k ≤ -1$或$k ≥ \frac{1}{3}$且$k ≠ 1$.