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一、单选题
1. 化简$(-a)^2 · a^4$的结果是 （
A.$a^8$
B.$-a^6$
C.$-a^8$
D.$a^6$
1. 化简$(-a)^2 · a^4$的结果是 （
D
）A.$a^8$
B.$-a^6$
C.$-a^8$
D.$a^6$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先处理含负号的乘方运算，再计算同底数幂的乘法即可。第一步先判断$(-a)^2$的符号：负数的偶次幂是正数，因此$(-a)^2$可化简为$a^2$；第二步根据同底数幂相乘的运算法则，将$a^2$和$a^4$相乘，底数不变、指数相加就能得到最终结果，计算时注意不要混淆运算法则，避免出现符号错误或者指数相乘的错误。
【解析】
首先化简$(-a)^2$：
因为指数2是偶数，所以$(-a)^2 = a^2$；
再计算同底数幂的乘法：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，可得$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$。
因此化简结果为$a^6$。
【答案】
D
【知识点】
1. 乘方的符号规则
2. 同底数幂的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查幂的相关运算法则的应用，易错点是容易误判$(-a)^2$的符号，或者将同底数幂乘法的指数运算错用为乘法，计算时牢记运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时先处理含负号的乘方运算，再计算同底数幂的乘法即可。第一步先判断$(-a)^2$的符号：负数的偶次幂是正数，因此$(-a)^2$可化简为$a^2$；第二步根据同底数幂相乘的运算法则，将$a^2$和$a^4$相乘，底数不变、指数相加就能得到最终结果，计算时注意不要混淆运算法则，避免出现符号错误或者指数相乘的错误。
【解析】
首先化简$(-a)^2$：
因为指数2是偶数，所以$(-a)^2 = a^2$；
再计算同底数幂的乘法：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，可得$a^2 · a^4 = a^{2+4}=a^6$。
因此化简结果为$a^6$。
【答案】
D
【知识点】
1. 乘方的符号规则
2. 同底数幂的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查幂的相关运算法则的应用，易错点是容易误判$(-a)^2$的符号，或者将同底数幂乘法的指数运算错用为乘法，计算时牢记运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
2. 多项式$(ax+6)(2-3x)$展开后不含$x$的一次项，则$a$为（
A.0
B.3
C.9
D.18
C
）A.0
B.3
C.9
D.18
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先运用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，其次合并同类项找到x的一次项的系数，最后根据“展开后不含x的一次项”说明一次项系数为0，列关于a的方程求解即可得到a的值。
【解析】
先根据多项式乘法法则展开原式：
$\begin{aligned}(ax+6)(2-3x)&=ax×2 + ax×(-3x) + 6×2 + 6×(-3x)\\&=2ax - 3ax^2 + 12 - 18x\\&=-3ax^2 + (2a - 18)x + 12\end{aligned}$
因为展开后不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，可得方程：
$2a - 18 = 0$
解得：$a=9$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式运算的常见基础题，解题核心是明确“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，熟练掌握多项式乘法和合并同类项的规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先运用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，其次合并同类项找到x的一次项的系数，最后根据“展开后不含x的一次项”说明一次项系数为0，列关于a的方程求解即可得到a的值。
【解析】
先根据多项式乘法法则展开原式：
$\begin{aligned}(ax+6)(2-3x)&=ax×2 + ax×(-3x) + 6×2 + 6×(-3x)\\&=2ax - 3ax^2 + 12 - 18x\\&=-3ax^2 + (2a - 18)x + 12\end{aligned}$
因为展开后不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，可得方程：
$2a - 18 = 0$
解得：$a=9$
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程求解
【点评】
本题是整式运算的常见基础题，解题核心是明确“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，熟练掌握多项式乘法和合并同类项的规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 计算$-2x^2(x^2 - 3x - 1)+(-2x^2)(-x + 1)$的结果为 （
A.$2x^3 +8x^4$
B.$-2x^2 +8x^4$
C.$2x^4 -8x^3$
D.$-2x^4 +8x^3$
D
）A.$2x^3 +8x^4$
B.$-2x^2 +8x^4$
C.$2x^4 -8x^3$
D.$-2x^4 +8x^3$
答案
3. D
解析
【分析】
本题是整式混合运算题，解题遵循先乘除后加减的顺序：首先利用单项式乘多项式的法则，分别计算两个乘法部分，展开得到多个单项式；再合并同类项得到最终结果，最后匹配对应选项即可。计算时要注意符号运算，单项式乘多项式的每一项时需连同各项的符号一同计算，避免符号出错。
【解析】
步骤1：计算第一个单项式乘多项式
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$-2x^2(x^2 - 3x - 1) = -2x^2 · x^2 + (-2x^2) · (-3x) + (-2x^2) · (-1) = -2x^4 + 6x^3 + 2x^2$
步骤2：计算第二个单项式乘多项式
$(-2x^2)(-x + 1) = (-2x^2) · (-x) + (-2x^2) · 1 = 2x^3 - 2x^2$
步骤3：合并两个结果的同类项
将上述两个结果相加，合并同类项：
$\begin{aligned}&-2x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 2x^3 - 2x^2\\=&-2x^4 + (6x^3 + 2x^3) + (2x^2 - 2x^2)\\=&-2x^4 + 8x^3\end{aligned}$
对比选项，结果对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式运算的基本法则，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意符号变化，避免因粗心漏乘、符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是整式混合运算题，解题遵循先乘除后加减的顺序：首先利用单项式乘多项式的法则，分别计算两个乘法部分，展开得到多个单项式；再合并同类项得到最终结果，最后匹配对应选项即可。计算时要注意符号运算，单项式乘多项式的每一项时需连同各项的符号一同计算，避免符号出错。
【解析】
步骤1：计算第一个单项式乘多项式
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$-2x^2(x^2 - 3x - 1) = -2x^2 · x^2 + (-2x^2) · (-3x) + (-2x^2) · (-1) = -2x^4 + 6x^3 + 2x^2$
步骤2：计算第二个单项式乘多项式
$(-2x^2)(-x + 1) = (-2x^2) · (-x) + (-2x^2) · 1 = 2x^3 - 2x^2$
步骤3：合并两个结果的同类项
将上述两个结果相加，合并同类项：
$\begin{aligned}&-2x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 2x^3 - 2x^2\\=&-2x^4 + (6x^3 + 2x^3) + (2x^2 - 2x^2)\\=&-2x^4 + 8x^3\end{aligned}$
对比选项，结果对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式运算的基本法则，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时注意符号变化，避免因粗心漏乘、符号错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 有下列算式：①$x^3 · x^3 = 2x^3$；②$x^3 + x^3 = x^{3+3}$；③$(x^3)^3 = x^{3+3} = x^6$；④$[(-x)^3]^2 = (-x)^9$。其中正确的有 $\boldsymbol{(\quad)}$
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算及合并同类项的知识，解题时需要先回忆各个运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，再逐一判断4个算式的正误，最后统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$x^3 · x^3 = x^{3+3}=x^6$，原式计算错误；
② $x^3 + x^3$是合并同类项，系数相加，字母和指数不变，结果为$2x^3$，原式计算错误；
③ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以$(x^3)^3 = x^{3×3}=x^9$，原式计算错误；
④ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以$[(-x)^3]^2 = (-x)^{3×2}=(-x)^6=x^6$，原式计算错误。
综上，4个算式全部错误，正确的个数为0个。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方
【点评】
本题核心是区分各类整式运算的法则，解题时要注意区分合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，避免混淆指数的运算方式（相加还是相乘），熟练掌握基础法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题考查幂的相关运算及合并同类项的知识，解题时需要先回忆各个运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，再逐一判断4个算式的正误，最后统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$x^3 · x^3 = x^{3+3}=x^6$，原式计算错误；
② $x^3 + x^3$是合并同类项，系数相加，字母和指数不变，结果为$2x^3$，原式计算错误；
③ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以$(x^3)^3 = x^{3×3}=x^9$，原式计算错误；
④ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以$[(-x)^3]^2 = (-x)^{3×2}=(-x)^6=x^6$，原式计算错误。
综上，4个算式全部错误，正确的个数为0个。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方
【点评】
本题核心是区分各类整式运算的法则，解题时要注意区分合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，避免混淆指数的运算方式（相加还是相乘），熟练掌握基础法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
5. 计算$(x-2y+1)(x+2y-1)$时，下列变形中，正确的是 （
A.$[x-(2y+1)][x+(2y+1)]$
B.$[x-(2y-1)][x+(2y-1)]$
C.$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$
D.$[(x+1)-2y][(x+1)+2y]$
B
）A.$[x-(2y+1)][x+(2y+1)]$
B.$[x-(2y-1)][x+(2y-1)]$
C.$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$
D.$[(x+1)-2y][(x+1)+2y]$
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路是先明确平方差公式的结构特征：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，即两个因式中存在一项完全相同（作为$a$），另一项互为相反数（作为$b$）。解题时先找出原式两个因式中的相同项和相反项，再通过添括号法则对原式变形，对应选项判断即可。
【解析】
平方差公式的结构为：两个因式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。
观察原式$(x-2y+1)(x+2y-1)$：
两个因式中完全相同的项是$x$，剩余部分分别为$-2y+1$和$+2y-1$，二者互为相反数；
根据添括号法则，$-2y+1=-(2y-1)$，因此原式可变形为$[x-(2y-1)][x+(2y-1)]$，对应选项B。
验证其余选项：
A选项：$[x-(2y+1)][x+(2y+1)]=(x-2y-1)(x+2y+1)$，与原式不符，错误；
C选项：$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]=(x-2y+1)(x-2y-1)$，与原式不符，错误；
D选项：$[(x+1)-2y][(x+1)+2y]=(x+1-2y)(x+1+2y)$，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 添括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对平方差公式结构特征的理解，解题时要注意添括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，准确区分相同项和相反项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的应用，解题思路是先明确平方差公式的结构特征：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，即两个因式中存在一项完全相同（作为$a$），另一项互为相反数（作为$b$）。解题时先找出原式两个因式中的相同项和相反项，再通过添括号法则对原式变形，对应选项判断即可。
【解析】
平方差公式的结构为：两个因式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。
观察原式$(x-2y+1)(x+2y-1)$：
两个因式中完全相同的项是$x$，剩余部分分别为$-2y+1$和$+2y-1$，二者互为相反数；
根据添括号法则，$-2y+1=-(2y-1)$，因此原式可变形为$[x-(2y-1)][x+(2y-1)]$，对应选项B。
验证其余选项：
A选项：$[x-(2y+1)][x+(2y+1)]=(x-2y-1)(x+2y+1)$，与原式不符，错误；
C选项：$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]=(x-2y+1)(x-2y-1)$，与原式不符，错误；
D选项：$[(x+1)-2y][(x+1)+2y]=(x+1-2y)(x+1+2y)$，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 添括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对平方差公式结构特征的理解，解题时要注意添括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，准确区分相同项和相反项即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a^2 - b^2 = -6$，$ab = 4$，则$a^2 + b^2$的值为 （
A.10
B.15
C.20
D.25
A
）A.10
B.15
C.20
D.25
答案
6. A
解析
【分析】
已知$a^2 - b^2$和$ab$的值，要求$a^2 + b^2$的值，我们可以利用完全平方公式的恒等变形来建立已知条件和待求式的联系。回忆完全平方公式：$(m±n)^2 = m^2±2mn+n^2$，将$m$替换为$a^2$、$n$替换为$b^2$，可推导出$(a^2 + b^2)^2$与$(a^2 - b^2)^2$、$(ab)^2$的关系，代入已知数值计算后，结合平方和的非负性即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
对比两个式子可推导出变形公式：
$(a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4(ab)^2$
将已知$a^2 - b^2 = -6$，$ab = 4$代入上式：
$(a^2 + b^2)^2 = (-6)^2 + 4×4^2 = 36 + 4×16 = 36 + 64 = 100$
因为$a^2≥0$，$b^2≥0$，所以$a^2 + b^2＞0$，又因为$10^2=100$，因此$a^2 + b^2 =10$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方的非负性
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握整式乘法中完全平方公式的恒等变换规则，计算后注意结合平方和的非负性排除负解，是整式乘法章节的典型基础变形题。
【难度系数】
0.7
已知$a^2 - b^2$和$ab$的值，要求$a^2 + b^2$的值，我们可以利用完全平方公式的恒等变形来建立已知条件和待求式的联系。回忆完全平方公式：$(m±n)^2 = m^2±2mn+n^2$，将$m$替换为$a^2$、$n$替换为$b^2$，可推导出$(a^2 + b^2)^2$与$(a^2 - b^2)^2$、$(ab)^2$的关系，代入已知数值计算后，结合平方和的非负性即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
对比两个式子可推导出变形公式：
$(a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4(ab)^2$
将已知$a^2 - b^2 = -6$，$ab = 4$代入上式：
$(a^2 + b^2)^2 = (-6)^2 + 4×4^2 = 36 + 4×16 = 36 + 64 = 100$
因为$a^2≥0$，$b^2≥0$，所以$a^2 + b^2＞0$，又因为$10^2=100$，因此$a^2 + b^2 =10$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方的非负性
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握整式乘法中完全平方公式的恒等变换规则，计算后注意结合平方和的非负性排除负解，是整式乘法章节的典型基础变形题。
【难度系数】
0.7
