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1. 某医院利用甲、乙两种原料为病人配制营养品.已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质.如果病人每餐需34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？设每餐需甲原料 xg，乙原料 yg，则根据题意所列的方程组是（ ）。
(A) $ \{\begin{array}{l l}0. 5 x+0. 6 y=3 4,\\0. 0 8 x+0. 0 4 y=4\end{array} $(B) $ \{\begin{array}{l l}0. 5 x+0. 6 y=3 4,\\0. 0 4 x+0. 0 8 y=4\end{array} $(C) $ \{\begin{array}{l l}0. 6 x+0. 5 y=3 4,\\0. 0 8 x+0. 0 4 y=4\end{array} $(D) $ \{\begin{array}{l l}0. 6 x+0. 5 y=3 4,\\0. 0 4 x+0. 0 8 y=4\end{array} $
(A) $ \{\begin{array}{l l}0. 5 x+0. 6 y=3 4,\\0. 0 8 x+0. 0 4 y=4\end{array} $(B) $ \{\begin{array}{l l}0. 5 x+0. 6 y=3 4,\\0. 0 4 x+0. 0 8 y=4\end{array} $(C) $ \{\begin{array}{l l}0. 6 x+0. 5 y=3 4,\\0. 0 8 x+0. 0 4 y=4\end{array} $(D) $ \{\begin{array}{l l}0. 6 x+0. 5 y=3 4,\\0. 0 4 x+0. 0 8 y=4\end{array} $
答案
1.C
2. (2023，遂宁，5)《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？意思是甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，则可列方程组为（ ）。
A.$ \{\begin{array}{l l}1 1 x=9 y,\\(1 0 y+x)-(8 x+y)=1 3\end{array} $
B.$ \{\begin{array}{l l}9 x=1 1 y,\\(8 x+y)-(1 0 y+x)=1 3\end{array} $
C.$ \{\begin{array}{l l}9 x=1 1 y,\\(1 0 y+x)-(8 x+y)=1 3\end{array} $
D.$ \{\begin{array}{l l}1 1 x=9 y,\\(8 x+y)-(1 0 y+x)=1 3\end{array} $
A.$ \{\begin{array}{l l}1 1 x=9 y,\\(1 0 y+x)-(8 x+y)=1 3\end{array} $
B.$ \{\begin{array}{l l}9 x=1 1 y,\\(8 x+y)-(1 0 y+x)=1 3\end{array} $
C.$ \{\begin{array}{l l}9 x=1 1 y,\\(1 0 y+x)-(8 x+y)=1 3\end{array} $
D.$ \{\begin{array}{l l}1 1 x=9 y,\\(8 x+y)-(1 0 y+x)=1 3\end{array} $
答案
2.C
3. 我国明代数学名著《算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分1个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚分别有 x，y人，则可以列方程组为_______.
答案
3. $\begin{cases} x+y=100,\\ 3x+\dfrac{1}{3}y=100\\ \end{cases}$
4. （2025，河北，15）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 a，b. 如图，将甲纸条的 $ \frac{1}{3} $与乙纸条的 $ \frac{2}{5} $叠合在一起，形成长为81的纸条，则 a+b=___. 
答案
4.99
【提示】根据题意,得$\begin{cases} \dfrac{1}{3}a=\dfrac{2}{5}b,\\ (1-\dfrac{1}{3})a+b=81.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=54,\\ b=45.\\ \end{cases}$$\therefore a+b=99.$
【提示】根据题意,得$\begin{cases} \dfrac{1}{3}a=\dfrac{2}{5}b,\\ (1-\dfrac{1}{3})a+b=81.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=54,\\ b=45.\\ \end{cases}$$\therefore a+b=99.$
5. 从甲地到乙地，需要先下山然后走一段平路，某人骑自行车从甲地以 24 km/h的速度下山，再以 18 km/h的速度通过平路，到达乙地时用了 55 min；回来时，从乙地以 16 km/h的速度先通过平路，再以 8 km/h的速度上山，到达甲地时用了1.5h.求甲、乙两地间的距离.
答案
5.解法一:设山路为$x\ \mathrm{km}$,平路为$y\ \mathrm{km}$,根据题意,列出表格:
从甲地到乙地 从乙地到甲地
速度/(km/h) 时间/h 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 路程/km
山路 24 $\dfrac{x}{24}$ $x$ 8 $\dfrac{x}{8}$ $x$
平路 18 $\dfrac{y}{18}$ $y$ 16 $\dfrac{y}{16}$ $y$
列方程组得$\begin{cases} \dfrac{x}{24}+\dfrac{y}{18}=\dfrac{55}{60},\\ \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=\dfrac{3}{2}.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=6,\\ y=12.\\ \end{cases}$
$\therefore x+y=18.$
答:甲、乙两地间的距离为$18\ \mathrm{km}$.
解法二:设从甲地到乙地走山路的时间为$x\ \mathrm{h}$,从乙地到甲地走山路的时间为$y\ \mathrm{h}$,根据题意,列出表格:
从甲地到乙地 从乙地到甲地
速度/(km/h) 时间/h 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 路程/km
山路 24 $x$ $24x$ 8 $y$ $8y$
平路 18 $\dfrac{55}{60}-x$ $18(\dfrac{55}{60}-x)$ 16 $\dfrac{3}{2}-y$ $16(\dfrac{3}{2}-y)$
列方程组得$\begin{cases} 24x=8y,\\ 18(\dfrac{55}{60}-x)=16(\dfrac{3}{2}-y).\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{4},\\ y=\dfrac{3}{4}.\\ \end{cases}$
$\therefore 24x+18(\dfrac{55}{60}-x)=18.$
答:甲、乙两地间的距离为$18\ \mathrm{km}$.
从甲地到乙地 从乙地到甲地
速度/(km/h) 时间/h 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 路程/km
山路 24 $\dfrac{x}{24}$ $x$ 8 $\dfrac{x}{8}$ $x$
平路 18 $\dfrac{y}{18}$ $y$ 16 $\dfrac{y}{16}$ $y$
列方程组得$\begin{cases} \dfrac{x}{24}+\dfrac{y}{18}=\dfrac{55}{60},\\ \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{16}=\dfrac{3}{2}.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=6,\\ y=12.\\ \end{cases}$
$\therefore x+y=18.$
答:甲、乙两地间的距离为$18\ \mathrm{km}$.
解法二:设从甲地到乙地走山路的时间为$x\ \mathrm{h}$,从乙地到甲地走山路的时间为$y\ \mathrm{h}$,根据题意,列出表格:
从甲地到乙地 从乙地到甲地
速度/(km/h) 时间/h 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 路程/km
山路 24 $x$ $24x$ 8 $y$ $8y$
平路 18 $\dfrac{55}{60}-x$ $18(\dfrac{55}{60}-x)$ 16 $\dfrac{3}{2}-y$ $16(\dfrac{3}{2}-y)$
列方程组得$\begin{cases} 24x=8y,\\ 18(\dfrac{55}{60}-x)=16(\dfrac{3}{2}-y).\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\dfrac{1}{4},\\ y=\dfrac{3}{4}.\\ \end{cases}$
$\therefore 24x+18(\dfrac{55}{60}-x)=18.$
答:甲、乙两地间的距离为$18\ \mathrm{km}$.
