1. 设$\overline{abc}$是一个三位数，若它可以被9整除，则下列说法正确的是 （）

A.$a$可以被9整除
B.$a+b$可以被9整除
C.$abc$可以被9整除
D.$a+b+c$可以被9整除

提示:因为三位数 $\overline{abc}$ 的数值为 100a＋10b＋c，$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c) =9(11a + b)+(a + b + c)$，$9(11a + b)$能被 9 整除，且$\overline{abc}$能被 9 整除，所以$a + b + c$可以被 9 整除。

【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先明确三位数$\overline{abc}$的实际数值是通过位值原理得到的$100a+10b+c$，接下来对这个表达式做恒等变形，拆分出所有含因数9的部分，剩下的余项就是三个数位数字的和$a+b+c$。根据整除的性质：若两个数的和能被9整除，其中一个加数是9的倍数，那么另一个加数也必然能被9整除，由此就能推导得出结论，再逐一验证错误选项即可选出正确答案。
【解析】
解：首先根据位值原理，三位数$\overline{abc}$的数值可表示为：
$\overline{abc}=100a + 10b + c$
对该式进行拆分变形：
$100a + 10b + c = 99a + 9b + a + b + c = 9×(11a + b) + (a + b + c)$
已知$\overline{abc}$能被9整除，而$9×(11a + b)$是9的整数倍，必然可以被9整除。根据整除的性质：若整数A能被9整除，且$A = B + C$，其中B能被9整除，则C也一定能被9整除，因此可得$a+b+c$可以被9整除。
对各选项逐一判断：
A选项：举反例，比如三位数108能被9整除，百位$a=1$，1不能被9整除，A错误；
B选项：仍以108为例，$a+b=1+0=1$，1不能被9整除，B错误；
C选项：举反例，三位数117能被9整除，$abc=1×1×7=7$，7不能被9整除，C错误；
D选项符合推导结论，正确。
【答案】D
【知识点】
9的整除判定，位值原理
【点评】
本题属于整除性质的基础题型，核心是通过位值原理推导能被9整除的数的特征，不需要死记硬背结论，理解推导逻辑后就能轻松区分9和其他数的整除判定规则，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 将一副三角板按如图方式摆放，下列结论正确的是(填序号).
①$∠ 1$与$∠ 2$互余；
②$∠ 1=∠ 3$；
③$∠ 3$与$∠ B$互余；
④$∠ 2$与$∠ BOC$互补.

提示:在三角板 COD 和三角板AOB 中，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，所以$∠ 1 + ∠ 2 =∠ COD=90°$，即$∠ 1$与$∠ 2$互余，$∠ 2 + ∠ 3 = ∠ AOB=90°$，所以$∠ 1=∠ 3$，所以$∠ 1+∠ 2+∠ 2+∠ 3=180°$. 因为$∠ 1+∠ 2+∠ 3=∠ BOC$，所以$∠ 2+∠ BOC=180°$，$∠ 3$与$∠ B$互余无法确定，所以①②④正确。

【分析】
我们先明确本题用到的两个直角三角板的核心特征：两个三角板的直角分别为∠COD=90°、∠AOB=90°，接下来逐个验证四个结论：1. 先观察∠1和∠2的和刚好等于直角∠COD，结合互余的定义即可判断①；2. 再观察∠2和∠3的和也等于直角∠AOB，利用同角的余角相等就能推出∠1=∠3，判断②；3. 三角板AOB中∠B是固定的45°，但∠3的大小随三角板摆放位置动态变化，无法保证和为90°，判断③；4. 把∠BOC拆分为∠1+∠2+∠3，代入前面得到的∠1+∠2=90°、∠2+∠3=90°，就能算出∠2+∠BOC=180°，结合互补的定义判断④，最后汇总正确序号即可。
【解析】
解：由图中三角板的固有直角属性可得：∠COD=90°，∠AOB=90°
1. 验证结论①：
∠1+∠2 = ∠COD = 90°，根据互余的定义，和为90°的两个角互余，因此∠1与∠2互余，①正确；
2. 验证结论②：
∠2+∠3 = ∠AOB = 90°，可知∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等，可得∠1=∠3，②正确；
3. 验证结论③：
三角板AOB中∠B=45°，但∠3的大小随三角板摆放位置改变，无法保证∠3+∠B=90°，因此∠3与∠B不一定互余，③错误；
4. 验证结论④：
∠BOC = ∠1+∠2+∠3，因此∠2+∠BOC = ∠2+∠1+∠2+∠3 = (∠1+∠2)+(∠2+∠3) = 90°+90°=180°，根据互补的定义，和为180°的两个角互补，因此∠2与∠BOC互补，④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】①②④
【知识点】互余定义，互补定义，同角的余角相等
【点评】本题结合三角板的摆放场景考查余角、补角的基础性质，解题核心是抓住两个直角三角板的90°角作为推导的突破口，逐一验证结论即可，需要注意区分固定角度和随摆放变化的动态角度，避免误判③。
【难度系数】0.7

3. 一张长方形纸片,经过$n$次裁剪(每次沿直线剪去一个正方形),若剩下的图形为正方形,则称该长方形为“$n$阶奇异长方形”.
例如:图1为“1阶奇异长方形”(①,②为正方形);
图2中的2个图形均为“2阶奇异长方形”(③,④,⑤,⑥,⑦,⑧为正方形).
设“$n$阶奇异长方形”的长为$a$,宽为$b(a＞b)$.
(1) 若$a=6$,则图1中$b$的值为,图2左图中$b$的值为;右图中$b$的值为.
(2) 若图3为“4阶奇异长方形”,则$\dfrac{a}{b}$的值为.
(3) 若$n=3,a=20$,则$b$的值为(写出所有可能的结果).

(1) 3 2 4 提示:由题图 1,得$\frac{a}{2}=b$,所以$b=\frac{6}{2}=3$. 由题图 2 左边的图,得$\frac{a}{3}=b$,所以$b=\frac{6}{3}=2$. 由题图 2 右边的图,得$a-\frac{b}{2}=b$,所以$6-\frac{b}{2}=b$,解得$b=4$.
(2) $\frac{8}{5}$ 提示:如图 1,设右上方的小正方形的边长为$x$,所以$x+x+3x=b$,$5x+2x+x=a$,即$5x=b$,$8x=a$,所以$\frac{a}{b}=\frac{8}{5}$.

(3) 5,8,12 或 15 提示:由题意,得该长方形为“4阶奇异长方形”. 分情况讨论,如图 2,所以$b=\frac{a}{4}=\frac{20}{4}=5$;如图 3,所以$(a-\frac{b}{2})÷ 2=b$,解得$b=8$;如图 4,设右上角的小正方形的边长为$y$,所以$3y=b$,$5y=a=20$,所以$b=12$;如图 5,设右上角的小正方形的边长为$z$,所以$3z=b$,$a-z=b$,所以$4z=20$,所以$z=5$,所以$b=3z=15$. 综上所述,$b$的值为 5 或 8 或 12 或 15.

【分析】
首先我们要先明确题目给出的“n阶奇异长方形”的定义：每次沿直线剪去一个正方形，经过n次裁剪后剩余图形为正方形，且已知长方形长a＞宽b。解题思路如下：
1. 第(1)问：结合给出的1阶、2阶奇异长方形的示例图，直接根据长和宽的拼接关系建立等式，代入a=6即可求出对应的b值。
2. 第(2)问：对于4阶奇异长方形，我们可以设图中最小的正方形边长为x，反向推导长a和宽b分别用x表示的代数式，约去x就能得到a/b的比值。
3. 第(3)问：n=3即经过3次裁剪最后得到正方形，需要把所有符合裁剪逻辑的情况分类枚举，分别建立关于b的一元一次方程求解，筛选出所有满足a=20且a＞b的结果即可。
【解析】
(1) 图1是1阶奇异长方形，裁剪1次得到2个等大正方形，因此满足a=2b，代入a=6，得b=6/2=3；
图2左图是2阶奇异长方形，裁剪2次得到3个等大正方形，因此满足a=3b，代入a=6，得b=6/3=2；
图2右图是2阶奇异长方形，第一次剪去边长为b的正方形，剩余小长方形长为b、宽为a-b，第二次裁剪后剩余正方形，说明该小长方形可拆分为2个正方形，即b=2(a-b)，代入a=6得6 - b/2 = b，解得b=4。
(2) 设4阶奇异长方形中最小的正方形边长为x，根据图形拼接关系可得：b=5x，a=8x，因此a/b = 8x/5x = 8/5。
(3) 对n=3、a=20的情况分类讨论：
情况1：4个等大正方形沿长并排拼接，满足a=4b，代入a=20得b=5；
情况2：第一次剪去边长为b的正方形后，剩余长方形经过2次裁剪得到正方形，列方程(20 - b/2)÷2 = b，解得b=8；
情况3：设右上角最小正方形边长为y，可得3y=b，5y=20，解得y=4，b=12；
情况4：设右上角最小正方形边长为z，可得3z=b，20 - z = b，解得z=5，b=15。
所有结果均满足a＞b，因此全部有效。
【答案】
(1) 3；2；4
(2) $\dfrac{8}{5}$
(3) 5，8，12或15
【知识点】
新定义问题，一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题是典型的几何类新定义探究题，核心是结合裁剪正方形的操作逻辑，通过边长的拼接关系建立等量关系，重点考察对陌生定义的理解能力和分类枚举的严谨性，第三问容易出现漏解，需要把所有符合3次裁剪的路径全部梳理完整才能得到全部结果。
【难度系数】
0.3