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1. 在密码学中,你直接可以看到的内容为明文(真实文),对明文进行某种处理后得到的内容为密文.现有一种密码把英文的明文单词按字母分解,其中英文的26个小写字母依次对应$1,2,3,\dots,26$这26个自然数,见以下表格:
现给出一个公式: $A' =\begin{cases}\dfrac{A+1}{2}(A \mathrm{ 为正整数}, 1 ≤ A ≤ 26, A \mathrm{ 不能被 } 2 \mathrm{ 整除}), \\\dfrac{A}{2}+13(A \mathrm{ 为正整数}, 1 ≤ A ≤ 26, A \mathrm{ 能被 } 2 \mathrm{ 整除}),\end{cases}$
将明文字母对应的数字$A$按以上公式计算得到密文字母对应的数字$A'$,比如明文字母为$e, e \to 5 \to \dfrac{5+1}{2}=3 \to c$,所以明文字母$e$对应的密文字母为$c$.若密文是$dhho$,则对应的明文是（
A.$well$
B.$good$
C.$best$
D.$oqqh$
现给出一个公式: $A' =\begin{cases}\dfrac{A+1}{2}(A \mathrm{ 为正整数}, 1 ≤ A ≤ 26, A \mathrm{ 不能被 } 2 \mathrm{ 整除}), \\\dfrac{A}{2}+13(A \mathrm{ 为正整数}, 1 ≤ A ≤ 26, A \mathrm{ 能被 } 2 \mathrm{ 整除}),\end{cases}$
将明文字母对应的数字$A$按以上公式计算得到密文字母对应的数字$A'$,比如明文字母为$e, e \to 5 \to \dfrac{5+1}{2}=3 \to c$,所以明文字母$e$对应的密文字母为$c$.若密文是$dhho$,则对应的明文是（
B
）A.$well$
B.$good$
C.$best$
D.$oqqh$
答案
1. B 提示:因为密文字母为d,对应的数字是4,所以$\dfrac{A+1}{2}=4$,解得$A=7$,其对应的明文字母是g.
因为密文字母为h,对应的数字是8,所以$\dfrac{A+1}{2}=8$,解得$A=15$,其对应的明文字母是o.因为密文字母为o,对应的数字是15,所以$\dfrac{A}{2}+13=15$,解得$A=4$,其对应的明文字母是d.综上,密文dhho对应的明文是good.
因为密文字母为h,对应的数字是8,所以$\dfrac{A+1}{2}=8$,解得$A=15$,其对应的明文字母是o.因为密文字母为o,对应的数字是15,所以$\dfrac{A}{2}+13=15$,解得$A=4$,其对应的明文字母是d.综上,密文dhho对应的明文是good.
解析
【分析】
这是一道信息迁移类的密码运算题，我们的思考逻辑如下：首先明确题目给出的是正向加密规则，现在需要反向由密文推导明文，第一步先分析加密规则的两类情况对应的密文数字取值范围：当明文数字A为奇数时，加密得到的A'=(A+1)/2，此时A'的取值一定在1~13区间内；当明文数字A为偶数时，加密得到的A'=A/2+13，此时A'的取值一定在14~26区间内。第二步先把密文的每个字母对应到表格中的数字，再根据密文数字所属的区间选择对应的逆推公式，算出原明文对应的数字后映射回字母，拼接后就能得到最终明文，匹配选项即可。
【解析】
我们按步骤逐步计算：
1. 将密文"dhho"的每个字母转换为对应数字：
字母d对应数字4
字母h对应数字8
字母h对应数字8
字母o对应数字15
2. 推导逆运算公式：
① 若密文数字A'∈[1,13]，说明它由奇数的明文A加密得到，由$A'=\frac{A+1}{2}$逆推得$A=2A'-1$；
② 若密文数字A'∈[14,26]，说明它由偶数的明文A加密得到，由$A'=\frac{A}{2}+13$逆推得$A=2(A'-13)$。
3. 逐个计算对应明文：
密文d对应A'=4，属于1~13区间，代入得$A=2×4-1=7$，数字7对应字母g；
密文h对应A'=8，属于1~13区间，代入得$A=2×8-1=15$，数字15对应字母o；
第二个密文h同理，得到A=15，对应字母o；
密文o对应A'=15，属于14~26区间，代入得$A=2×(15-13)=4$，数字4对应字母d。
4. 拼接得到明文为good。
【答案】B
【知识点】
分段函数应用，字母数字映射
【点评】
本题的核心是跳出正向代入加密公式的思维误区，先通过分析加密结果的取值区间，分类推导逆运算规则，只要理清正反运算的对应关系，就能快速完成求解，属于基础的信息迁移题型。
【难度系数】
0.7
这是一道信息迁移类的密码运算题，我们的思考逻辑如下：首先明确题目给出的是正向加密规则，现在需要反向由密文推导明文，第一步先分析加密规则的两类情况对应的密文数字取值范围：当明文数字A为奇数时，加密得到的A'=(A+1)/2，此时A'的取值一定在1~13区间内；当明文数字A为偶数时，加密得到的A'=A/2+13，此时A'的取值一定在14~26区间内。第二步先把密文的每个字母对应到表格中的数字，再根据密文数字所属的区间选择对应的逆推公式，算出原明文对应的数字后映射回字母，拼接后就能得到最终明文，匹配选项即可。
【解析】
我们按步骤逐步计算：
1. 将密文"dhho"的每个字母转换为对应数字：
字母d对应数字4
字母h对应数字8
字母h对应数字8
字母o对应数字15
2. 推导逆运算公式：
① 若密文数字A'∈[1,13]，说明它由奇数的明文A加密得到，由$A'=\frac{A+1}{2}$逆推得$A=2A'-1$；
② 若密文数字A'∈[14,26]，说明它由偶数的明文A加密得到，由$A'=\frac{A}{2}+13$逆推得$A=2(A'-13)$。
3. 逐个计算对应明文：
密文d对应A'=4，属于1~13区间，代入得$A=2×4-1=7$，数字7对应字母g；
密文h对应A'=8，属于1~13区间，代入得$A=2×8-1=15$，数字15对应字母o；
第二个密文h同理，得到A=15，对应字母o；
密文o对应A'=15，属于14~26区间，代入得$A=2×(15-13)=4$，数字4对应字母d。
4. 拼接得到明文为good。
【答案】B
【知识点】
分段函数应用，字母数字映射
【点评】
本题的核心是跳出正向代入加密公式的思维误区，先通过分析加密结果的取值区间，分类推导逆运算规则，只要理清正反运算的对应关系，就能快速完成求解，属于基础的信息迁移题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图,点O为原点,A,B为数轴上两点,$AB=12$,且$OA=2OB$,点P从点B开始以每秒4个单位长度的速度向右运动,当点P开始运动时,点A,B分别以每秒5个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动,设运动时间为$t$ s. 若$2AP+$$3OP-mBP$的值在某段时间内不随着$t$的值变化而变化,则$m=$
$\dfrac{10}{3}$或$\dfrac{14}{3}$
.答案
2. $\dfrac{10}{3}$或$\dfrac{14}{3}$ 提示:因为$AB=12$,$OA=2OB$,所以$OA=\dfrac{2}{3}AB=8$,$OB=\dfrac{1}{3}AB=4$,所以点A表示的数是$-8$,点B表示的数是4.运动$t$ s,根据题意,得点A表示的数为$-8+5t$,点B表示的数为$4+t$,点P表示的数为$4+4t$,所以$AP=|-8+5t-(4+4t)|=|t-12|$,$OP=4+4t$,$BP=4t-t=3t$.当$0＜ t≤ 12$时,$2AP+3OP-mBP=2(12-t)+3(4+4t)-3mt=24-2t+12+12t-3mt=(10-3m)t+36$,当$10-3m=0$,即$m=\dfrac{10}{3}$时,$2AP+3OP-mBP$的值不随着$t$的值变化而变化;当$t＞12$时,$2AP+3OP-mBP=2(t-12)+3(4+4t)-3mt=2t-24+12+12t-3mt=(14-3m)t-12$,当$14-3m=0$,即$m=\dfrac{14}{3}$时,$2AP+3OP-mBP$的值不随着$t$的值变化而变化.综上,若$2AP+3OP-mBP$的值在某段时间内不随着$t$的值变化而变化,则$m=\dfrac{10}{3}$或$m=\dfrac{14}{3}$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：1. 先结合数轴上A、B的位置关系，利用已知条件AB=12、OA=2OB，算出A、B两点初始对应的数值，这是后续计算的基础。2. 用含t的代数式分别表示运动t秒后A、B、P三个点对应的数，再根据数轴两点距离公式写出AP、OP、BP的表达式，注意AP的表达式带有绝对值，需要根据绝对值内式子的正负分两种情况讨论。3. 对两种情况分别化简2AP+3OP -mBP的代数式，要让代数式的值不随t变化，就需要t的一次项系数为0，据此列方程求解m，最终得到所有符合条件的m值。
【解析】
1. 求初始点对应的数
已知AB=12，OA=2OB，且A在原点左侧、B在原点右侧，因此OA+OB=AB=12，代入OA=2OB得：
$2OB + OB =12$，解得$OB=4$，$OA=8$，因此初始时点A表示的数为$-8$，点B表示的数为$4$。
2. 表示运动t秒后各点对应的数
运动t秒后：
点A向右运动，速度为5单位/s，对应数为：$-8 + 5t$
点B向右运动，速度为1单位/s，对应数为：$4 + t$
点P从B出发向右运动，速度为4单位/s，对应数为：$4 + 4t$
3. 表示各线段长度
根据数轴两点距离公式：
$AP = |(-8+5t) - (4+4t)| = |t - 12|$
$OP = 4 + 4t$
$BP = |(4+4t) - (4+t)| = 3t$
4. 分情况化简代数式，令t的系数为0
① 当$0 ＜ t ≤12$时，$t-12 ≤0$，因此$|t-12|=12 - t$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP = 2(12 - t) + 3(4 + 4t) - 3mt$
$= 24 - 2t + 12 + 12t - 3mt$
$= (10 - 3m)t + 36$
若该式的值不随t变化，则t的系数为0，即$10 - 3m = 0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
② 当$t ＞12$时，$t-12 ＞0$，因此$|t-12|=t - 12$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP = 2(t - 12) + 3(4 + 4t) - 3mt$
$= 2t - 24 + 12 + 12t - 3mt$
$= (14 - 3m)t - 12$
若该式的值不随t变化，则t的系数为0，即$14 - 3m =0$，解得$m=\frac{14}{3}$。
综上，符合条件的m的值为$\frac{10}{3}$或$\frac{14}{3}$。
【答案】$\dfrac{10}{3}$或$\dfrac{14}{3}$
【知识点】数轴动点问题，绝对值化简，代数式与变量无关
【点评】本题是数轴动点的经典拔高题型，核心考点是利用代数式与变量无关的条件求解参数，容易出错的点是忽略AP的绝对值带来的分类讨论，漏算其中一个m的取值，解题时要注意根据绝对值的分界点划分区间逐一验证，避免丢解。
【难度系数】0.3
解题思路可分为三步：1. 先结合数轴上A、B的位置关系，利用已知条件AB=12、OA=2OB，算出A、B两点初始对应的数值，这是后续计算的基础。2. 用含t的代数式分别表示运动t秒后A、B、P三个点对应的数，再根据数轴两点距离公式写出AP、OP、BP的表达式，注意AP的表达式带有绝对值，需要根据绝对值内式子的正负分两种情况讨论。3. 对两种情况分别化简2AP+3OP -mBP的代数式，要让代数式的值不随t变化，就需要t的一次项系数为0，据此列方程求解m，最终得到所有符合条件的m值。
【解析】
1. 求初始点对应的数
已知AB=12，OA=2OB，且A在原点左侧、B在原点右侧，因此OA+OB=AB=12，代入OA=2OB得：
$2OB + OB =12$，解得$OB=4$，$OA=8$，因此初始时点A表示的数为$-8$，点B表示的数为$4$。
2. 表示运动t秒后各点对应的数
运动t秒后：
点A向右运动，速度为5单位/s，对应数为：$-8 + 5t$
点B向右运动，速度为1单位/s，对应数为：$4 + t$
点P从B出发向右运动，速度为4单位/s，对应数为：$4 + 4t$
3. 表示各线段长度
根据数轴两点距离公式：
$AP = |(-8+5t) - (4+4t)| = |t - 12|$
$OP = 4 + 4t$
$BP = |(4+4t) - (4+t)| = 3t$
4. 分情况化简代数式，令t的系数为0
① 当$0 ＜ t ≤12$时，$t-12 ≤0$，因此$|t-12|=12 - t$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP = 2(12 - t) + 3(4 + 4t) - 3mt$
$= 24 - 2t + 12 + 12t - 3mt$
$= (10 - 3m)t + 36$
若该式的值不随t变化，则t的系数为0，即$10 - 3m = 0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
② 当$t ＞12$时，$t-12 ＞0$，因此$|t-12|=t - 12$，代入原式：
$2AP + 3OP - mBP = 2(t - 12) + 3(4 + 4t) - 3mt$
$= 2t - 24 + 12 + 12t - 3mt$
$= (14 - 3m)t - 12$
若该式的值不随t变化，则t的系数为0，即$14 - 3m =0$，解得$m=\frac{14}{3}$。
综上，符合条件的m的值为$\frac{10}{3}$或$\frac{14}{3}$。
【答案】$\dfrac{10}{3}$或$\dfrac{14}{3}$
【知识点】数轴动点问题，绝对值化简，代数式与变量无关
【点评】本题是数轴动点的经典拔高题型，核心考点是利用代数式与变量无关的条件求解参数，容易出错的点是忽略AP的绝对值带来的分类讨论，漏算其中一个m的取值，解题时要注意根据绝对值的分界点划分区间逐一验证，避免丢解。
【难度系数】0.3
3.【操作拼图】已知一副直角三角板先按如图的方式拼接在一起,其中$OC$与直线$MN$重合,
$∠ AOM=∠ COD=30^{\circ },∠ AOB=45^{\circ }.$
(1) 在上述所拼图形中，$∠ BOD$ 的度数为
【问题探究】
(2) 在上述所拼图形的基础上,让三角板$COD$固定不动,将三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$5^{\circ }$的速度按顺时针方向旋转,且两块三角板均在直线$MN$的上方.设三角板$AOB$的旋转时间为$t\ \mathrm{s}$,在旋转过程中,请求出当$∠ BOC=2∠ BOD$时,$t$的值.
【拓展延伸】
(3) 在按照【操作拼图】要求拼好图后,让三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$5^{\circ }$的速度按顺时针方向旋转的同时,三角板$COD$也绕着点$O$以每秒$1^{\circ }$的速度按逆时针方向旋转.在旋转过程中,两块三角板均在直线$MN$的上方,且当三角板$AOB$停止旋转时,三角板$COD$也停止旋转.设三角板$AOB$的旋转时间为$t\ \mathrm{s}$.在旋转过程中,当$AB$与三角板$COD$的某一边平行时,请直接写出$t$的值.
$∠ AOM=∠ COD=30^{\circ },∠ AOB=45^{\circ }.$
(1) 在上述所拼图形中，$∠ BOD$ 的度数为
$75°$
.【问题探究】
(2) 在上述所拼图形的基础上,让三角板$COD$固定不动,将三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$5^{\circ }$的速度按顺时针方向旋转,且两块三角板均在直线$MN$的上方.设三角板$AOB$的旋转时间为$t\ \mathrm{s}$,在旋转过程中,请求出当$∠ BOC=2∠ BOD$时,$t$的值.
【拓展延伸】
(3) 在按照【操作拼图】要求拼好图后,让三角板$AOB$绕着点$O$以每秒$5^{\circ }$的速度按顺时针方向旋转的同时,三角板$COD$也绕着点$O$以每秒$1^{\circ }$的速度按逆时针方向旋转.在旋转过程中,两块三角板均在直线$MN$的上方,且当三角板$AOB$停止旋转时,三角板$COD$也停止旋转.设三角板$AOB$的旋转时间为$t\ \mathrm{s}$.在旋转过程中,当$AB$与三角板$COD$的某一边平行时,请直接写出$t$的值.
答案
3. (1) $75°$
(2) 解:三角板AOB以每秒$5°$的速度顺时针旋转$t$ s后,$∠ AOM=30°+5t°$,所以$∠ BOM=∠ AOM+∠ AOB=30°+5t°+45°=(75+5t)°$,所以$∠ BOC=180°-∠ BOM=180°-(75+5t)°=(105-5t)°$,所以$∠ BOD=|∠ BOC-∠ COD|=|(105-5t)°-30°|=|(75-5t)°|$.因为$∠ BOC=2∠ BOD$,所以当$75-5t≥0$,$t＞0$(即$0＜ t≤15$)时,$105-5t=2(75-5t)$,解得$t=9$;当$75-5t＜0$,$t≤30$(即$15＜ t≤30$)时,$105-5t=2(5t-75)$,解得$t=17$.
综上所述,$t$的值为9或17.
(3) 解:$t$的值为5或10或20. 提示:根据题意,得$∠ AOM=30°+5t°$,$∠ CON=t°$.当$AB// OD$时,$∠ BOD=∠ ABO=45°$,$∠ AOD=180°-(30°+5t°)-(30°+t°)=(120-6t)°$.又因为$∠ AOD=∠ A=90°$,所以$120-6t=90$,解得$t=5$.当$AB// OC$时,$∠ AOC+∠ BAO=180°$,所以$∠ AOC=90°$.因为$∠ BOA=∠ ABO=45°$,所以$180-(30+5t)-t=90$,解得$t=10$.当$AB// CD$时,OA与OD重合,所以$∠ DOM=∠ AOM$,所以$∠ COD=180°-∠ DOM-∠ CON$,所以$180-(30+5t)-t=30$,解得$t=20$.综上所述,$t$的值为5或10或20.
(2) 解:三角板AOB以每秒$5°$的速度顺时针旋转$t$ s后,$∠ AOM=30°+5t°$,所以$∠ BOM=∠ AOM+∠ AOB=30°+5t°+45°=(75+5t)°$,所以$∠ BOC=180°-∠ BOM=180°-(75+5t)°=(105-5t)°$,所以$∠ BOD=|∠ BOC-∠ COD|=|(105-5t)°-30°|=|(75-5t)°|$.因为$∠ BOC=2∠ BOD$,所以当$75-5t≥0$,$t＞0$(即$0＜ t≤15$)时,$105-5t=2(75-5t)$,解得$t=9$;当$75-5t＜0$,$t≤30$(即$15＜ t≤30$)时,$105-5t=2(5t-75)$,解得$t=17$.
综上所述,$t$的值为9或17.
(3) 解:$t$的值为5或10或20. 提示:根据题意,得$∠ AOM=30°+5t°$,$∠ CON=t°$.当$AB// OD$时,$∠ BOD=∠ ABO=45°$,$∠ AOD=180°-(30°+5t°)-(30°+t°)=(120-6t)°$.又因为$∠ AOD=∠ A=90°$,所以$120-6t=90$,解得$t=5$.当$AB// OC$时,$∠ AOC+∠ BAO=180°$,所以$∠ AOC=90°$.因为$∠ BOA=∠ ABO=45°$,所以$180-(30+5t)-t=90$,解得$t=10$.当$AB// CD$时,OA与OD重合,所以$∠ DOM=∠ AOM$,所以$∠ COD=180°-∠ DOM-∠ CON$,所以$180-(30+5t)-t=30$,解得$t=20$.综上所述,$t$的值为5或10或20.
解析
【分析】
(1) 第一问是静态求角，已知直线MN对应的平角为180°，结合给出的∠AOM=30°、∠AOB=45°、∠COD=30°，用平角180°依次减去三个已知角，即可直接算出∠BOD的度数。
(2) 第二问是单三角板旋转问题，先根据旋转速度表示出旋转t秒后各角的度数，先推导∠BOC的表达式，再根据OB和OD的位置关系分两种情况：OB在OD左侧、OB在OD右侧，结合条件∠BOC=2∠BOD分别列一元一次方程求解，同时结合两块三角板都在MN上方的限制确定t的取值范围，舍去不符合的解。
(3) 第三问是双三角板反向旋转问题，分别表示出两个三角板旋转后对应的角的度数，分三类讨论AB与三角板COD的三条边分别平行的情况：AB平行OD、AB平行OC、AB平行CD，利用平行线的性质建立关于t的方程，求解得到符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 因为点O在直线MN上，所以∠MON=180°，代入已知角度计算：
∠BOD = 180° - ∠AOM - ∠AOB - ∠COD = 180° - 30° - 45° - 30° = 75°。
(2) 三角板AOB绕点O顺时针以每秒5°旋转t秒后，∠AOM = 30° + 5t°，
由∠AOB=45°可得∠BOM = ∠AOM + ∠AOB = (75+5t)°，
因此∠BOC = 180° - ∠BOM = (105-5t)°，
结合∠COD=30°，可得∠BOD = |∠BOC - ∠COD| = |75-5t|°。
已知∠BOC=2∠BOD，分两种情况讨论：
① 当0 ＜ t ≤15时，75-5t ≥0，此时∠BOD=(75-5t)°，代入等式得：
105 -5t = 2(75 -5t)，解得t=9，符合取值范围；
② 当15 ＜ t ≤30时，75-5t ＜0，此时∠BOD=(5t-75)°，代入等式得：
105 -5t = 2(5t -75)，解得t=17，符合取值范围。
综上，t的值为9或17。
(3) 旋转t秒后，三角板AOB顺时针转了5t°，三角板COD逆时针转了t°，因此∠AOM=30°+5t°，∠CON=t°，分三种平行情况讨论：
① 当AB//OD时，由内错角相等得∠BOD=∠ABO=45°，推导得∠AOD=90°，即180°-(30°+5t°)-(30°+t°)=90°，解得t=5；
② 当AB//OC时，由同旁内角互补得∠AOC + ∠BAO=180°，已知∠BAO=90°，因此∠AOC=90°，即180°-(30°+5t°)-t°=90°，解得t=10；
③ 当AB//CD时，此时OA与OD重合，代入角度关系得180°-(30°+5t°)-t°=30°，解得t=20。
综上，t的值为5或10或20。
【答案】
(1) $75°$；(2) $t$的值为9或17；(3) $t$的值为5或10或20
【知识点】
角的和差运算，旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题是三角板动态旋转的综合题，难度层层递进，从静态求角到单动旋转再到双动旋转，需要学生结合图形位置分类讨论不同的情况，运用方程思想将角度关系转化为一元一次方程求解，同时要注意题目给出的“两块三角板均在直线MN上方”的限制条件，避免出现不符合题意的增根，有效锻炼了动态几何的分析能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
(1) 第一问是静态求角，已知直线MN对应的平角为180°，结合给出的∠AOM=30°、∠AOB=45°、∠COD=30°，用平角180°依次减去三个已知角，即可直接算出∠BOD的度数。
(2) 第二问是单三角板旋转问题，先根据旋转速度表示出旋转t秒后各角的度数，先推导∠BOC的表达式，再根据OB和OD的位置关系分两种情况：OB在OD左侧、OB在OD右侧，结合条件∠BOC=2∠BOD分别列一元一次方程求解，同时结合两块三角板都在MN上方的限制确定t的取值范围，舍去不符合的解。
(3) 第三问是双三角板反向旋转问题，分别表示出两个三角板旋转后对应的角的度数，分三类讨论AB与三角板COD的三条边分别平行的情况：AB平行OD、AB平行OC、AB平行CD，利用平行线的性质建立关于t的方程，求解得到符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 因为点O在直线MN上，所以∠MON=180°，代入已知角度计算：
∠BOD = 180° - ∠AOM - ∠AOB - ∠COD = 180° - 30° - 45° - 30° = 75°。
(2) 三角板AOB绕点O顺时针以每秒5°旋转t秒后，∠AOM = 30° + 5t°，
由∠AOB=45°可得∠BOM = ∠AOM + ∠AOB = (75+5t)°，
因此∠BOC = 180° - ∠BOM = (105-5t)°，
结合∠COD=30°，可得∠BOD = |∠BOC - ∠COD| = |75-5t|°。
已知∠BOC=2∠BOD，分两种情况讨论：
① 当0 ＜ t ≤15时，75-5t ≥0，此时∠BOD=(75-5t)°，代入等式得：
105 -5t = 2(75 -5t)，解得t=9，符合取值范围；
② 当15 ＜ t ≤30时，75-5t ＜0，此时∠BOD=(5t-75)°，代入等式得：
105 -5t = 2(5t -75)，解得t=17，符合取值范围。
综上，t的值为9或17。
(3) 旋转t秒后，三角板AOB顺时针转了5t°，三角板COD逆时针转了t°，因此∠AOM=30°+5t°，∠CON=t°，分三种平行情况讨论：
① 当AB//OD时，由内错角相等得∠BOD=∠ABO=45°，推导得∠AOD=90°，即180°-(30°+5t°)-(30°+t°)=90°，解得t=5；
② 当AB//OC时，由同旁内角互补得∠AOC + ∠BAO=180°，已知∠BAO=90°，因此∠AOC=90°，即180°-(30°+5t°)-t°=90°，解得t=10；
③ 当AB//CD时，此时OA与OD重合，代入角度关系得180°-(30°+5t°)-t°=30°，解得t=20。
综上，t的值为5或10或20。
【答案】
(1) $75°$；(2) $t$的值为9或17；(3) $t$的值为5或10或20
【知识点】
角的和差运算，旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题是三角板动态旋转的综合题，难度层层递进，从静态求角到单动旋转再到双动旋转，需要学生结合图形位置分类讨论不同的情况，运用方程思想将角度关系转化为一元一次方程求解，同时要注意题目给出的“两块三角板均在直线MN上方”的限制条件，避免出现不符合题意的增根，有效锻炼了动态几何的分析能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.3
